高中数学人教A版第一章解三角形单元测试

河南省示范性高中罗山高中2023届高三数学复习单元过关练：必修五 解三角
形（理科 含解析）
1．已知a 、b 、c 是△ABC 中A 、B 、C
的对边，且1,5,a b c ===，则△ABC 的面积S =（ ） A 、
32
B 、2
C 、3
D 、4
2．如果等腰三角形的顶角的余弦值为3
5
，则底边上的高与底边的比值为（ ） A ．
12 B ．45 C ．2
3
D ．1 3．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c
，若2
2
a b -=
，sin C B =，则A =（ ） A ． B ． C ． D ． 4．在ABC ∆
中，a =
，b =，1
cos 3
C =
，则ABC ∆的面积为( )． A
．
．
．
5．在△ABC 中，已知5cos 13A =
，3
sin 5
B =，则cos
C 的值为（ ） A 、1665 B 、5665 C 、1665或5665
D 、16
65-
6．若满足条件C=
3
π
，AB=，BC=的三角形有两个，则的取值范围是 （ ） ()2,1..A ()
3,2.B C.(
)
2,3
7．ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1
sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b +=
,a b B >∠=且则（ ） A.
6
π
B ．3π
C ．23π
D ．56π
8．A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（ ） A ．)2,2( B ．)2,2(- C ．]2,1(- D ．]2,2[- 9．在ABC ∆中，0
45,60,1B C c ===，则最短边的边长等于 （ ）
A.
12
B.
C.
D.
10．甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东060的方向，两船相距a 海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，甲船为了尽快追上乙船，应取北偏东θ方向前进，则=θ（ ） A. 015 B. 030 C. 045 D. 060
11．某人在C 点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10米到D,测得塔顶A 的仰角为30°,则塔高为( ) (A)15米 (B)5米 (C)10米 (D)12米
12．△ABC 中,根据下列条件,确定△ABC 有两解的是（ ）
=18,b=20,A=120° =60,c=48,B=60° =3,b=6,A=30° =14,b=16,A=45° 13．在ABC ∆中，已知 45,1,2===B c b ，则C ＝ . 14．满足6,2,45=
=︒=c a A 的ABC ∆的个数为 ．
15．在ABC ∆中，已知︒===60,1,3A c b ，则a = .
16．两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．
17．（三角形ABC 中，3,7==AB BC ，且
5
3
sin sin =B C . （1）求AC ； （2）求A ∠.
18．在△ABC 中，设A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m=(cosA,sinA),n=(-sinA,cosA),若|m+n|=2. （1）求角A 的大小；
（2）若b=4,且c=a ，求△ABC 的面积. 19．（（本题满分14分）
在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin ,c A = （1）确定角C 的大小；
（2）若c =
ABC ∆面积的最大值.
20．在ABC ∆中，已知内角3
A π
=，边BC =.设内角B x =,面积为y .
(1)若4
x π
=
，求边AC 的长；
(2)求y 的最大值.
21．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A B C 、、的对边，且
()2sin (2)sin 2sin a A b c B c b C =+++.
（1）求A 的大小；（5分）
（2）若sin sin 1B C +=，判断△ABC 的形状.（7分）
22．（本小题满分12分）如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD．
参考答案
1．B 【解析】
试题分析：由2223cos 25a b c C ab +-=
=，故4sin 5C =，故1
sin 22
S ab C ==。

选B 。

考点：本题考查余弦定理、同角三角函数值之间的关系和面积公式。

点评：简单题，但综合考查了余弦定理、正弦定理。

2．D
【解析】设等腰三角形的顶角为2α，底边上的高为h ，底边长为2x ，由三角形知识得
tan x h α=
，∵3
cos 25α=，∴222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5ααααααα--===++，∴1tan 2x
h
α=
=，∴2h x =，∴底边上的高与底边的比值为1，故选D 3． C 【解析】
试题分析：由sin C B =得b c 32=，所以2
2
a b -=2323b ⋅=
，即
2
2
7b a =，所以23
347122cos 2
222222=-+=-+=b
b b b b
c a c b A ，又),0(π∈A ，所以 6
π
=
A .
考点：正弦定理 余弦定理
点评：此题考查学生灵活运用正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，根据三角函数的值求角，是一道基础题． 4．C 【解析】
试题分析：因为C 为三角形的内角，所以sin C ===
形的面积11sin 223
S ab C =
=⨯= C. 考点：三角形面积公式.
5．A
【解析】本题考查三角形内角和定理，同角三角函数关系式，两角和与差的三角函数,基本运算.
因为,A B
是三角形内角，512cos ,sin ,1313
A A =
∴===又 3
sin ,5B =sin sin ,A B B >∴
是锐角，所以4cos ;5B ===又
,A B C π++=所以cos()cos cos sin sin cosC A B A B A B =-+=-+
5412316
.13513565
=-
⨯+⨯=故选A 6．C 【解析】
,3
,sin sin sin a =sin 2
2,ABC 23
1,2C AB BC a
a
C A A
a A a
π
ππ
=
==∴=AB BC 由正弦定理得
解得
由题意知：当A ∈（）时，满足条件的△有两个
＜＜a ＜2
故选C. 7．A 【解析】
1cos sin cos ,2
B C c B A b +=
1
sin cos sin sin cos sin 2
A B C C B A B +=, a b >，所以，00
150,30A
C B +==，故选A.
考点：正弦定理，两角和与差的三角函数. 8．
C
【解析】略 9．D 【解
析】
180604575A =--=,1sin ,,sin sin sin 3b c c B
b c a b B C C
∴<<∴
=∴===
【题型】选择题
10．B
【解析】
由题意及方位角的定义画出简图，设到C点甲船上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC=tv，AC=3 tv，B=120°，在三角形中利用正弦定理，可求甲追击的方向；解：如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，
则BC=tv，AC=3 tv
由正弦定理知BC/sin∠CAB=AC/sinB，（4分）
∴∠=︒，
1/sin CAB3/sin120
∴sin∠CAB=1/2，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=30°，
∴甲追击的方向是北偏东300．（8分）
11．C
【解析】【思路点拨】作出图形确定三角形,找到要用的角度和边长,利用余弦定理求得.解:如图,设塔高为h米,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,则OC=OA=h.
在Rt△AOD中,∠ADO=30°,则OD=h,
在△OCD中,∠OCD=120°,CD=10,
由余弦定理得:
OD2=OC2+CD2-2OC·CD·cos∠OCD,
即(h)2=h2+102-2h×10×cos 120°,
∴h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍去).
【方法技巧】测量高度的常见思路
解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形,准确地理解仰角和俯角的概念并和
三角形中的角度相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特别注意高度垂直地面构成的直角三角形. 12．D 【解析】 考点：．
分析：A 中，由a=18，b=20，可得B ＞A ＞120°，故三角形无解． B 中，由a=60，c=48，B=60°，再由余弦定理可得b 值唯一，故三角形有唯一解． C 中，由正弦定理解得 sinB=1，B=90°，故三角形有唯一解． D 中，由正弦定理可得
sinB=
7
＞sin45°，故B 可能是锐角，也可能是钝角，故三角形有两解．
解：A 中，a=18，b=20，故有 B ＞A ＞120°，这与三角形的内角和相矛盾，故三角形无解． B 中，∵a=60，c=48，B=60°，由余弦定理可得
一解．
C 中，a=3，b=6，A=30°，由正弦定理可得
3
12
= 6sinB ，解得 sinB=1，∴B=90°，故三角形有唯一解．
D 中，a=14，b=16，A=45°，由正弦定理可得
2
=16
sinB
，∴
＞sin45°，
故B 可能是锐角，也可能是钝角，故三角形有两解．
故选D ． 13．30° 【解析】略 14．2 【解析】
试题分析：因为345sin 6sin 0=⨯=A c ，所以满足c a A c <<sin ，那么三角形的个
数是2个．
考点：判断三角形的个数 15．7 【解析】 试题
分
析：在
ABC
∆中,
由余弦定理
得:2
2
2
2
2
2cos 31231cos607a b c bc A =+-∠=+-⨯⨯⨯=,
则a =
考点：解三解形
16．45°
【解析】在△ACD 中，容易求得AD ＝
AC ＝CD ＝50， 由余弦定理可得
cos ∠CAD ＝222
2AD AC CD AD AC
+-⋅＝2，
所以∠CAD ＝45°，
即从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 17．（1）5（2） 120 【解析】
试题分析：此题是一个关于解三角形的题，（1）由
5
3
sin sin =B C ，可想到用正弦定理求AC ；（2）欲求A ∠
可想到通过求相应的正、余弦值来求得,由（1）知道了三边可借助余弦定理求解.
（1）由正弦定理得：
sin 353
5sin sin sin 53
AC AB AB C AC B C AC B ⨯=⇒==⇒==; （2）由余弦定理得222925491
cos 22352
AB AC BC A AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯,所以120A ∠=︒.
考点：正余弦定理在解三角形中的运用.
18．（1）A=（2）16 【解析】（1）m+n=(+cosA-sinA,cosA+sinA) |m+n|2=(+cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2
=2+2(cosA-sinA)+(cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2 =2+2(cosA-sinA)+2 =4-4sin （A-）
∵|m+n|=2,∴4-4sin （A-）=4,sin （A-）=0. 又∵0＜A ＜,∴-＜A-＜,∴A-=0, ∴A=.
(2)由余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bccosA, 又b=4,c=a,A=，
得a 2=32+2a 2-2×4×a ·,
即a 2-8a+32=0,解得a=4，∴c=8. ∴S △ABC =b ·csinA=×4×8×sin=16. S △ABC =×(4)2=16. 19．（1）
sin sin a c
A C ==
sin C ∴=
又C 是锐角 3
C π
∴=
（2）222227cos 22a b c a b C ab ab +-+-==1
2
=
22727a b ab ab ∴+-=≥-
7ab ∴≤
1sin 24ABC S ab C ab ∆∴=
=
≤
当且仅当a b ==ABC ∆ 【解析】略
20．（1）（2）y 取得最大值 【解析】
试题分析：（1）由正弦定理即可得到sin sin 45
sin 60
BC B AC A ⋅=
==.
（2）由ABC ∆的内角和A B C π++= ，3
A π
=
及正弦定理得到4sin AC x =，将
1
sin )2
y x x x =+ 化简为
y )6
x π
=- 根据角的范围得到
3
x π
=时，y 取得最大值
试题解析：（1）由正弦定理得：sin sin 45
sin sin 60
BC B AC A ⋅=
== 6分
（2）由ABC ∆的内角和A B C π++= ，3
A π
=
203
B π
∴<<
，
由sin 4sin sin BC
AC B x A
=
= 8分
12
sin sin()23
y AC BC C x x π
∴=
⋅=-= 1sin )2x x x +
26sin cos x x x =+)6
x π
=- 10分
因为203
x π<< ，72666x πππ
∴-<-<
当26
2
x π
π
-
=
即3
x π
=
时，y 取得最大值 14分
考点：正弦定理的应用，和差倍半的三角函数.
21．（1）120A =︒；（2）顶角为钝角的等腰三角形. 【解析】 试题分析：（1）求A 的大小，首先要从条件出发，条件是一个含有边、角混杂的等式，处理它必须归一，观察等式的特点，运用正弦定理化归为边比较简便，然后再考虑运用余弦定理，即可求出角A 的大小；（2）三角形形状的判断，要么从边考虑，要么从角考虑，通常从角考虑的情形多于从边考虑的情形，此题结合条件和（1）的结论，应从角考虑比较可行，在解三角形问题时，关键是适时用好边角互化及边角归一思想.
试题解析：（1）由()2sin (2)sin 2sin a A b c B c b C =+++结合正弦定理得：
22(2)(2)a b c b c b c =+++，
即2
2
2
b c a bc +-=-，2221
cos 22
b c a A bc +-∴==-，0A π<<，120A ∴=︒. 5
分
（2）由（1）知120A =︒，60B C ∴+=︒
1sin sin sin sin(60)sin cos sin(60)122B C B B B B B ∴+=+︒-=+=+︒=
30,30B C ∴=︒=︒，∴△ABC 是等腰三角形. 12分
考点：1.三角变换；2.解三角形；3.边角互化与边角归一的思想.
22．10（3 m
【解析】
试题分析：测量距离、高度的问题都可归结为求三角形中边长的问题，解题时选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则可直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． 试题解析：
如图，设CD ＝x m ，则AE ＝x －20 m ， tan 60°＝CD
BD ，
∴BD ＝tan 60CD
33
3x （m ） 6分
在△AEC 中，x －203
x ，解得 x ＝10（33 m ． 故山高CD 为10（33 m 12分 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形．。