西藏拉萨中学高三数学下学期第八次月考试题 文

拉萨中学高三年级（2016届）第八次月考文科数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分. 在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合M={1，2，3，4} ，N=}0)3(|{<-x x x ，则N M ⋂等于 A. {1，2，3} B. }31|{<<x x C. {1，2} D. {2，3，4} 2. 设复数i z +=2，则复数)1(z z -的共轭复数为 A. i 31+- B. i 31-- C. i 31+ D. i 31- 3. 下列函数在),0(+∞上为减函数的是
A ．1--=x y
B ．)2(+-=x x y
C ．)1ln(+=x y
D ．x
e y =
4. 已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是 A ．
11a b
> B ．()2
log 0a b ->
C ．2
1a b
-< D ．1132a
b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
5 若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+
的最大值为
A ．7
B ．8
C ．2
D ．1
6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
A ．2014
B ．2015
C ．2016
D ．2017
7．已知命题p ：∀x ∈R ，2x
<3x
；命题q ：∃x ∈R ，x 3
=1-x 2
. 则下列命题中为真命题的是
（第6小题图）
A. p ∧q
B.⌝p ∧⌝q
C. p ∧⌝q
D. ⌝p ∧q 8.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 A ．28 B ．24+62 C ．20+213 D ．16+62+213
9. 将函数()()sin f x x ϕ=+的周期缩小到原来的一半，再向左平移8
π
个单位，所得
到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为 A ．
4π
B ．43π
C ．0
D ．4
π- 10. 给出下列关于互不相同的直线m 、n 、l 和平面α、β的四个命题：
① 若α⊂m ，A l =αI ，点m A ∉，则l 与m 不共面；
② 若m 、l 是异面直线，α//l ，α//m ，且l n ⊥，m n ⊥，则α⊥n ； ③ 若α//l ，β//m ，βα//，则m l //；
④ 若α⊂l ，α⊂m ，A m l =I ，β//l ，β//m ，则βα//. 其中为真命题的是（ ）
A ．①③④
B ．②③④
C ．①②④
D ．①②③
11．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224
a x y +=的切线，
切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-u u u r u u u r u u u r
，则双曲线的离心率为
A ．10
B ．
105
C ．
102
D ．2
12. 设()lg f x x =，若函数ax x f x g -=)()(在区间)4,0(上有三个零点，则实数a 的取值范围
是
A ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．lg 2lg ,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ． lg 2,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．lg 20,2⎛⎫
⎪⎝
⎭
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.
13．曲线f （x ）＝3
x －x ＋3在点P （1，3）处的切线方程是_________．
14．已知{n a }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝_________． 15.已知点(,)(0,4)(2,0)P x y A B -到和的距离相等，则24x
y
+的最小值为 .
16．给出下列命题：
①.命题“若方程210ax x ++=有两个实数根，则1
4
a ≤
”的逆否命题是真命题；②.“函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π”是“1=a ”的必要不充分条件；
③.函数2
()2x
f x x =-的零点个数为2； ④幂函数a
x
y =()R a ∈的图像恒过定点()0,0
⑤.“向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b •<r r
” ；
⑥.方程sin x x =有三个实根. 其中正确命题的序号为__________.
三、解答题：本大题共6小题；共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （满分12分） 在△ABC 中，b ＝2，cosC ＝3
4
，△ABC 的面积为7．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）求sin2A 值． 18．（满分12分）
为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：
（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99％的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；
（Ⅱ）若对年龄在[5，15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少? 参考数据：
19. （本题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，
60BAD ∠=︒，Q 为AD 的中点，PA PD =；
（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，点M 满足3PC PM =u u u r u u u u r
， 求四棱锥
M BCDQ -的体积.
20．（本小题12分）
已知椭圆C ：22
22x y a b
＋＝1，（a ＞b ＞0）的离心率为63，且过点（1，63）．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设与圆O ：2
2
3
4
x y ＋＝相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程．
21．（本小题满分12分） 已知函数2
1()ln (1)2
f x a x x a x =+
-+.
（Ⅰ）求函数()
f x的单调区间；
（Ⅱ）若()0
f x≥对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1;几何证明选讲
如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线
PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的
中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（Ⅰ）∠EBC＝∠BCE;
（Ⅱ）AD·DE＝2PB2．
23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的
参数方程为
2
2,
2
2
2
x t
y t
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
＝－＋
＝
（t为参数），P点的极坐标为（2，π），曲线C的极坐标方程为ρ
cos2θ＝sinθ．
（Ⅰ）试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C的焦点坐标；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于两点A，B，点M为AB的中点，求｜PM｜的值．
24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
设函数f（x）＝｜2x＋1｜－｜x－4｜．
（Ⅰ）解不等式：f（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）＋3｜x－4｜≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
2016届高三年级第八次月考文科数学试卷答案 一．选择题
CABDA DDBAC CB 二． 填空题
13．2x-y+1 =0 14．-1 15．24 16．② 三. 解答题
17．解：（Ⅰ）因为3
cos 4
C =，且0C <<π，所以7sin 4C =．
因为1
sin 2
S a b C =
⋅⋅， 得1a =． ………6分 （Ⅱ）由余弦定理，2222cos c b a b a C =+-⋅⋅ 所以2c =
． 由正弦定理，
sin sin c a
C A
=
，得14sin A =． 所以52cos 8A =
． 所以57
sin 22sin cos A A A =⋅=． ……12分 18．解：(Ⅰ)2乘2列联表
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计 支持 3a = 29c = 32 支持 7b =
11d =
18 合 计
10
40
50
……2分
()()()()
2
2
50(311729) 6.27372911329711K ⨯⨯-⨯=≈++++＜6.635 ………4分
所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异. ………5分
(Ⅱ)设年龄在[5,15)中支持“生育二胎”的4人分别为a,b,c,d, 不支持“生育二胎”的人记为M, …………6分
则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：（a,b ）, （a,c ）, （a,d ）, （a, M ）, （b,c ）, （b,d ）,（b, M ）, （c, d ）, （c, M ）,（d, M ）. ………8分 设“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件A ， ………9分 则事件A 所有可能的结果有：
（a,b ）, （a,c ）, （a,d ）, （b,c ）, （b,d ）, （c, d ）.
∴()63
.105
P A =
= ………11分
所以对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查时,恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为
3
5
. ………12分 19、（1）证明：由条件 PQ AD
BQ AD AD PQ BQ Q ⊥⎫⎪
⊥⇒⊥⎬⎪=⎭
I 平面PQB ，
又AD PAD 平面⊂，所以平面PQB PAD ⊥平面 …………6分
（2）12
133
M BCDQ BCDQ V S PQ 四边形-=
=g …………12分 20．解（1）由题意可得：22121363a b c a
⎧+=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩ ————2分
2
2
2
23,1,13
x a b y ==∴+= ———4分
（2）①当k 不存在时，33
,22
x y =±
∴=±
， 133
3224
OAB S ∆∴=⨯⨯= ——5分
②当k 存在时，设直线为y kx m =+，
()()1122,,,,A x y B x y
22
2221
,(13)63303
x y k x km m y kx m ⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩
————6分
2121222633
13,13km m x x x x k k --+==++ ———7分
2243(1)d r m k =⇒=+ ————8分
2242
2
2222424
612(1)11094||1()3311313169169km m k k k AB k
k k k k k k --++=+-=⋅=⋅+++++++
2
=≤
————10分
当且仅当2
2
1
9,
k
k
=
即
3
k=±时等号成立———11分
11
2
22
OAB
S AB r
∆
∴=⨯≤⨯=
∴OAB
∆
，此时直线方程1
y x
=±. ——12分
21、解：
2(1)(1)()
'()(1)
a x a x a x x a
f x x a
x x x
-++--
=+-+==。

（Ⅰ）当0
a≤时，若01
x
<<，则'()0
f x<，若1
x>，则'()0
f x>，故此时函数()
f x的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)
+∞；
当01
a
<<时，'(),()
f x f x的变化情况如下表：
所以函数()
f x的单调递增区间是(0,),(1,)
a+∞，单调递减区间是(,1)
a；
当1
a=时，
2
(1)
'()0
x
f x
x
-
=≥，函数()
f x的单调递增区间是(0,)
+∞；
当1
a>时，同01
a
<<可得，函数()
f x的单调递增区间是(0,1),(,)
a+∞，
单调递减区间是(1,)a……… 6分
（Ⅱ）由于
1
(1)
2
f a
=--，显然当0
a>时，(1)0
f<，此时()0
f x≥对定义域每的任意x不是恒成立的. 当0
a≤时，根据（1），函数()
f x在区间(0,)
+∞的极小值、也是最
小值即是1(1)2f a =-
-，此时只要(1)0f ≥即可，解得1
2
a ≤-，故得实数a 的取值范围是1
(,]2
-∞- ……6分
（23）．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）解：（1）把cos ,sin x y ρθρθ==代入2
cos sin ρθθ=，可得曲线C 的直角坐标方程为2
x y =，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.……5分 （Ⅱ）点P 的直角坐标为(2,0)-，它在直线l 上，在直线l 的参数方程中， 设点,,A B M 对应的参数为120,,.t t t 由题意可知12
02
t t t +=
. 把直线l 的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得2
5280t t -+=. 因为2
=52-48=180∆⨯>（）， 所以12052
52,
.t t PM t +===
则……10分 24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
解：（1）当4x ≥时,()()21450f x x x x =+--=+>,得5x >-, 所以4x ≥成立.
当42
1
<≤-
x 时，()214330f x x x x =++-=->,得1x >， 所以14x <<成立.
当2
1
-<x 时, ()50f x x =-->,得5x <-,
所以5x <-成立.
综上，原不等式的解集为{}
1,5x x x ><-或 ………5分 （2）()342124f x x x x +-=++-9|)82(12|=--+≥x x 当时等号成立42
1
≤≤-x 所以9m ≤ ……10分。