高中物理必修二 重力势能和弹性势能 基础

重力势能和弹性势能
【学习目标】
1．理解重力势能的概念，会用重力势能的定义式进行计算．
2．理解重力势能的变化和重力做功的关系．知道重力做功与路径无关． 3．知道重力势能的相对性．
4．明确弹性势能的含义，理解弹性势能的相对性 5．知道弹性势能与哪些量有关． 【要点梳理】
要点一、重力做功的特点 要点诠释：
重力对物体所做的功只跟物体的初末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关．物体沿闭合的路径运动一周，重力做功为零，其实恒力(大小方向不变)做功都具有这一特点．
如物体由A 位置运动到B 位置，如图所示，A 、B 两位置的高度分别为h 1、h 2，物体的质量为m ，无论从A 到B 路径如何，重力做的功均为：
cos G W mgl α=＝mgh ＝mg(h 1-h 2)＝mgh 1-mgh 2．
可见重力做功与路径无关．
要点二、重力势能 要点诠释：
(1)定义：物体由于被举高而具有的能．
(2)公式：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积．
P E mgh =．
h 是物体重心到参考平面的高度． (3)单位：焦(J)．
1J ＝2
1kg m s 1N m m -∙∙∙=∙．
(4)重力势能是一个相对量，它的数值与参考平面的选择有关．实际上是由h 为相对量引起的．参考平面的选择不同，重力势能的值也就不同，一般取地面为参考平面．
在参考平面内的物体，E P ＝0； 在参考平面上方的物体，E P ＞0； 在参考平面下方的物体，E P ＜0．
(5)重力势能是标量，它的正、负值表示大小． (6)重力势能是地球和物体共有的．
要点三、重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性 要点诠释：
(1)重力势能是一个相对量，它的数值与参考平面的选择有关．在参考平面内，物体的重力势能为零；在参考平面上方的物体，重力势能为正值；在参考平面下方的物体，重力势能为负值． (2)重力势能变化的不变性(绝对性)．
尽管重力势能的大小与参考平面的选择有关，但重力势能的变化量都与参考平面的选择无关，这体现了它的不变性(绝对性)．
(3)某种势能的减少量，等于其相应力所做的功．
重力势能的减少量，等于重力所做的功；弹簧弹性势能的减少量，等于弹簧弹力所做的功．
(4)重力势能的计算公式E P ＝mgh ，只适用于地球表面及其附近g 值不变时的范围，若g 值变化时，不能用其计算．
要点四、重力做功和重力势能改变的关系 要点诠释：
(1)设A 、B 两点为物体在运动过程中所经历的两点(如图所示)。

若从B 点运动到A 点，则G W mgh =-(重力对物体做负功mgh)；从能量的角度，P E mgh =△(重力势能增加mgh)．
若从A 点运动到B 点，则G W mgh =(重力对物体做正功mgh )；从能量的角度，P E mgh =-△(重力势能减小mgh)．可见，重力势能的改变△E P 只与重力做功G W 有关，跟物体做什么运动以及是否同时还有其他作用力(如牵引力、阻力等)的存在无关，即G P W E =-△．也就是说，重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；克服重力做功时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功．即
1212G P P W E E mgh mgh =-=-．
要点五、弹性势能 要点诠释： 1.弹性势能
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能。

2.弹性势能的大小跟形变的大小有关，形变量越大，弹性势能越大
对于弹簧来说，弹性势能还与劲度系数有关，当形变量一定时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大。

3.弹性势能的表达
21
2
P E k l =
∆ 注意：式中P E 为弹簧的弹性势能，k 为劲度系数，l ∆为弹簧的形变量（即压缩或伸长的长度） 4.弹力做功跟弹性势能变化的关系
当弹簧的弹力做正功时，弹簧的弹性势能减小，弹性势能变成其他形式的能；当弹簧的弹力做负功时，弹簧的弹性势能增加，其他形式的能转化为弹性势能。

这一点与重力做功跟重力势能变化的关系类似。

【典型例题】
类型一、重力势能的理解
例1、（2015 吉林期末考）关于重力势能，下列说法中正确的是（ ）
A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从-5J 变化到-3J ，重力势能变小了
D.重力势能的减小量等于重力对物体做的功 【答案】D
【解析】重力势能具有相对性，某个物体处于某个位置，相对不同的参考平面具有不同的重力势能，故A 错；重力势能p E mgh =，h 为相对零势能面的高度差，重力势能的大小与质量和高度两个因素有关，故B 错误；重力势能可以为负，一个物体的重力势能从-5J 变化到-3J ，说明物体克服重力做功，重力势能变大，故C 错误；只要重力做功，高度一定变化，故重力势能一定变化，重力做功多少，重力势能就变化多少，故D 正确。

【总结升华】本题考查了重力势能的概念，及影响重力势能大小的两个因素，分析重力势能变化时，两个因素缺少一个得出的结论都是错误的。

举一反三
【专题课程：重力势能和弹性势能 例1】
【变式1】塔吊把一质量为200kg 的物体，从距地面高为h 1=10m 的高度匀速运到高为h 2=3m 的地方，
重力做了多少功？物体的重力势能如何变化？ (g=10m/s 2
)
【答案】14000J ；重力势能减少了14000J 【变式2】（2015 山东普高学业检测）下列关于重力势能的说法正确的是（ ）
A. 物体的重力势能一定大于零
B. 在地面上的物体的重力势能一定等于零
C. 物体的重力势能与零势能面的选取有关
D. 物体重力势能的变化量与零势能面的选取有关
【答案】C
【解析】物体的重力势能与零势能面的选取有关，若物体处于零势能面以下，则其重力势能小于零，故AD 错；零势能面不一定选在地面上，所以地面上的物体零势能不一定为零，所以B 错误；C 正确。

类型二、重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性
例2、质量为m 的小球，从离桌面H 高处由静止下落，桌面离地面高度为h ，如图所示，若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的变化分别是( )
A ．mgh ，减少mg (H -h )
B ．mgh ，增加mg (H+h )
C ．-mgh ，增加mg (H -h )
D ．-mgh ，减少mg (H+h )
【解析】小球落地时在参考平面以下，此时小球的重力势能为-mgh ．小球在全过程中重力做正功，重力势能减少，()P G E W mg H h =-=+△，因此应选D ．
【答案】D
【总结升华】重力势能的相对性是指其数值与参考平面的选择有关；重力势能变化的绝对性是指重力势能的变化量与所选择的参考平面无关．
举一反三
【专题课程：重力势能和弹性势能 例2】
【变式】桌面B 高1m ，一质量为1kg 的小球，从离桌面1m 高的A 处自由落下，不计空气阻力，在这个过程中，分别取地面和桌面为零势能面来计算 。

求：(g=10m/s 2)
（1）小球在A 处和落地时C 处的重力势能 （2）小球从A 到C 的重力所做的功 （3）小球从A 到C 的重力势能的变化量
【答案】
类型三、流体重力势能的分析
例3、如图所示，有一连通器，左右两管的横截面积均为S ，内盛密度为ρ的液体，开始时两管内的液面高度差为h ．若打开底部中央的阀门K ，液体开始流动，最终两液面相平．在这一过程中，液体的重力势能变化了多少?是增加了还是减少了?如果是减少了，减少的重力势能到哪里去了?
【思路点拨】分析清楚哪段液柱的中心发生变化是关键。

【解析】由于A 、B 两管横截面积相等，液体是不可压缩的，所以B 管中液面下降的高度和A 管中液面上升的高度相同，液面最终静止在初始状态A 管液面上方
1
2
h 处． 因为物体的重力势能变化与过程无关，只与初末状态的位置有关，所以可以将过程简化，视为将B 管
中
1
2
h 高的液柱移动到A 管中，达到液体最终静止的状态，而其他的液体的位置没有变化，对应的重力势能也没有变化，全部液体重力势能的变化，就是B 管上部1
2h 的液柱重力势能的减少．不难看出，B 管中
重力势能变化的部分液柱其重心的高度减小了12h h =△，它的重力1
2
mg hS g ρ=，所以全部液体重力势
能减少了11||22P E mg h hS g h ρ⎛⎫⎛⎫
==
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
△△，减少的重力势能全部转化为了系统的内能． 例4、面积很大的水池，水深为H ，水面上浮着一正方体小木块，木块边长a ，密度为水的1/2，质量
为m ．开始时，木块静止，如图甲所示．现用力F 将木块缓慢压到水池底部，不计摩擦．求：从木块刚好完全浸入水中到停止在池底的过程中，木块重力势能的改变量和池水重力势能的改变量．
【解析】由图乙知木块从位置1称到位置2，相当于使同体积的水从位置2移动到位置l ，重心升高H-a ，所以池水势能的改变量等于这部分水在位置1和位置2的势能之差．木块的质量为m ，与木块同体积的水的质量为2m ，故水块和池水势能的改变量分别为()E mg H a =-木△，2()E mg H a =-水△． 【总结升华】获取题目信息，同等效思想确定物体重心变化高度是解题关键． 类型四、弹性势能的理解
【专题课程：重力势能和弹性势能 例3】
例5、如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F 的作用下物体处于静止状态，当撤去F 后，物体将向右运动．在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )
A ．弹簧的弹性势能逐渐减小
B ．弹簧的弹性势能逐渐增大 c ．弹簧的弹性势能先增大后减小 D ．弹簧的弹性势能先减小后增大
【思路点拨】弹簧被压缩或被拉伸导致的形变量越大最长弹性势能越大。

【解析】由物体处于静止状态可知，弹簧处于压缩状态，撤去F 物体在向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能应先减小后增大． 【答案】D
【总结升华】弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．
举一反三
【专题课程：重力势能和弹性势能 例4】
【变式1】在光滑的水平面上，物体A 以较大的速度v A 向右运动，与较小速度v B 向同一方向运动的、连有轻质弹簧的物体B 发生相互作用，如图所示。

在相互作用的过程中，弹簧的弹性势能最大时（ ） A 、 v A > v B
B 、 v A < v B
C 、 v A = v B
D 、无法确定
【答案】C
【变式2】弹簧原长为0l ，劲度系数为k ．用力把它位到伸长量为l ，拉力所做的功为W 1；继续拉弹簧，使弹簧在弹性限度内再伸长l ，拉力在继续拉伸的过程中所做的功为W 2．试求W 1与W 2的比值．
【解析】利用F-l 图像分析．
拉力F 与弹簧的伸长量l 成正比，故在F l -图像中是一条倾斜直线，如图所示，直线下的相关面积表示功的大小．其中，线段OA 下的三角形面积表示第一个过程中拉力所做的功W 1，线段AB 下的梯形面积表示第二个过程中拉力所做的功W 2．显然，两块面积之比为l:3，即W 1:W 2＝1:3．
【总结升华】上述解法采用了教材探究弹性势能表达式的研究方法，即应用F l -图像直观地进行分析．若记得弹性势能的表达式，也可由弹性势能的表达式进行计算．由于拉力做功使弹簧的弹性势能增加，故有2112W kl =
，2222113
(2)222
W k l kl kl =-=．
所以，W 1与W 2的比值W 1:W 2＝221322kl kl ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
:＝1:3．
类型五、弹性势能的探究
例6、弹弓是一种兵器，也是一种儿童玩具，它是由两根橡皮条和一个木叉制成的．拉伸橡皮条的过程人对橡皮条做功，使其具有一定的弹性势能，放手后橡皮条的弹力做功，将储存的弹性势能转化为石子的动能，使石子以较大的速度飞出，具有一定的杀伤力．试设计一个实验，求出橡皮条在拉伸到一定长度的过程中，弹力所做的功是多少？橡皮条具有的弹性势能是多少?(只要求设计可行的做法和数据处理方式，不要求得出结论)
【解析】(1)准备橡皮条、测力计、坐标纸、铅笔、直尺、笔． (2)将橡皮条的一端固定，另一端拴一绳扣．
(3)用直尺从橡皮条的固定端开始测量橡皮条的原长0x ，记录在表格中．
(4)用测力计挂在绳扣上，测出在不同拉力F 1、F 2、F 3……的情况下橡皮条的长度10x 、20x 、30x …… (5)计算出在不同拉力时橡皮条的伸长量1x 、2x 、3x ……
(6)以橡皮条的伸长量为横坐标，以对应的拉力为纵坐标在坐标纸上建立坐标系、描点、并用平滑的曲线作出F x -图像．
(7)测量曲线与x 轴包围的面积S ，这个面积在数值上等于外力克服橡皮条的弹力所做的功，也就是弹力所做负功的数值．
【总结升华】本题旨在考查学生对探究方法的理解水平，从目标着眼根据实际问题的特殊性设计构思实验的能力，考查学生对物理图像的理解和微积分思想在处理图像问题中的运用．本题的解答过程还有许多值得思考的问题：如用i F x -，图像能否求出外力克服弹力所做的功；图像与i x 轴包围的面积为什么是外力的功；此几何图形的面积如何求得或测得等，同学们可继续探究． 【巩固练习】 一、选择题： 1、（2015 北京高考）图中虚线是一跳水运动员在跳水过程中其重心运动的轨迹，则从起跳至入水的过程中，该运动员的重力势能（ ）
A ．一直减小
B ．一直增大
C ．先增大后减小
D ．先减小后增大 2、（2015 海南会考模拟）如图所示，质量为m 的苹果，从距地面高度为H 的树上开始落下，树下有一深度为h 的坑，若以地面为零势能参考平面，则苹果落到坑底时的重力势能为（ ）
A ．mgh -
B ．mgH
C ．()mg H h --
D ．()mg H h +
3.如图所示，一个质量为M 的物体放在水平面上，物体上方连接一个长为L 、劲度系数k 的轻弹簧，现用手拉着弹簧P 点缓慢向上移，直到物体离开地面一段距离，在这一过程中，P 点位移是H(设开始时弹簧处于原长)，则物体的重力势能增加了( )
A ．MgH
B ．Mg MgH k +
C ．2
Mg MgH k （）- D ．Mg
MgH k
-
4.关于弹性势能，下列说法正确的是( ) A ．发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B ．只有弹簧在发生弹性形变时才具有弹性势能
C ．弹性势能可以与其他形式的能相互转化
D ．弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳 5、（2015 聊城校级模拟）竖直上抛一小球，小球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于小球的速度，下列说法正确的是（ ）
A ．上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功
B ．上升过程中克服重力做的功小于下降过程中重力做的功
C ．上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率
D ．上升过程中克服重力做功的平均功率小于下降过程中重力的平均功率
6．在一次“蹦极”运动中，人由高空落下，到最低点的过程中，下列说法正确的是( )
A ．重力对人做正功
B ．人的重力势能减小了
C ．橡皮绳对人做正功
D ．橡皮绳的弹性势能增加了
7．竖直弹簧下端固定于水平地面上，如图所示，小球从弹簧的正上方高为h 的地方自由下落到弹簧上端，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A 处，则( )
A ．h 愈大，弹簧在A 点的压缩量愈大
B ．弹簧在A 点的压缩量与h 无关
C ．h 愈大，最终小球静止在A 点时弹簧的弹性势能愈大
D ．小球第一次到达A 点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A 点时弹簧的弹性势能大
8．在探究弹簧的弹性势能的表达式时，下面的猜想有一定道理的是( )
A ．重力势能与物体离地面的高度有关，弹性势能与弹簧的伸长量有关；重力势能与重力的大小有关，弹性势能可能与弹力的大小有关，而弹力的大小又与弹簧的劲度系数k 有关．因此弹性势能可能与弹簧的劲度系数k 和弹簧的伸长量的二次方2
l 有关
B ．A 选项中的猜想有一定道理，但不应该与2
l 有关，而应该是与3
l 有关
C ．A 选项中的猜想有一定道理，但应该是与弹簧伸长量的一次方，即l 有关
D ．上面三个猜想都没有可能性 二、解答题：
1．质量为5 kg 的钢球，从离地面100 m 高处自由下落1 s ，1s 内钢球重力势能减少了________ J(g 取
10 m/s 2
，选取地面为参考平面)，1 s 末钢球的重力势能为________ J ；如果选取地面上1 m 处的平面为参考平面，1 s 末它的重力势能为________ J ；如果选取自由下落的出发点所在平面为参考平面，1 s 末重力势能为________ J ．
2．如图所示，一条铁链长为2 m ，质量为10 kg ，放在水平地面上，拿住一端提起铁链直到铁链全部离开地面的过程中，物体克服重力做功为多少？物体的重力势能变化了多少?
3. 一个内部均匀的正方体物块的边长为a ，质量为m ，放在粗糙水平面上，如图所示．由于物块质量很大，摩擦力也很大，需要用以A 为轴翻滚的方法向前移动物块，若移动距离为s ，且s ＞a ，问此人至少要对此物块做多少功?
4. 弹簧原长0l ＝15cm ，受拉力作用后弹簧逐渐拉长，当弹簧伸长到1l ＝20cm 时，作用在弹簧上的力为400N ，问：
(1)弹簧的劲度系数k 为多少? (2)在该过程中弹力做了多少功? (3)弹簧的弹性势能变化了多少?
【答案与解析】 一、选择题：
1、C
解析：跳水运动员从起跳至落到水面的过程中，运动员的质量不变，高度先增大后减小，则其重力势能先增大后减小，故选C 。

2、A
解析：以地面为零势能面，坑在地面以下，苹果落到坑里的重力势能为mgh -。

3．C
解析:P 刚开始上移时，弹簧伸长，而物体不动，直到P 点上移Mg/k 后，弹簧不再伸长，物体才离开地面随弹簧一起上移，在上述过程中，物体重心上移的高度Mg
h H k
=-
，所以重力势能增加了2
()Mg Mgh MgH k
=-，故选项C 正确．
【点评】要求物体重力势能的增加量，应首先确定物体重心上移的距离． 4. A 、C 、D
解析:发生弹性形变的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用都具有弹性势能，A 正确，B 错误；弹性势能跟重力势能一样，可以与其他形式的能相互转化，C 正确；所有能的单位跟功的单位相同，在国际单位制中的单位是焦耳，D 正确． 5、C
解析：重力是保守力，做功的大小只与物体的初末位置有关，与物体的路径等无关，所以在上升和下降的过程中，重力做功的大小是相等的，故上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功，AB 错；物体在上升的过程中，受到的阻力向下，在下降的过程中受到的阻力向上，所以在上升时物体受到的合力大，加速度大，此时物体运动的时间短，在上升和下降的过程中物体重力的大小是相等的，由W P t
=
可知，上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率，故C 正确，D 错误。

6．A 、B 、D
解析:人在下落过程中，重力做正功，人的重力势能减小，最低点时人的重力势能转化为橡皮绳的弹性势能，橡皮绳对人做负功． 7．B
解析:小球最终静止时处于平衡状态，不管过程怎样，最终状态是一样的，所以弹簧在A 点的压缩量与h 无关． 8．A
二、解答题：
1．250 4750 4700 -250 解析:1s 内钢球下落的距离为2211
101m 5m 22
h gt =
=⨯⨯=， 减少的重力势能5105J 250J P E mgh ==⨯⨯=△． 1s 末钢球离地面的高度为1(1005)95h m m =-=． 1s 末钢球的重力势能为1151095J 4750J P E mgh ==⨯⨯=． 1s 末钢球离地面上1m 处的平面的高度为2(951)m 94m h =-=．
此时钢球的重力势能为2251094J 4700J P E mgh ==⨯⨯=．
1s 末钢球离出发点的竖直距离为5m ．
此时的重力势能为3510(5)J 250J P E =⨯⨯-=-．
2．物体克服重力所做的功为98J ，铁链的重力势能增加了98J ．
解析:铁链从初状态到末状态，它的重心位置提高了2
l h =，因而物体克服重力所做的功为1/2109.82J 98J 2W m g l ==
⨯⨯⨯=，铁链的重力势能增加了98J ．
3. W =总
解析:物块原来位置的重心高度12a h =
，翻滚过程中重心到A 正上方时的高度22h =，高度的变化
2112h h h a =-=△，每翻一次重力势能的增加量12
P E mg h mga ==△△，人做功
12
W mga =．
向前移动距离s ，翻动的次数s n a =，这样人所做总功1122s W nW mga mgs a ==⨯=总． 【点评】物体的重心相对于物体本身的位置可能不变，但在物体移动时，物体整体的重心位置可能发生变化，假设物体的重心高度变化h ，则总质量为m 的物体重力(或克服重力)做功为mgh ．
4. (1)8000N/m =k ．
(2)10J =-W ．
(3)△E p ＝-W ＝10 J ，即弹性势能增大10 J ．
解析:(1)400N /m 8000N/m 0.20.15
F k x ===-△． (2)由于F ＝kx ，作出F-x 图像如图所示，求出图中阴影面积，即为弹力做功的绝对值，由于在伸长过程中弹力F 方向与位移x 方向相反，故弹力F 在此过程中做负功． 由图可得：10400()0.05J 10J 22
F W l l =-=-⨯=-． (3)△E p ＝-W ＝10 J ，即弹性势能增大10 J ．
【点评】弹力对物体所做的功只跟初、末位置有关，而跟具体的路径无关，虽然弹簧的弹力是变力，但它的做功特点却与重力做功特点相同．弹力做多少正功，弹性势能就减少多少，弹力做多少负功，弹性势能就增加多少．。