曲靖中学2018届高三高考复习质量监测卷(四)理科数学

云南省曲靖市第一中学2018届高三高考复习质量监测卷（四）
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{1,1}A =-，{20}B x ax =-=，且B A ⊆，则a ∈（ ） A ．{2}- B ．{2} C ．{2,2}- D ．{2,0,2}-
2.在复平面内，复数z 满足5
(1)1z i +=，则z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下列命题为假命题的是（ ）
A ．x R ∃∈，使得sin 2x x =
B ．“2a
b
b >”是“ln ln a b >”的必要不充分条件
C ．若向量(1,1)a =
，0b = ，则//a b
D ．函数sin y x =，2(
,)63x ππ
∈的值域为1(2 4.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m α⊂，αβ⊥，则m β⊥； ②若//a β，m β⊂，则//m α； ③若m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ 其中正确命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③ C. ②③ D ．③④ 5.在等比数列{}n a 中，37,a a 是函数3
21()4913
f x x x x =
++-的极值点，则5a =（ ） A ．-4 B ．-3 C. 3 D ．4 6.已知函数3
31
x y a +=+（0a >且1a ≠）图象恒过的定点A 在角α的终边上，则tan 2α=（ ） A ．247-
B ．724- C. 247 D ．7
24
7.在ABC ∆中，若3122
AD AB AC =- ，且BD DC λ=
，则λ=（ ）
A ．12-
B ．12 C. 13- D ．13
8.一个四棱锥的三视图如图所示，关于这个四棱锥，下列说法正确的是（ ）
A
B C.侧面四个三角形都是直角三角形 D ．侧面三角形中有且仅有一个等腰三角形
9.已知单位向量1e 与2e 的夹角为3
π
，则向量122e e + 在向量12e e - 方向上的投影为（ ）
A ．12-
B ．12 C. 10.已知定义在非零实数集上的函数()f x 满足：'
()()0xf x f x -<，且(sin 4)
sin 4
f a =
，
(ln 2)ln 2f b =，0.20.2
(2)2
f c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C. c a b >> D ．b a c >> 11.设1m >，1n >，若4
mn e =，则ln m
t n
=的最大值为（ ）
A ．e
B ．2
e C. 3e D ．4
e
12.已知函数()sin f x x x =，[1,1]x ∈-，则不等式(1)()f x f x +>的解集为（ ） A ．1(,)2-
+∞ B ．1(,0]2- C. 1(,)2-∞ D ．1[0,)2
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若函数2
lg 1,0()3,0a
x x f x x t dt x ->⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩⎰，且((10))8f f =，则a 的值为 ． 14.
若正三棱锥的底面边长为
，则其外接球的表面积为 ． 15.将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第13行从左向右的第7个数为 ．
16.点(,)P x y 的坐标满足约束条件20
400x y x y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
，若(1,1)m = ，(1,1)n =- ，且
OP m n λμ=+ （O 为坐标原点）
，则2λμ
λ
+的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知等差数列{}n a 满足：1n n a a +>（*
n N ∈），12a =，该数列的前三项分别加上0，0，2后成等比数列，且22log n n a b =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）若1n n n c a b =+-，求数列{}n c 的前n 项和n T .
18. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，已知
2
22sin 2sin 322
A B B C
a c
b +++=. （1）求证：,,a b
c 成等差数列； （2）若3
B π
=
，4b =，求S .
19. 如图，正方形ABED ，直角梯形EFGD ，直角梯形ADGC 所在平面两两垂直，
////AC DG EF ，且2AD DE DG ===，1AC EF ==.
（1）求证：,,,B C G F 四点共面； （2）求二面角E BC F --的余弦值.
20. 定义行列式运算：13x x 2
4x x 1423x x x x =-，若函数sin()()0x f x ωϕ+=
c o s 1
x
ω（0ω>，2πϕ<）的最小正周期是π，将其图象向右平移3
π
个单位后得到的图象关于原点对称.
（1）求函数()f x 的单调增区间；
（2）数列{}n a 的前n 项和2n S An =，且5(
)12A f π=，求证：数列1
2
{}n n a a +的前n 项和1n T < 21. 已知函数2
2
()22ln 2f x x ax a x a =--+，2
'
()ln (1)g x x g =+，其中0x >，a R ∈. （1）当0a =时，求()y f x =在点(1,(1))f 处切线l 的方程； （2）若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）记()()()F x f x g x =+，求证：1()2
F x ≥
. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系xOy 的原点O 和极坐标系的极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，
在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕ
ϕ=⎧⎨=⎩
（ϕ为参数）
（1）在极坐标系下，曲线C 与射线4
πθ=和射线4
π
θ=-
分别交于,A B 两点，求AOB ∆的
面积；
（2）在直角坐标系下，直线l
的参数方程为12x y ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值. 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()26f x x x =+-的最小值为a . （1）求a 的值；
（2
）求函数y =.
试卷答案
一、选择题
1-5: DADCB 6-10: CCBA 11、12：DB 【解析】
10．∵()()0x f x f x '-<，∴2(
)()()0f x x f x f x x
x ''-⎛⎫=<
⎪
⎝⎭
，
则()
f x y x
=在{|0}x x ≠上是减函数， ∵0.2sin 400ln 2121<<<>，，，∴a b c >>，故选A ． 11．∵11m n >>，，4e mn =，∴l n
l n 4m n +=，∴2
ln ln ln ln ln ln 42m
m n t n t m n +⎛⎫
=⇒== ⎪⎝⎭
≤，
∴4e t ≤， 故选D ．
12．∵()sin cos [11]f x x x x x '=+∈-，，
，∴当[10]x ∈-，时，()0f x '≤，当(01]x ∈，时，()0f x '>，则()f x 在
[10]-，上是减函数，在(01]，上是增函数，∴11(1)()111|1|||x f x f x x x x -⎧⎪
+>⇔-+⎨⎪+>⎩
≤≤，
≤≤，
1
02
x ⇒-<≤，故选B ．
二、填空题
13. 2 14. 4π 15. 85 16. 5
【解析】
16．∵(11)(11)m n ==- ，，，，由()()OP m n x y λμλμλμ=+⇒=+-
，，，∴将x λμ=+，y λ=
μ-，代入20400x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，
≤，得10400λλμλμ-⎧⎪
+-⎨⎪-⎩
≥，
≤，≤，画出其对应的可行域，则可用斜率的几何意义求得
μλ的最大值为3，∴22λμμλλ
+=+的最大值为5． 三、解答题
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设d 为等差数列{}n a 的公差，由题意0d >，
由12a =，22a d =+，322a d =+，分别加上002，，后成等比数列， ∴2(2)2(42)d d +=+，∵0d >，∴2d =， ∴2(1)22n a n n =+-⨯=，
又22log n n a b =，∴2log n b n =，即2n n b =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得221n n c n =+-，
∴123(221)(421)(621)(221)n n T n =+-++-++-+++-… 23(2462)(2222)n n n =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+-
(22)2(12)212
n n n n +-=+--
2122n n +=+-．
18．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：由题意：22ππ2sin 2sin 322
C A
a c
b --+=， ∴2
22cos 2cos 322
C A
a c
b +=， 由正弦定理得2
22sin cos 2sin cos 3sin 22
C A
A C
B +=， 即sin (1cos )sin (1cos )3sin A
C C A B +++=， ∴sin sin sin cos cos sin 3sin A C A C A C B +++=， 即sin sin sin()3sin A C A C B +++=， ∵sin()sin A C B +=，
∴sin sin 2sin A C B +=，即2a c b +=， ∴a b c ，，成等差数列．
（Ⅱ）解：由余弦定理得22π
2cos 163
a c ac +-=， ∴2()316a c ac +-=， 又由（Ⅰ）得8a c +=， ∴16ac =，
则1
sin 2S ac B ==
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：方法1：如图， 取DG 的中点M ，连接FM AM ，，
∵在正方形ABED 中，AB DE ∥，AB DE =， 在直角梯形EFGD 中，FM DE ∥，FM D E =，
∴AB FM ∥，AB FM =，即四边形ABFM 是平行四边形， ∴BF AM BF AM =∥，，
∵在直角梯形ADGC 中，AC MG AC MG =∥，，即四边形AMGC 是平行四边形， ∴AM CG AM CG =∥，，
由上得BF CG BF CG =∥，，即四边形BFGC 是平行四边形， ∴B C G F ，
，，四点共面． 方法2：由正方形ABED ，直角梯形EFGD ，直角梯形ADGC 所在平面两两垂直， 易证：AD DE DG ，，两两垂直，建立如图所示的坐标系，则
(002)(202)(012)(200)(210)(020)A B C E F G ，，，，，，，，，，，，，，，，，，
∵(012)(012)BF CG =-=- ，，，，，， ∴BF CG =
，即四边形BCGF 是平行四边形， 故G B C F ，
，，四点共面． （Ⅱ）解：设平面BFGC 的法向量为111()m x y z =
，，， ∵(210)FG =-
，，，
则1111
2020BF m y z FG m x y ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩
，
，令12y =，则(121)m = ，，， 设平面BCE 的法向量为222()n x y z = ，，，且(210)(002)BC EB =-= ，，，，，，
则2222020BC n x y EB n z ⎧=-+=⎪
⎨==⎪⎩
，，
令2
1x =，则(120)n = ，，， ∴设二面角E BC F --的平面角的大小为θ
，则cos ||||m n m n θ==
． 20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由题意：()sin()1cos 0sin()f x x x x ωϕωωϕ=+⨯-⨯=+， ∵2ππ02||
ωωω=>⇒=，，∴()sin(2)f x x ϕ=+，
∴()f x 的图象向右平移
π3个单位后得π2πsin 2sin 233y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
此函数为奇函数，则2ππ3k k ϕ-
+=∈Z ，，∵π||2ϕ<，∴π
3
ϕ=-， ∴π()sin 23f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
由πππ2π22π232k x k k --+∈Z ≤≤，可得π5π
ππ1212
k x k k -+∈Z ≤≤，，
∴()f x 的单调增区间为π5πππ1212k k k ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，，．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得5π5πππsin 2sin 1121232A f ⎛⎫⎛
⎫==⨯
-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， ∴2n S n =，
①当1n =时，111a S ==；
②当2()n n +∈N ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-， 而12111a =⨯-=， ∴21n a n =-， 则
12211
(21)(21)2121
n n a a n n n n +==--+-+， ∴111111
111335212121n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<-++．
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：当0a =时，2()f x x =，
∴()2(1)2f x x f ''=⇒=，此时切点为(11)，
， ∴l 的方程为12(1)210y x x y -=-⇒--=．
（Ⅱ）解：∵22()22ln 2f x x ax a x a =--+，函数()f x 在区间(1)+∞，上单调递增，
∴22222()220a x ax a
f x x a x x
--'=--=≥在区间(1)+∞，上恒成立，
∴2
1x a x +≤在(1)x ∈+∞，上恒成立，则2min
(1)1x a x x ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭≤，，，
令2
()1
x M x x =+，则2222
2(1)2()(1)(1)x x x x x M x x x +-+'==++，当(1)x ∈+∞，时，()0M x '>， ∴21
()(1)12x M x M x =>=+，
∴12a ⎛
⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦，．
（Ⅲ）证明：∵2ln ()x g x x '=
，∴2ln1
(1)01
g '==，则2()ln g x x =， ∴222
2
2
2ln ()22ln ln 22(ln )2x x F x x ax a x x a a x x a ⎡⎤
+=--++=-++⎢⎥⎣⎦
，
令222
ln ()(ln )2
x x
P a a x x a +=-++，
则222
2222ln ln ln ln (ln )(ln )()222244x x x x x x x x x x x x P a a a ++++--⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭≥， 令()ln Q x x x =-，则11
()1x Q x x x
-'=-
=
， 显然()Q x 在区间(01)，
上单调递减，在区间[1)+∞，上单调递增，则min ()(1)1Q x Q ==， ∴1()4P a ≥，则11
()242
F x ⨯=≥．
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）曲线C 在直角坐标系下的普通方程为2
214
x y +=，
将其化为极坐标方程为2222cos sin 14
ρθ
ρθ+=，
分别代入π4θ=和π4θ=-，得228
||||5
OA OB ==，
∵π2
AOB ∠=
， ∴AOB △的面积14||||25
S OA OB =
= ．
（Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得2560t +-=，
即12126
5
t t t t +==-，
∴
12
||||
AB t t
=-==．
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（Ⅰ）方法1：∵
360
()|||26|603
363
x x
f x x x x x
x x
-+
⎧
⎪
=+-=-+<
⎨
⎪->
⎩
，≤，
，≤，
，，
∴()
f x在(0]
-∞，上是减函数，在(03]
，上是减函数，在(3)
+∞
，上是增函数，
则
min
()(3)3
f x f
==，
∴3
a=．
方法2：∵|||26|(|||3|)|3|
x x x x x
+-=+-+-|(3)||3|3|3|303
x x x x
--+-=+-+=
≥≥，当且仅当
(3)0
3
30
x x
x
x
-
⎧
⇒=
⎨
-=
⎩
≤，
时取等号，
∴3
a=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=，定义域为[34]
，，且0
y>，
由柯西不等式可得：
y==
5，
当且仅当时等号成立，即
84
[34]
25
x=∈，时，函数取最大值5．
曲靖一中高考复习质量监测卷四
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
10．∵()()0x f x f x '-<，∴2()()()0f x x f x f x x x ''-⎛
⎫=< ⎪
⎝⎭
，
则()
f x y x
=在{|0}x x ≠上是减函数， ∵0.2sin 400ln 2121<<<>，，，∴a b c >>，故选A ． 11．∵11m n >>，，4
e mn =，∴l n
l n 4m n +=，∴2
ln ln ln ln ln ln 42m
m n t n
t m n +⎛⎫
=⇒== ⎪⎝⎭
≤，
∴4e t ≤，故选D ．
12．∵()sin cos [11]f x x x x x '=+∈-，，
，∴当[10]x ∈-，时，()0f x '≤，当(01]x ∈，时，()0f x '>，则()f x 在[10]-，上是减函数，在(01]，上是增函数，∴
11(1)()111|1|||x f x f x x x x -⎧⎪
+>⇔-+⎨⎪+>⎩
≤≤，
≤≤，
1
02
x ⇒-<≤，故选B ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
16．∵(11)(11)m n ==- ，，，，由()()OP m n x y λμλμλμ=+⇒=+-
，，，∴将x λμ=+，y λ=
μ-，代入20400x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，
≤，得10400λλμλμ-⎧⎪
+-⎨⎪-⎩
≥，
≤，≤，画出其对应的可行域，则可用斜率的几何意
义求得
μλ的最大值为3，∴22λμμλλ
+=+的最大值为5． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设d 为等差数列{}n a 的公差，由题意0d >，………………………………（1分）
由12a =，22a d =+，322a d =+，分别加上002，，后成等比数列，
∴2(2)2(42)d d +=+，∵0d >，∴2d =，…………………………………………（3分）
∴2(1)22n a n n =+-⨯=，………………………………………………………………（4分）
又22log n n a b =，∴2log n b n =，即2n n b =．……………………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得221n n c n =+-，
∴123(221)(421)(621)(221)n n T n =+-++-++-+++-…
23(2462)(2222)n n n =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+- ……………………………………（9
分）
(22)2(12)212
n n n n +-=+--
2122n n +=+-．…………………………………………………………………………（12
分）
18．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：由题意：22ππ2sin 2sin 322
C A
a c
b --+=， ∴2
22cos 2cos 322
C A
a c
b +=，……………………………………………………………（1分）
由正弦定理得2
22sin cos 2sin cos 3sin 22
C A
A C
B +=， 即sin (1cos )sin (1cos )3sin A
C C A B +++=，
∴sin sin sin cos cos sin 3sin A C A C A C B +++=，……………………………………（3分）
即sin sin sin()3sin A C A C B +++=， ∵sin()sin A C B +=，
∴sin sin 2sin A C B +=，即2a c b +=，
∴a b c ，，成等差数列．…………………………………………………………………（6
分）
（Ⅱ）解：由余弦定理得22π
2cos
163
a c ac +-=， ∴2()316a c ac +-=，……………………………………………………………………（8分）
又由（Ⅰ）得8a c +=，
∴16ac =，………………………………………………………………………………（10分）
则1
sin 2S ac B ==12
分）
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：方法1：如图，取DG 的中点M ，连接FM AM ，， ∵在正方形ABED 中，AB DE ∥，AB DE =， 在直角梯形EFGD 中，FM DE ∥，FM D E =，
∴AB FM ∥，AB FM =，即四边形ABFM 是平行四边形，
………………………………………………（2分） ∴BF AM BF AM =∥，，
∵在直角梯形ADGC 中，AC MG AC MG =∥，，即四边形AMGC 是平行四边形，
………………………………………………………………………………………（4
分）
∴AM CG AM CG =∥，，
由上得BF CG BF CG =∥，，即四边形BFGC 是平行四边形，
∴B C G F ，
，，四点共面．………………………………………………………………（6分）
方法2：由正方形ABED ，直角梯形EFGD ，直角梯形ADGC 所在平面两两垂直， 易证：AD DE DG ，，两两垂直，建立如图所示的坐标系，则
(002)(202)(012)(200)(210)(020)A B C E F G ，，，，，，，，，，，，，，，，，，
∵(012)(012)BF CG =-=-
，，，，，，…………………………………………………（3分）
∴BF CG =
，即四边形BCGF 是平行四边形，
故G B C F ，
，，四点共面．………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：设平面BFGC 的法向量为111()m x y z =
，，， ∵(210)FG =-
，，，
则11112020BF m y z FG m x y ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩
，
，令12y =，则(121)m = ，，，………………………………（8分）
设平面BCE 的法向量为222()n x y z = ，，，且(210)(002)BC EB =-= ，，，，，，
则2222020BC n x y EB n z ⎧=-+=⎪⎨==⎪⎩
，
， 令21x =，则(120)n = ，，，……………………………（10分）
∴
设
二
面
角
E B C
-
-的平面角的大小为θ，
则
30
c o s |||m n m n θ== ． ………………………………………………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由题意：()sin()1cos 0sin()f x x x x ωϕωωϕ=+⨯-⨯=+， ∵2ππ02||
ωωω=>⇒=，，∴()sin(2)f x x ϕ=+，……………………………………（2
分）
∴()f x 的图象向右平移
π3个单位后得π2πsin 2sin 233y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=-+=-
+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 此函数为奇函数，则2ππ3k k ϕ-+=∈Z ，，∵π||2ϕ<，∴π
3
ϕ=-，………………（4分）
∴π()sin 23f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
由πππ2π22π232k x k k --+∈Z ≤≤，可得π5π
ππ1212
k x k k -+∈Z ≤≤，，
∴()f x 的单调增区间为π5πππ1212k k k ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z ，，．…………………………………（6
分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得5π5πππsin 2sin 1121232A f ⎛⎫⎛
⎫==⨯
-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， ∴2n S n =，………………………………………………………………………………（8分） ①当1n =时，111a S ==；
②当2()n n +∈N ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-， 而12111a =⨯-=，
∴21n a n =-，…………………………………………………………………………（10分） 则
12211
(21)(21)2121
n n a a n n n n +==--+-+， ∴111111
111335212121n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<-++．……………………………（12
分）
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：当0a =时，2()f x x =，
∴()2(1)2f x x f ''=⇒=，此时切点为(11)，
， ∴l 的方程为12(1)210y x x y -=-⇒--=．…………………………………………（3分）
（Ⅱ）解：∵22()22ln 2f x x ax a x a =--+，函数()f x 在区间(1)+∞，上单调递增，
∴22222()220a x ax a
f x x a x x
--'=--=≥在区间(1)+∞，上恒成立，
∴2
1x a x +≤在(1)x ∈+∞，上恒成立，则2min
(1)1x a x x ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭≤，，，
令2
()1
x M x x =+，则22222(1)2()(1)(1)x x x x x M x x x +-+'==++，当(1)x ∈+∞，时，()0M x '>，
∴21
()(1)12x M x M x =>=+，
∴12a ⎛
⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦，．…………………………………………………………………………（7
分）
（Ⅲ）证明：∵2ln ()x g x x '=
，∴2ln1
(1)01
g '==，则2()ln g x x =， ∴222
2
2
2ln ()22ln ln 22(ln )2x x F x x ax a x x a a x x a ⎡⎤
+=--++=-++⎢⎥⎣⎦
，
令222
ln ()(ln )2
x x
P a a x x a +=-++，
则
2
2
2
2222ln ln ln ln (ln )(ln )()222244x x x x x x x x x x x x P a a a ++++--⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
≥， 令()ln Q x x x =-，则11
()1x Q x x x
-'=-
=
， 显然()Q x 在区间(01)，上单调递减，在区间[1)+∞，上单调递增，则min ()(1)1Q x Q ==，
∴1()4P a ≥，则11
()242F x ⨯=≥．……………………………………………………（12
分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）曲线C 在直角坐标系下的普通方程为2
214
x y +=，
将其化为极坐标方程为2222cos sin 14
ρθ
ρθ+=，………………………………………（2
分）分别代入π4θ=和π4θ=-，得228
||||5
OA OB ==，
∵π2
AOB ∠=
， ∴AOB △的面积14
||||25
S OA OB == ．………………………………………………（5分）
（Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得2560t +-=，…………………（7分）
即12126
5
t t t t +==-，
∴12||||AB t t =-=．…………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（Ⅰ）方法1：∵360()|||26|603363x x f x x x x x x x -+⎧⎪
=+-=-+<⎨⎪->⎩
，≤，，
≤，，，………………………（2分）
∴()f x 在(0]-∞，上是减函数，在(03]，上是减函数，在(3)+∞，上是增函数， 则min ()(3)3f x f ==，
∴3a =．…………………………………………………………………………………（5分）
方法2：∵||
x x x
x x
+
-
=+-
|(x x x
-
-
+-
≥≥
，
当且仅当(3)0330x x x x -⎧⇒=⎨
-=⎩
≤，
时取等号， ∴3a =．…………………………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y =，定义域为[34]，，且0y >， 由柯西不等式可得：
y =
5=，
当且仅当=时等号成立，即84
[34]25
x =
∈，时，函数取最大值5． ……………………………………………………………………………………（10分）。