第3讲函数的奇偶性.doc

第三讲函数的奇偶性
考纲要求：了解奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法 。

1.奇函数：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()
1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f 〕，则称()f x 为奇函数。

2.偶函数：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或
()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕，则称()f x 为偶函数。

3.奇、偶函数的性质
（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。

（3）若奇函数的定义域包含数0，则(0)0f =。

（4）奇函数的反函数也为奇函数.
（5）定义在关于原点对称区间上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和。

几个与函数奇偶性相关的结论：
①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。

③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==。

如若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)31(f =2，则不等式2)(log 8
1>x f 的解集为______. （答：(0,0.5)(2,)+∞） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛=><<⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛>21log 81log 31log 1031)(log 8131818
181x x f x f 或⎪⎩⎪⎨⎧=<>21log 31log 18181x x ∴()()+∞∈,25.0,0 x
（ⅱ）如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数。

偶函数没有反函数。

④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分
也不必要条件。

如若22()21
x x a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝____（答：1）. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的
和（或差）”。

设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()()2
f x f x F x +-=，()()()2f x f x G x --=。

)(x F 为偶函数，)(x G 为奇函数。

若将函数)110lg()(+=x x f ，表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和，则)(x g ＝____
（答： )(x g ＝12
x ） ⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。

⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）。

】
设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ）
(A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数
(C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数
【考点分析】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。

解析：A 中()()()F x f x f x =-则()()()()F x f x f x F x -=-=，即
函数()()()F x f x f x =-为偶函数；
B 中()()()F x f x f x =-，()()()F x f x f x -=-此时()F x 与()F x -的关系不能确定，即函数()()()F x f x f x =-的奇偶性不确定；
C 中()()()F x f x f x =--，()()()()F x f x f x F x -=--=-，即函数()()()F x f x f x =--为奇函数；
D 中()()()F x f x f x =+-，()()()()F x f x f x F x -=-+=，即函数()()()F x f x f x =+-为偶函数，故选择答案D 。

】本题考查抽象函数的奇偶性，抓住定义是关键。

设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，
,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且,0)3(=-g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ）
A ．),3()0,3(+∞⋃-
B ．)3,0()0,3(⋃-
C ．),3()3,(+∞⋃--∞
D ．)3,0()3,(⋃--∞
【考点分析】本题考查函数的单调性与借助函数图象解不等式，中档题。

解析：()()[]0)()()()(`>'+'=x g x f x g x f x g x f ，即函数()()x g x f 在()0,∞-上是增函数。

由0)3(=-g 得()()033=--g f ，故在()0,∞-上，不等式0)()(<x g x f 的解集为()3,-∞-；又()x g 是R 上的偶函数，故()0)3(3=-=g g ，得()()033=g f 函数()()x g x f 是奇函数，故()()x g x f 在()+∞,0上是增函数，故在()+∞,0上，不等式0)()(<x g x f 的解集为()3,0，故选择D 。

设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象
图,则不等式()0<x f 的解是 (－
2,0)∪(2,5] .
【考点分析】本题考查奇函数的图象性质与图象法解不等式，基础题。

解析：根据奇函数图象关于原点对称，可得全图，由图象知不等式
()0<x f 的解是(－2,0)∪(2,5]
若函数)2(log )(22a x x x f n ++=是奇函数，则a = 。

【考点分析】本题主要考查函数的奇偶性,由函数的奇偶性的定义可求得.
解法1：由题意可知，()()f x f x =--，即
x =， 因此221a =，2
2±=a 。

解法2：函数的定义域为R,又()x f 为奇函数,故其图象必过原点即()00=f ，所以
()
0200log 2=++a n ,1=即||2
a =推出答案2a =± 【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前
提条件是函数的定义域必须关于原点对称。

若函数()x f 为奇函数()()()f x f x y f x ⇔-=-⇔=的图象关于原点对称.
若函数()x f 为偶函数()()()f x f x y f x ⇔-=⇔=的图象关于y 轴对称.
判断函数()⎩⎨⎧>+<-=).
0()1(),0()1(x x x x x x x f 的奇偶性 解析：∵函数()x f 的定义域是()()+∞∞-,00, ，
并且当0>x 时，0<-x ，∴()()[]()()()011>-=+-=---=-x x f x x x x x f 。

当0<x 时，0>-x ，∴()()()()01<-=--=-x x f x x x f 。

故函数()x f 为奇函数.
评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明。

（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式
已知函数1().21x f x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =________。

解析：函数1().21
x f x a =-+若()f x 为奇函数，则(0)0f =，即01021a -=+，21=a .
已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .
解：当),0(∞+∈x 时，有)0,(∞-∈-x ，注意到函数()f x 是定义在),(∞+∞-上的偶函数，于是，有()()()44
x x x x x f x f --=
---=-=。

从而应填4x x --。

已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a
+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；
解析：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即1
11201()22x
x b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由()()11--=f f 知11122 2.41
a a a --=-⇒=++ （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知11211()22221
x x x f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数。

又因()f x 是奇函数，从而不等式：22(2)(2)0f t t f t k -+-<
等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得：
2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->，
从而判别式14120.3
k k ∆=+<⇒<- 解法二：由（Ⅰ）知112()22x
x f x +-=+．又由题设条件得：2222222121121202222
t t t k t t t k ---+-+--=<++， 即：2222212212(22)(12)(22)(12)0t k t t t t t k -+--+-+-++-<，
整理得 23221,t t k -->因底数2>1,故:2320t t k -->
上式对一切t R ∈均成立，从而判别式14120.3
k k ∆=+<⇒<-
【课内练习】
1．下列命题中，真命题是（ C ）
A ．函数1
y x
=是奇函数，且在定义域内为减函数
B ．函数30(1)y x x =-是奇函数，且在定义域内为增函数
C ．函数2y x =是偶函数，且在（-3，0）上为减函数
D ．函数2(0)y ax c ac =+≠是偶函数，且在（0，2）上为增函数
提示：A 中，1
y x
=在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当0a <时，2(0)y ax c ac =+≠在（0，2）上为减函数，答案为C ．
2． 若)(x ϕ，()g x 都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5，则()f x 在（－∞，0）上有（ ）
A ．最小值－5
B ．最大值－5
C ．最小值－1
D ．最大值－3
提示：)(x ϕ、()g x 为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．
又()f x 有最大值5， ∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．
∴()f x －2在(,0)-∞上有最小值－3，∴()f x 在(,0)-∞上有最小值－1．答案为C ．
3．定义在R 上的奇函数()f x 在（0，+∞）上是增函数，又(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（A ）
A ．（－3，0）∪（0，3）
B ．（－∞，－3）∪（3，+∞）
C ．（－3，0）∪（3，+∞）
D ．（－∞，－3）∪（0，3）
提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为A ．
4.已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在［0，2］上是单调减函数，则（A ）
A .(0)(1)(2)f f f <-<
B . (1)(0)(2)f f f -<<
C . (1)(2)(0)f f f -<<
D . (2)(1)(0)f f f <-<
提示：由f （x －2）在［0，2］上单调递减，∴()f x 在［－2，0］上单调递减.
∵()y f x =是偶函数，∴()f x 在［0，2］上单调递增. 又(1)(1)f f -=，故应选A .
5．已知()f x 奇函数，当x ∈（0，1）时，()f x =lg x
+11，那么当x ∈（－1，0）时，()f x 的表达式是lg(1)x -．
提示：当x ∈（－1，0）时，x -∈（0，1），∴1()()lg
lg(1)1f x f x x x =--=-=--． 6．已知x a x a x f -+-=2log )(3
是奇函数，则2007a ＋2007a = 2008． 提示： 32(0)log 0a f a -==，21a a
-=，解得：1a =，经检验适合，200720072008a a +=．
7．若()f x 是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，()1f x x =-，则(1)0f x -
<的解集是{|02}x x << 提示：偶函数的图象关于y 轴对称，先作出()f x 的图象，由图可知()0f x <的解集
为{|11}x x -<<，∴(1)0f x -<的解集为{|02}x x <<.
8．试判断下列函数的奇偶性：
（1）()|2||2|f x x x =++-； （2）331)(2
-+-=x x x f ； （3）0)1(||)(-=x x
x x f ． 解：（1）函数的定义域为R ，()|2||2||2||2|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，
故()f x 为偶函数．
（2）由210|3|30x x ⎧-≥⎨+-≠⎩
得：110x x -≤≤≠且，定义域为[1,0)(0,1]-，关于原点对称，
()f x ==，()()f x f x x
-==--，故()f x 为奇函数． （3）函数的定义域为(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数．
9．已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，若(3)f a -=，用a 表示(12)f ．
解：显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，
令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，
令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =，
∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数．
∵(3)f a -=， ∴(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．
10．已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c
+=∈+是奇函数，又，(1)2f =，(2)3f <，求a 、b 、c 的值. 解：由()()f x f x -=-得()bx c bx c -+=-+ ∴c=0. 又(1)2f =，得12a b +=，
而(2)3f <，得4131
a a +<+，解得12a -<<. 又a Z ∈，∴0a =或1a =.
若0a =，则b=12
Z =∉，应舍去； 若1a =，则b=1∈Z. ∴1,1,0a b c ===.。