吉林省吉林市2019-2020学年中考数学第三次押题试卷含解析

吉林省吉林市2019-2020学年中考数学第三次押题试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知抛物线y ＝x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜x ＜4
B ．﹣1＜x ＜3
C ．x ＜﹣1或x ＞4
D ．x ＜﹣1或x ＞3
2．如果一元二次方程2x 2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么实数m 的取值为（ ）
A ．m ＞98
B ．m 89f
C ．m=98
D ．m=89
3．如图，将函数21(3)12
y x =++的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （-4，m ），B （-1，n ）,平移后的对应点分别为点A'、B'.若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是 （ ）
A ． 21(3)22y x =
+- B ． 21(3)72y x =++ C ． 21325y x =+-() D ． 21342
y x =++() 4．下列方程中，没有实数根的是（ ） A ．x 2﹣2x=0 B ．x 2﹣2x ﹣1=0
C ．x 2﹣2x+1 =0
D ．x 2﹣2x+2=0 5．如图,把一个矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′为（ ）。

A ．70°
B ．65°
C ．50°
D ．25°
6
．估计
3﹣2的值应该在（ ） A ．﹣1﹣0之间 B ．0﹣1之间 C ．1﹣2之间 D ．2﹣3之间
7．如图，△ABC 中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AED 的位置，使得DC ∥AB ，则∠BAE 等于（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
8．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D 是AB 的中点，G 是△ABC 的重心，如果以点D 为圆心DG 为半径的圆和以点C 为圆心半径为r 的圆相交，那么r 的取值范围是（ ）
A ．r ＜5
B ．r ＞5
C ．r ＜10
D ．5＜r ＜10
9．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣5＝0的两根，则x 12+x 22的值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．14
D ．16
10．方程5x ＋2y ＝－9与下列方程构成的方程组的解为212x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩
的是( ) A ．x ＋2y ＝1
B ．3x ＋2y ＝－8
C ．5x ＋4y ＝－3
D ．3x －4y ＝－8
11．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
A ．AE=6cm
B ．4sin EB
C 5∠= C ．当0＜t≤10时，22y t 5=
D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形
12．若代数式238M x =+，224N x x =+，则M 与N 的大小关系是（ ）
A ．M N ≥
B ．M N ≤
C ．M N >
D ．M N <
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，以点C 为圆心，CB 长为半径作弧，交AB
于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于1
2
BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB
于点F，则AF的长为_____．
14．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a+c=0，以下列四个结论中正确的是_____（填写序号）．
①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；
③如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1；
④如果5是方程M的一个根，那么1
5
是方程N的一个根．
15．如图，已知圆锥的母线SA 的长为4，底面半径OA 的长为2，则圆锥的侧面积等
于．
16．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函
数y=1
x
的图象上，则菱形的面积为_____．
17．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= ．
18．如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为___________ .
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，已知点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过A，
B ，
C 三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E ，P 为第一象限内抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，交线段BC 于点F ，若四边形DEFP 为平行四边形，求点P 的坐标．
20．（6分）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 边上一点，过点D
作DE ⊥BC ，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE.求证：CE=AD ；当D 在AB 中点时，四边形BECD
是什么特殊四边形？说明理由；若D 为AB 中点，则当A ∠=______时，四边形BECD 是正方形.
21．（6分）某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：y=﹣2x+1．设这种产品每天的销售利润为W 元．
（1）该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克多少元？
（2）如果物价部门规定这种农产品的销售价不高于每千克28元，销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．（8分）解方程：（x ﹣3）（x ﹣2）﹣4=1．
23．（8分）为了丰富校园文化，促进学生全面发展．我市某区教育局在全区中小学开展“书法、武术、黄梅戏进校园”活动．今年3月份，该区某校举行了“黄梅戏”演唱比赛，比赛成绩评定为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，该校部分学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题．
（1）求该校参加本次“黄梅戏”演唱比赛的学生人数；
（2）求扇形统计图B 等级所对应扇形的圆心角度数；
（3）已知A 等级的4名学生中有1名男生，3名女生，现从中任意选取2名学生作为全校训练的示范者，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选1名男生和1名女生的概率．
24．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，BE 是弦，点D 是弦BE 上一点，连接OD 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，过点D 作FD ⊥OC 交⊙O 的切线EF 于点F ．
（1）求证：∠CBE ＝12
∠F ； （2）若⊙O 的半径是23，点D 是OC 中点，∠CBE ＝15°，求线段EF 的长．
25．（10分）已知：如图，梯形ABCD ，DC ∥AB ，对角线AC 平分∠BCD ，点E 在边CB 的延长线上，EA ⊥AC ，垂足为点A ．
（1）求证：B 是EC 的中点；
（2）分别延长CD 、EA 相交于点F ，若AC 2=DC•EC ，求证：AD ：AF=AC ：FC ．
26．（12分）如图，已知O e 的直径10AB =，AC 是O e 的弦，过点C 作O e 的切线DE 交AB 的延长线于点E ，过点A 作AD DE ⊥，垂足为D ，与O e 交于点F ，设DAC ∠，CEA ∠的度数分别是α，β，且045α︒<<︒．
（1）用含α的代数式表示β；
（2）连结OF交AC于点G，若AG CG
=，求»AC的长．
27．（12分）如今，旅游度假成为了中国人庆祝传统春节的一项的“新年俗”，山西省旅发委发布的《2018年“春节”假日旅游市场总结分析报告》中称：山西春节旅游供需两旺，实现了“旅游接待”与“经济效益”
的双丰收，请根据图表信息解决问题：
（1）如图1所示，山西近五年春节假日接待海内外游客的数量逐年增加，2018年首次突破了“千万”大关，达到万人次，比2017年春节假日增加万人次．
（2）2018年2月15日﹣20日期间，山西省35个重点景区每日接待游客数量如下：
日期
2月15日
（除夕）2月16日
（初一）
2月17日
（初二）
2月18日
（初三）
2月19日
（初四）
2月20日
（初
五）
日接待游客数量
（万人次）
7.56 82.83 119.51 84.38 103.2 151.55
这组数据的中位数是万人次．
（3）根据图2中的信息预估：2019年春节假日山西旅游总收入比2018年同期增长的百分率约为，理由是．
（4）春节期间，小明在“青龙古镇第一届新春庙会”上购买了A，B，C，D四枚书签（除图案外完全相同）．正面分别印有“剪纸艺术”、“国粹京剧”、“陶瓷艺术”、“皮影戏”的图案（如图3），他将书签背面朝上放在桌面上，从中随机挑选两枚送给好朋友，求送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的概率．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B
【解析】
试题分析：观察图象可知,抛物线y=x2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标分别为（﹣1,0）、（1,0）,
所以当y＜0时,x的取值范围正好在两交点之间,即﹣1＜x＜1．
故选B．
考点：二次函数的图象．106144
2．C
【解析】
试题解析：∵一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=32-4×2m=9-8m=0，
解得：m=9
8
．
故选C．
3．D
【解析】
分析：过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，过A′作A′D∥x轴，交B′B的于点D，则C（-1，m），AC=-1-(-1)=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．
详解：过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，过A′作A′D∥x轴，交B′B的于点D，则C（-1，m），∴AC=-1-(-1)=3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴矩形ACD A′的面积等于9，
∴AC·AA′=3AA′=9，
∴AA′=3，
∴新函数的图是将函数y=1
2
（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到的，
∴新图象的函数表达式是y=1
2
（x-2）2+1+3=
1
2
（x-2）2+1．
故选D．
点睛：此题主要考查了二次函数图象变换以及矩形的面积求法等知识，根据已知得出AA′的长度是解题关键．
4．D
【解析】
【分析】
分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．
【详解】
A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．
故选D．
5．C
【解析】
【分析】
首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠EFB=∠FED=65°，
由折叠的性质知，∠DEF=∠FED′=65°，
∴∠AED′=180°-2∠FED=50°，
故选：C．
【点睛】
此题考查了长方形的性质与折叠的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．6．A
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵1＜2，
∴1-22＜2-2，
∴-12＜0
在-1和0之间．
故选A．
【点睛】
7．C
【解析】
试题分析：∵DC ∥AB ，∴∠DCA=∠CAB=65°
. ∵△ABC 绕点A 旋转到△AED 的位置，∴∠BAE=∠CAD ，AC=AD.
∴∠ADC=∠DCA="65°." ∴∠CAD=180°﹣∠ADC ﹣∠DCA="50°." ∴∠BAE=50°．
故选C ．
考点：1.面动旋转问题； 2. 平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质．
8．D
【解析】
延长CD 交⊙D 于点E ，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB=22AC BC +=15， ∵D 是AB 中点，∴CD=115AB=22
， ∵G 是△ABC 的重心，∴CG=2CD 3
=5，DG=2.5， ∴CE=CD+DE=CD+DF=10，
∵⊙C 与⊙D 相交，⊙C 的半径为r ，
∴ 510r <<，
故选D.
【点睛】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG 的长是解题的关键.
9．C
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，x 1•x 2=-5，再变形x 12+x 22得到（x 1+x 2）2-2x 1•x 2，然后利用代入计算即可．
【详解】
∵一元二次方程x 2-2x-5=0的两根是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=2，x 1•x 2=-5，
∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=22-2×（-5）=1． 故选C ． 【点睛】
考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b
a
，x 1•x 2=
c a
． 10．D 【解析】
试题分析：将x 与y 的值代入各项检验即可得到结果． 解：方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是3x ﹣4y=﹣1．
故选D ．
点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 11．D 【解析】
（1）结论A 正确，理由如下：
解析函数图象可知，BC=10cm ，ED=4cm ， 故AE=AD ﹣ED=BC ﹣ED=10﹣4=6cm ． （2）结论B 正确，理由如下：
如图，连接EC ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，
由函数图象可知，BC=BE=10cm ，BEC 11
S 40BC EF 10EF 5EF 22
∆==⋅⋅=⋅⋅=， ∴EF=1．∴EF 84
sin EBC BE 105
∠=
==． （3）结论C 正确，理由如下： 如图，过点P 作PG ⊥BQ 于点G ，
∵BQ=BP=t ，∴2BPQ 11142
y S BQ PG BQ BP sin EBC t t t 22255
∆==
⋅⋅=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=． （4）结论D 错误，理由如下：
当t=12s 时，点Q 与点C 重合，点P 运动到ED 的中点， 设为N ，如图，连接NB ，NC ．
此时AN=1，ND=2，由勾股定理求得：NB=2NC=217 ∵BC=10，
∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PBQ 不是等腰三角形． 故选D ． 12．C 【解析】
∵223824M x N x x =+=+，，
∴222238(24)48(2)40M N x x x x x x -=+-+=-+=-+>， ∴M N >. 故选C.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．1； 【解析】
分析：根据辅助线做法得出CF ⊥AB ，然后根据含有30°角的直角三角形得出AB 和BF 的长度，从而得出AF 的长度．
详解：∵根据作图法则可得：CF ⊥AB ， ∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4， ∴AB=2BC=8， ∵∠CFB=90°，∠B=10°， ∴BF=1
2
BC=2， ∴AF=AB －BF=8－2=1．
点睛：本题主要考查的是含有30°角的直角三角形的性质，属于基础题型．解题的关键就是根据作图法则得出直角三角形．
14．①②④ 【解析】
试题解析：①在方程ax 2+bx+c=0中△=b 2-4ac ，在方程cx 2+bx+a=0中△=b 2-4ac ， ∴如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根，正确； ②∵
c a 和a c 符号相同，b a 和a
b
符号也相同， ∴如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同，正确； ③、M-N 得：（a-c ）x 2+c-a=0，即（a-c ）x 2=a-c ， ∵a≠c ，
∴x 2=1，解得：x=±1，错误； ④∵5是方程M 的一个根， ∴25a+5b+c=0， ∴a+15b+
1
+25
c=0， ∴
1
5
是方程N 的一个根，正确． 故正确的是①②④． 15．8π 【解析】 【分析】
圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可． 【详解】
侧面积=4×4π÷2=8π． 故答案为8π． 【点睛】
本题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面积的计算可以转化为扇形的面积的计算，理解圆锥与展开图之间的关系． 16．1 【解析】 【分析】
连接AC 交OB 于D ，由菱形的性质可知AC OB ．根据反比例函数k
y x
＝中k 的几何意义，得出△AOD 的面积=1，从而求出菱形OABC 的面积=△AOD 的面积的4倍． 【详解】
连接AC交OB于D．
Q四边形OABC是菱形，
AC OB
∴⊥．
Q点A在反比例函数1
y
x
=的图象上，
AOD
∴V的面积
11
1
22 =⨯=，
∴菱形OABC的面积=4AOD
⨯V的面积=1．
【点睛】
本题考查的知识点是菱形的性质及反比例函数的比例系数k的几何意义．解题关键是反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即
1
2
S k
=．17．3（a+b）（a﹣b）．
【解析】
（2a+b）2﹣（a+2b）2=4a2+4ab+b2-(a2+4ab+4b2)= 4a2+4ab+b2-a2-4ab-4b2=3a2-3b2=3(a2-b2)=3(a+b)(a-b) 18．3
【解析】
试题分析：如图，连接AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=
1
2
BD，CO=
1
2
AC，由勾股定理得，AC=22
33
+=32，BD=22
11
+=2，所以，BO=
1
2
2
⨯=2
2
，CO=
1
32
2
⨯=32
2
，所以，tan∠DBC=
CO
BO
=
32
2
2
2
=3．故答案为3．
考点：3．菱形的性质；3．解直角三角形；3．网格型．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）y=﹣x2+x+3；D（1，）；（2）P（3，）．
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），将点C（0，3）代入可求得a的值，将a的值代入可求得抛物线的解析式，配方可得顶点D的坐标；
（2）画图，先根据点B和C的坐标确定直线BC的解析式，设P（m，-m2+m+3），则F（m，-m+3），
表示PF的长，根据四边形DEFP为平行四边形，由DE=PF列方程可得m的值，从而得P的坐标．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
将点C（0，3）代入得：﹣8a=3，
解得：a=﹣，
y=﹣x2+x+3=﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3，且顶点D（1，）；
（2）∵B（4，0），C（0，3），
∴BC的解析式为：y=﹣x+3，
∵D（1，），
当x=1时，y=﹣+3=，
∴E（1，），
∴DE=-=，
设P（m，﹣m2+m+3），则F（m，﹣m+3），
∵四边形DEFP是平行四边形，且DE∥FP，
∴DE=FP，
即（﹣m2+m+3）﹣（﹣m+3）=，
解得：m1=1（舍），m2=3，
∴P（3，）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，利用方程思想列等式求点的坐标，难度适中．
20．（1）详见解析；(2)菱形；（3）当∠A=45°，四边形BECD是正方形．
【解析】
【分析】
(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
(3)求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
【详解】
(1)∵DE⊥BC，
∴∠DFP=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DFB=∠ACB，
∴DE//AC，
∵MN//AB，
∴四边形ADEC为平行四边形，
∴CE=AD；
(2)菱形，理由如下：
在直角三角形ABC中，
∵D为AB中点，
∴BD=AD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∴MN//AB，
∴BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D是AB中点，
∴BD=CD，（斜边中线等于斜边一半）
∴四边形BECD是菱形；
(3)若D为AB中点，则当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵四边形BECD是菱形，
∴DC=DB，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形，
故答案为45°.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定、正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
21．（1）该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克25元或35元；（2）192元.
【解析】
【分析】
（1）直接利用每件利润×销量=总利润进而得出等式求出答案；
（2）直接利用每件利润×销量=总利润进而得出函数关系式，利用二次函数增减性求出答案．
【详解】
（1）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+1）=150，
解得：x1=25，x2=35，
答：该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克25元或35元；
（2）由题意得：W=（x﹣20）（﹣2x+1）=﹣2（x﹣30）2+200，
∵a=﹣2，
∴抛物线开口向下，当x＜30时，y随x的增大而增大，
又由于这种农产品的销售价不高于每千克28元
∴当x=28时，W 最大=﹣2×（28﹣30）2+200=192（元）．
∴销售价定为每千克28元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元. 【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，正确应用二次函数增减性是解题关键． 22．x 1=
5+17，x 2=
517
- 【解析】
试题分析：方程整理为一般形式，找出a ，b ，c 的值，代入求根公式即可求出解． 试题解析：解：方程化为2520x x -+=，1a =，5b =-，2c =．
224(5)41217b ac ∆=-=--⨯⨯=＞1．
24(5)17517
b b a
c x -±---±±===
． 即1517x +=
，2517
x -=． 23．（1）50；（2）115.2°；（3）. 【解析】
（1）先求出参加本次比赛的学生人数；（2）由（1）求出的学生人数，即可求出B 等级所对应扇形的圆心角度数；（3）首先根据题意列表或画出树状图，然后由求得所有等可能的结果，再利用概率公式即可求得答案．
解：（1）参加本次比赛的学生有：（人）
（2）B 等级的学生共有：（人）.
∴所占的百分比为：
∴B 等级所对应扇形的圆心角度数为：.
（3）列表如下： 男 女1 女2 女3 男 ﹣﹣﹣ （女，男） （女，男） （女，男） 女1 （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女） （女，女） 女2
（男，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
女3 （男，女）（女，女）（女，女）﹣﹣﹣
∵共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种.
∴P（选中1名男生和1名女生）.
“点睛”本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．通过扇形统计图求出扇形的圆心角度数，应用数形结合的思想是解决此类题目的关键．
24．（1）详见解析；（1）623
-
【解析】
【分析】
(1)连接OE交DF于点H，由切线的性质得出∠F+∠EHF =90∘，由FD⊥OC得出∠DOH+∠DHO =90∘，
依据对顶角的定义得出∠EHF＝∠DHO，从而求得∠F=∠DOH，依据∠CBE=1
2
∠DOH，从而即可得证；
(1)依据圆周角定理及其推论得出∠F=∠COE＝1∠CBE =30°，求出OD的值，利用锐角三角函数的定义求出OH的值，进一步求得HE的值，利用锐角三角函数的定义进一步求得EF的值．
【详解】
（1）证明：连接OE交DF于点H，
∵EF是⊙O的切线，OE是⊙O的半径，
∴OE⊥EF．
∴∠F+∠EHF＝90°．
∵FD⊥OC，
∴∠DOH+∠DHO＝90°．
∵∠EHF＝∠DHO，
∴∠F＝∠DOH．
∵∠CBE＝1
2
∠DOH，
∴
1
2 CBE F ∠=∠
（1）解：∵∠CBE＝15°，
∴∠F＝∠COE＝1∠CBE＝30°．
∵⊙O的半径是23D是OC中点，∴3
OD=
在Rt△ODH中，cos∠DOH＝OD OH
，
∴OH＝1．
∴232
HE=-．
在Rt△FEH中，tan=EH
F
EF
∠
∴3623
EF EH
==-
【点睛】
本题主要考查切线的性质及直角三角形的性质、圆周角定理及三角函数的应用，掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．
25．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质结合角平分线的性质可得出∠BCA=∠BAC，进而可得出BA=BC，根据等角的余角相等结合等角对等边，即可得出AB=BE，进而可得出BE=BA=BC，此题得证；
（2）根据AC2=DC•EC结合∠ACD=∠ECA可得出△ACD∽△ECA，根据相似三角形的性质可得出
∠ADC=∠EAC=90°，进而可得出∠FDA=∠FAC=90°，结合∠AFD=∠CFA可得出△AFD∽△CFA，再利用相似三角形的性质可证出AD：AF=AC：FC．
【详解】
（1）∵DC∥AB，∴∠DCA=∠BAC．
∵AC平分∠BCD，∴∠BCA=∠BAC=∠DCA，∴BA=BC．
∵∠BAC+∠BAE=90°，∠ACB+∠E =90°，∴∠BAE=∠E，∴AB=BE，∴BE=BA=BC，∴B是EC的中点；
（2）∵AC2=DC•EC，∴AC DC EC AC
=．
∵∠ACD=∠ECA，∴△ACD∽△ECA，∴∠ADC=∠EAC=90°，∴∠FDA=∠FAC=90°．又∵∠AFD=∠CFA，∴△AFD∽△CFA，∴AD：AF=AC：FC．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用等角对等边找出BA=BC 、BE=BA ；（2）利用相似三角形的判定定理找出△AFD ∽△CFA ．
26．（1）902βα=︒-；（2）
103
π 【解析】
【分析】
（1）连接OC ，根据切线的性质得到OC ⊥DE ，可以证明AD ∥OC ，根据平行线的性质可得DAC ACO ∠=∠，则根据等腰三角形的性质可得2DAE α∠=，利用90DAE E ∠+∠=︒，化简计算即可得到答案；
（2）连接CF ，根据OA OC =，AG CG =可得OF AC ⊥，利用中垂线和等腰三角形的性质可证四边形AFCO 是平行四边形，得到△AOF 为等边三角形，由OA OC =并可得四边形AFCO 是菱形，可证
AOF V 是等边三角形，有∠FAO=60°
，120AOC ∠=︒再根据弧长公式计算即可． 【详解】
解：（1）如图示，连结OC ，
∵DE 是O e 的切线，∴OC DE ⊥．
又AD DE ⊥，∴90D OCE ∠=∠=︒，
∴AD OC P ，
∴DAC ACO ∠=∠．
∵OA OC =，
∴OCA OAC ∠=∠．∴2DAE α∠=．
∵90D ∠=︒，
∴90DAE E ∠+∠=︒．
∴290αβ+=︒，即902βα=︒-．
（2）如图示，连结CF ，
∵OA OC =，AG CG =，
∴OF AC ⊥，
∴FA FC =，
∴FAC FCA CAO ∠=∠=∠，
∴CF OA ∥，
∵AF OC ∥，
∴四边形AFCO 是平行四边形，
∵OA OC =，
∴四边形AFCO 是菱形，
∴AF AO OF ==，
∴AOF V 是等边三角形，
∴260FAO α∠==︒，
∴120AOC ∠=︒，
∵10AB =，
∴»AC 的长1205101803ππ⋅⋅=
=． 【点睛】
本题考查的是切线的性质、菱形的判定和性质、弧长的计算，掌握切线的性质定理、弧长公式是解题的关键．
27．（1）1365.45、414.4（2）93.79（3）30%；近3年平均涨幅在30%左右，估计2019年比2018年同比增长约30%（4）
12
【解析】
【分析】
（1）由图1可得答案；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）由近3年平均涨幅在30%左右即可做出估计；
（4）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．
【详解】
（1）2018年首次突破了“千万”大关，达到1365.45万人次，比2017年春节假日增加1365.45﹣951.05=414.4万人次．
故答案为：1365.45、414.4；
（2）这组数据的中位数是84.38+103.2
2
=93.79万人次，
故答案为：93.79；
（3）2019年春节假日山西旅游总收入比2018年同期增长的百分率约为30%，理由是：近3年平均涨幅在30%左右，估计2019年比2018年同比增长约30%，
故答案为：30%；近3年平均涨幅在30%左右，估计2019年比2018年同比增长约30%．
（4）画树状图如下：
则共有12种等可能的结果数，其中送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的结果数为6，
所以送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的概率为1
2
．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率，也考查了条形统计图与样本估计总体．。