高考理科数学第一轮复习第十章排列组合 第5课时 二项式定理

§10.5 二项式定理
一、内容归纳
1． 知识精讲：
（1）二项式定理：()n
n n r r n r n n n n
n n
b C b a C b a
C a C b a +++++=+-- 1
1
（*∈N n ）
其通项是=+1r T r
r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ），知4求1，如：555
156b a C T T n n -+== 亦可写成：=+1r T r n r n a
b
a C )(
()()()n n n n r
r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=--- （*∈N n ）
特别地：()n
n n r
n r
n n n
n n
x C x
C x C x C x +++++=+- 1
1（*∈N n ）
其中，r
n C ——二项式系数。

而系数是字母前的常数。

（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的
二项式系数相等，即 ,,,,22110k
n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---====
②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。

如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n 偶数：()
1
22
m ax
+==n n n r
n
T C C ；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即
()
1
211
212
12
1max
+++-+-====n n n n
n n
r n
T T C C C 。

③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于n
2即n n n n n C C C 210=+++ ；
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即
131202-=++=++n n n n n C C C C
（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：()N n n n n
∈≥>,322取
()n
n 112+=的展开式中的四项即可。

2．重点难点: 二项式定理，和二项展开式的性质。

3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。

4．特别注意:①二项式的展开式共有n+1项，r r
n r
n b a
C -是第r+1项。

②通项是=+1r T r
r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ）中含有r n b a T r ,,,,1+五个元素，只要知道其
中四个即可求第五个元素。

③注意二项式系数与某一项系数的异同。

④当n 不是很大，|x |比较小时可以用展开式的前几项求n
x )1(+的近似值。

二、问题讨论
例1．（1）n
n
n n n n C C C C 1
3213
93-++++ 等于 （ ） A ．n
4 B 。

n
43⋅ C 。

134-n D.3
14-n （2）若n 为奇数，则77
771
2211---++++n n n n n n n C C C 被9除得的余数是 （ ） A ．0 B 。

2 C 。

7 D.8 解：（1）设n
n
n n n n n C C C C S 1
3
2
1
3
93-++++= ，于是： n n
n n n n n C C C C S 333333
3221++++= =133333
32210
-+++++n
n n n n n n C C C C C 故选D
（2）77
771
2211---++++n n n n n n n C C C ()11918--=-=n
n =()()119199
11
1
1--+-++----n
n n n n n n
C C
因为n 为奇数，所以原式=()2]9199[11
1
1--++----n n n n n n
C C
所以，其余数 为7，选C
例2．（1）(优化设计P179例1)如果在n
x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+
4
21 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。

（2）(优化设计P179例2)求
3
21⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式的常数项。

（3）在()
5
223++x x 的展开式中，求x 的系数（即含x 的项的系数） 解：（1）展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8
)
1(-n n ， 由题意得：2×
2n =1+8
)
1(-n n 得n =8。

设第r+1项为有理项，4
316812
1r r r
r x
c T -+⋅⋅=，则r 是4的倍数，所以r=0，4，8。

有理项为2
95412561
,835,x T x T x T =
=
=。

【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r 。

（2）法一：3
21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 6
1⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x x ，其展开式的通项为()2
2
661
11r r
r
r
r x x
C T ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-+()2
2661r
r r
r
x
C ---=，令
02
26=-r
得3=r 所以，常数项为204
-=T
法二：解析：3
21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+21x x 得到常数的情况有：①三个括号中全取-2，得（-2）
3
②一个括号取||x ，一个括号取
x
1
，一个括号取-2，得)2(1
21
3-C C =-12，因此常数项为-20。

（3）()
5
223++x x =()()(
)(
)
++++=++x C x C x x 1
5451
55
522121
含x 的项为()
x x C C 240225
15415=+ ,即含x 的项的系数为240
【思维点拨】 密切注意通项公式的使用。

练习：(优化设计P180思考讨论)（1）在7
3
2
)1)(1(x x x x -+++的展开式中，求4x 的系数。

（2）求4)44
(-+
x
x 的展开式中的常数项。

（3）求++++++5
4
3
)1()1()1(x x x (50)
)1(x ++的展开式中3x 的系数。

解:（1）原式=
6474
)1)(1()1(11x x x x
x --=---,展开式中4x 的系数为141)1(464=--C （2）4
)44(-+x x =4
8442)2()44(x x x x x -=+-，展开式中的常数项为1120)1(24448=-C
（3）方法一：原式=[]
x
x x x x x 3
51483)1()1(1)1(1)1()1(+-+=-+-++
3x 的系数为4
51C 。

方法二：展开式中3x 的系数为：+++353433C C C …350C +=+++353444C C C …350C +
=++3545C C (3)
50C +=451C
例3(优化设计P180例3)、设a n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1
(n∈N *
，q≠±1)，
A n ＝C
a 1＋C a 2＋…＋C a n .
(1) 用q 和n 表示A n (2) 当13<<-q 时,求n
n
n A 2lim
∞→
解：∵q≠1，∴a n ＝. ∴A n
＝C a 1
＋C a 2
＋…＋C a n ＝
C ＋
C ＋…＋
C
＝[(C ＋C ＋C ＋…＋C )－(C ＋qC ＋q 2
C ＋…＋q n
C )]
＝
[]
n n q q
)1(211
+-- (2) n n A 2⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛+--=n
q q 21111 因为13<<-q 且q≠1，所以<021q +1< 所以n n n A 2lim
∞→=q
-11
【思维点拨】：本题逆用了二项式定理及C ＋C ＋…＋C ＝2n
，这些重要的数学模
型常常运用于解题过程中.
例4、若
()4
32-x =44332210
x a x a x a x a a
++++，求（1）()2
420a a a ++―
()231a a +的值。

（2）3210a a a a +++的值。

【解析】：（1）在使用赋值法前，应先将()2
420a a a ++()231a a +变形为：
()2420a a a ++―()231a a +=()43210a a a a a ++++()43210a a a a a +-+-
才能发现x 应取什么特殊值：
令x = ―1，则()43210a a a a a +-+-=()
4
32+ 令x =1则()43210a a a a a ++++=(
)
4
3
2-
因此：()2
420a a a ++―()2
31a a +=()4
32+·()432-=(
)()[]4
3
232-⋅+=1
1
n
2n n n
q
q n --111n
2n
n
n
q q --111n
q
q --1122n
q
q n --11n n
q
-110
n 1n 2n n n 0
n 1
n 2n n
n 0
n
1n
n
n
（2）因为43210a a a a a ++++ =
()43210a a a a a +-+- =()
4
32+，而
16244==a
所以，3210a a a a +++=
()4
32+―16
【思维点拨】 用赋值法时要注意展开式的形式。

思考题：设()()
()()()
9
92
2105
4
33321+++++++=++x a x a x a a x x
则
()2
86420
a a a a a
++++―
()=++++2
9753
1a a a a
a 解:
()()()022125
4
9210
=+-+-=++++a a a a
所以, ()2
8
6
4
2
a a a a a ++++―()=++++2
9
7531a a a a a
()9210a a a a ++++ ()9
8210a a a a a -+-+- =0
备用题：
例5已知n x （)22
1
(+。

（1） 若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式
系数最大项的系数。

（2） 若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项。

【解】（1）∵5
642n n n C C C =+∴n =7或n =14。

当n =7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5
T 4的系数=235221343
7
=⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；T 5的系数=702214
3
47=⎪⎭
⎫ ⎝⎛C
当n =14时展开式中二项式系数最大是项是T 8，
T 8的系数=34322217
7
714=⎪⎭
⎫ ⎝⎛C 。

（2） 由2
10n n n C C C ++=79，可得n =12，设1+k T 顶的系数最大。

∵()12
12124121221x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--1112121
112124
444k k k k k k k k C C C C ，∴9.4<k <10.4 即k =10，
故展开式中系数最大的项为T 11 。

10101010
1212
11168964121x x C T =⋅⋅⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
【思维点拨】二项式系数与展开式某一项系数是不同的概念。

例6：当N n ∈且n >1，求证3)11(2<+
<n
n
证明: 2111111)11(1221=+>++++=+n
C n C n C n C n n
n n n n n n
()()()()()n n
n n n n n n n n n n n n 12321!1!321!212112⋅⋅--++--+-+=⎪
⎭
⎫
⎝⎛+ 2
112112122
121212!1!31!212112-⎪
⎭⎫
⎝⎛-+
=++++<++++<--n n n .
32131
<-
-n 从而3)11(2<+<n n 【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。

三、课堂小结：
1、二项式定理及二项式系数的性质。

通项公式。

2、要取分二项式系数与展开式项的系数的异同。

3、证明组合恒等式常用赋值法。

四、作业布置 优化设计P180。