广东省广州市广附、广外、铁一三校2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021广州市高一数学上期末试题(及答案)
2020-2021广州市高一数学上期末试题(及答案)一、选择题1．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2B ．2C ．-98D ．982．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 3．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-4．已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．147．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8．已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根9．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ）A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =10．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣111．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．412．设函数()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,∞+D ．[)0,∞+ 二、填空题13．若155325a b c ===，则111a b c+-=__________． 14．已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________．15．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．16．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(log )f =__________.17．已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x x -=-，则(1)(1)f g +=__________.18．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 19．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()y f x =满足()()1f xy f x f y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数.（1）求()1f -，并证明函数()y f x =是偶函数；（2）若()21f =，解不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 22．已知函数f (x )＝2x的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值． 23．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.24．已知函数()2log 11m f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，其中m 为实数. （1）若1m =，求证：函数()f x 在()1,+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值.25．已知函数2()log (421)x xf x a a =+⋅++，x ∈R ．（Ⅰ）若1a =，求方程()3f x =的解集；（Ⅱ）若方程()f x x =有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．26．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A2．A解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.3．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行4．C解析：C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.5．D解析：D 【解析】 【分析】 可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值.【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.7．A解析：A 【解析】 【分析】由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0112a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.8．B解析：B 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()log a g x x =的图象，图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数. 【详解】作出()xf x a =，()log a g x x =图象如下图：由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log xa a x =根的个数为2.故选：B . 【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.9．A解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A10．B解析：B【解析】试题分析：利用函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数，然后利用g （0）=0，可以解得m ．函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数，可得n ，即可得出结论．解：设g （x ）=e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数．又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）=0， 即g （0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数 所以（e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）=0对任意的x 都成立 所以a=1，所以n=1， 所以m+2n=1 故选B ．考点：函数奇偶性的性质．11．C解析：C 【解析】 【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果. 【详解】f (log 43)＝log434=3,选C. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.12．D解析：D 【解析】 【分析】分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 【详解】当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤． 当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1x 2≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选D ． 【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．二、填空题13．1【解析】故答案为解析：1 【解析】155325a b c ===因为，1553log 25,log 25,log 25a b c ∴===，252525111log 15log 5log 3a b c∴+-=+-25log 251==，故答案为1. 14．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m 再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于 解析：-3【解析】 【分析】根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知0m <，故可求出m. 【详解】 因为函数是幂函数所以||21m -=，解得3m =-或3m =. 当3m =时，3y x =在(0,)+∞上是增函数； 当3m =-时，y x =在(0,)+∞上是减函数， 所以3m =-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题.15．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有 解析：(1,2)【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，当4x ≥时，4()1f x x =+单调递减，且4112x<+≤，当04x <<时，2()log f x x =单调递增，且2()log 2f x x =<，所以函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点时，有12k <<．16．【解析】【分析】由已知可得＝a 恒成立且f （a ）＝求出a ＝1后将x ＝log25代入可得答案【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数且对任意实数x 都有f ＝∴＝a 恒成立且f （a ）＝即f （x ）＝﹣+af （a ）解析：23 【解析】 【分析】由已知可得()221x f x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13，求出a ＝1后，将x ＝log 25代入可得答案． 【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f[()221xf x ++]＝13， ∴()221xf x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13， 即f （x ）＝﹣x 221++a ，f （a ）＝﹣x 221++a ＝13， 解得：a ＝1，∴f （x ）＝﹣x 221++1， ∴f （log 25）＝23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x ，都有()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立是解答的关键，属于中档题．17．【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】､分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容易题 解析：32【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，令1x =-即可求解. 【详解】()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且()()2x f x g x x -=- ∴13(1)(1)(1)(1)212f g f g ----=+=+=, 故答案为：32【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，属于容易题.18．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题 解析：{}1,0,1-【解析】 【分析】求出函数()f x 的值域，由高斯函数的定义即可得解. 【详解】2(1)212192()2151551x x x xe f x e e e +-=-=--=-+++， 11x e +>，1011xe∴<<+， 2201xe∴-<-<+， 19195515xe ∴-<-<+， 所以19(),55f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，{}[()]1,0,1f x ∴∈-，故答案为：{}1,0,1- 【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.19．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a 的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点解析：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论1a >，01a <<两种情况，即可得到所求a 的范围． 【详解】函数函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，当01a <<时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22xf x a a =++递减，可得()22222a f x a a +<<++，()f x 的值域为[)3,+∞，可得223a +≥，解得112a ≤<； 当1a >时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22xf x a a =++递增，可得()2225f x a a >++>，则()f x 的值域为[)3,+∞成立，1a >恒成立． 综上可得()1,11,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题．20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题21．（1）()10f -=，证明见解析；（2）[1,2)(2,3]⋃ 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到()f x 与()f x -之间的关系，进而证明；（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可. 【详解】（1）令10y x =≠，则()111f x f x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，得()()()10f f x f x =-=，再令1x =，1y =-，可得()()()111f f f -=--， 得()()2110f f -==，所以()10f -=， 令1y =-，可得()()()()1f x f x f f x -=--=， 又该函数定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数，即证.（2）因为()21f =，又该函数为偶函数，所以()21f -=. 因为函数()f x 在(),0-∞上是减函数，且是偶函数 所以函数()f x 在()0,∞+上是增函数.又412f f x x ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2424x f x f x x -⎛⎫=⋅=-⎪⎝⎭，所以()()242f x f -≤，等价于240,242,x x ->⎧⎨-≤⎩或240,242,x x -<⎧⎨-≥-⎩解得23x <≤或12x ≤<.所以不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为[1,2)(2,3]⋃. 【点睛】本题考查抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式. 22．（1）g (x )＝22x－2x ＋2，{x |0≤x ≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【解析】 【分析】 【详解】（1）f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， 因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}． （2）设．∵x ∈[0,1],即2x ∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3． 23．（1）{}1|0x x <<；（2）12k =-. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：()1由题意得()()()221log 1log f x f x x x +-=+-，然后解不等式即可(2) 图象关于y 轴对称即为偶函数，即：()()22log 21log 21xx kx kx -+-=++成立，从而求得结果解析：（1）因为()()11f x f x +->，所以()22log 1log 1x x +->，即：21log 1x x +>，所以12x x+>，由题意，0x >，解得01x <<，所以解集为{}1|0x x <<.（2）()()21x gx f kx =++ ()2log 21x kx =++，由题意，()g x 是偶函数，所以x R ∀∈，有()()g x g x -=，即：()()22log 21log 21x xkx kx -+-=++成立，所以()()22log 21log 212xxkx -+-+=，即：221log 221x x kx -+=+，所以2log 22xkx -=，所以2x kx -=，()210k x +=，所以12k =-.24．（1）证明见解析（2）0m =或2m = 【解析】 【分析】（1）对于1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，计算()()120f x f x ->得到证明.（2）根据奇函数得到()()0f x f x -+=，代入化简得到()22211x m x --=-，计算得到答案. 【详解】（1）当1m =时，()221log 1log 11x f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 对于1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，()()12122212log log 11x x f x f x x x -=---1212122121221log log 1x x x x x x x x x x ⎛⎫--=⋅= ⎪--⎝⎭因为12x x <，所以12x x ->-，所以121122x x x x x x ->-， 又因1x ，()21,x ∈+∞，且12x x <，所以()1222110x x x x x -=->，即1211221x x x x x x ->-，所以1212122log 0x x x x x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，()()120f x f x ->. 所以函数()f x 在()1,+∞上为减函数. （2）()221log 1log 11m x m f x x x +-⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=. 所以211log log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭211log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2(1)1log 11x m x m x x --+-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭2222(1)log 01x m x ⎛⎫--== ⎪-⎝⎭， 所以()22211x m x --=-，所以()211m -=，0m =或2m =. 【点睛】本题考查了单调性的证明，根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 25．（Ⅰ）{}1（Ⅱ）13a -<<-【解析】 【分析】（Ⅰ）将1a =代入直接求解即可；（Ⅱ）设2x t =，得到()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，利用二次函数的性质列不等式组求解即可. 【详解】（Ⅰ）当1a =时，()()2log 4223xxf x =++=，所以34222x x ++=， 所以4260x x +-=，因此()()23220xx+-=，得22x = 解得1x =， 所以解集为{}1．（Ⅱ）因为方程()2log 421x xa a x +⋅++=有两个不同的实数根， 即4212x x x a a +⋅++=，设2x t =，()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，令()()()211f t t a t a =+-++，由已知可得()()()2001021410f a a a ⎧>⎪-⎪->⎨⎪⎪=--+>⎩解得13a -<<- 【点睛】本题主要考查了对数函数与指数函数的复合函数的处理方式，考查了函数与方程的思想，属于中档题.26．（1）证明见解析（2）4a = 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）首先表示出()()()F x g x f x =-，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。
2020-2021广州市高中必修一数学上期末模拟试卷(附答案)
2020-2021广州市高中必修一数学上期末模拟试卷(附答案)一、选择题1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞3．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－16．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>7．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 8．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根10．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．411．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2B ．12 C ．13 D ．－1212．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值 二、填空题13．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．14．若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；15．己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.16．已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________． 17．已知35m n k ==，且112m n+=，则k =__________ 18．若存在实数(),m n m n <，使得[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，其中0a >且1a ≠，则实数t 的取值范围是______.19．若函数()242x xf x a a =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.20．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 三、解答题21．已知函数31()31x xf x -=+. （1）证明：()f x 为奇函数；（2）判断()f x 的单调性，并加以证明； （3）求()f x 的值域.22．已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或． （1）求,A B A B I U ；（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围． 23．已知函数2()1()f x x mx m =-+∈R ．（1）若函数()f x 在[]1,1x ∈-上是单调函数，求实数m 的取值范围； （2）若函数()f x 在[]1,2x ∈上有最大值为3，求实数m 的值． 24．已知()1log 1axf x x-=+（0a >，且1a ≠）. （1）当(],x t t ∈-（其中()1,1t ∈-，且t 为常数）时，()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；（2）当1a >时，求满足不等式()()2430f x f x -+-≥的实数x 的取值范围. 25．已知全集U=R ，集合{}12A x x x =-或 ，{}213U B x x p x p 或=-+ð． （1）若12p =，求A B ⋂； （2）若A B B ⋂=，求实数p 的取值范围．26．设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≤-． （1）求()U A C B ⋂；（2）若函数()lg(2)f x x a =+的定义域为集合C ，满足A C ⊆，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．2．C解析：C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <， 又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 4．B解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.5．C解析：C 【解析】 【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】 令3,0x t t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1； 故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.6．D解析：D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥Q ，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞；对于D ：0x >Q ，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ． 【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．7．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立； ∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.8．A解析：A 【解析】 【分析】由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0112a a <⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.9．B解析：B 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()log a g x x =的图象，图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数. 【详解】作出()xf x a =，()log a g x x =图象如下图：由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log xa a x =根的个数为2.故选：B . 【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果. 【详解】f (log 43)＝log434=3,选C. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题. 11．B解析：B【解析】y＝1 1x-在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B.12．D解析：D【解析】【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解【详解】画出()f x的图像，如图（实线部分），由()1152y xy x=+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A．故()f x有最大值2，无最小值故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题13．【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题可转化为求值域问题首先求函数的值域然后利用函数的值域是函数值域的子集列出不等式求得结果详解：由条件可知函数的值域是函数值域的子集当时当时所以解得故填：点睛：本解析：[0,1]【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题，可转化为求值域问题，首先求函数()(),f xg x的值域，然后利用函数()f x的值域是函数()g x值域的子集，列出不等式，求得结果.详解：由条件可知函数()f x的值域是函数()g x值域的子集，当11,24x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()[]1,2f x a a∈-++，当[]21,2x∈-时，()[]1,3g x∈-，所以1123a a -+≥-⎧⎨+≤⎩ ，解得01a ≤≤，故填：[]0,1. 点睛：本题考查函数中多元变量任意存在的问题，一般来说都转化为子集问题，若是任意1x D ∈，存在2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min min f x g x >，若是任意1x D ∈，任意2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min max f x g x >，本题意在考查转化与化归的能力.14．【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为： 解析：[)5,+∞【解析】 【分析】根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可. 【详解】当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 且()112f m =+，当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-， 且()27f =，当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++， 且()32f m =+，若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，故实数m 的取值范围为[)5,+∞ 故答案为：[)5,+∞ 【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.15．或【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系分类讨论求出最大值且等于2解关于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；当即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】本题考查二次函数的图像与解析：1-或2. 【解析】 【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解. 【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即210,a a a --==（舍去），或a = 当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===， 综上1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.16．【解析】【分析】由题意可得f （x ）g （x ）的图象均过（﹣11）分别讨论a ＞0a ＜0时f （x ）＞g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题解析：310,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围． 【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2ax =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：310,23⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．17．【解析】因为所以所以故填【解析】因为35mnk ==，所以3log m k =，5log n k =，11lg5lg3lg152lg lg lg m n k k k+=+==，所以1lg lg152k ==k =18．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【解析：10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由已知可构造()2log xa a t x +=有两不同实数根，利用二次方程解出t 的范围即可.【详解】()2()log x a f x a t =+Q 为增函数，且[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,()2log x a a t x ∴+=有两不同实根，即2x x a a t =+有两解， 整理得：20x x a a t -+=， 令,0xm a m => ，20m m t ∴-+=有两个不同的正数根，∴只需1400t t ∆=->⎧⎨>⎩即可，解得104t <<， 故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题.19．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或2【点睛】本题考查已知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解解析：2或12【解析】 【分析】 将函数化为()2()26x f x a =+-,分01a <<和1a >两种情况讨论()f x 在区间[]1,1-上的最大值,进而求a . 【详解】()242x x f x a a =+-()226x a =+-, 11x -≤≤Q ,01a ∴<<时,1x a a a -<<,()f x 最大值为()21(1)2610f a --=+-=,解得12a =1a >时,1x a a a -≤≤,()f x 最大值为()2(1)2610f a =+-=,解得2a =,故答案为:12或2. 【点睛】本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解.20．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误 解析：42【解析】试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【考点】指数运算，对数运算． 【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5log log 2a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误 三、解答题21．（1）证明见详解；（2）函数()f x 在R 上单调递，证明见详解；（3）(1,1)- 【解析】 【分析】（1）判断()f x 的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；（2）判断()f x 在R 上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；（2）由312()13131x x xf x -==-++，可得30x ＞，可得231x +及231x -+的取值范围，可得()f x 的值域.【详解】证明：（1）易得函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称，且3113()()3131x xx x f x f x -----===-++，故()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在R 上单调递增，理由如下：在R 中任取12x x ＜，则1233x x -＜0，131x +＞0，231x +＞0，可得1212121212123131222(33)()()(1)(1)31313131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++＜0 故12()()0f x f x -＜，函数()f x 在R 上单调递增；（3）由312()13131x x x f x -==-++，易得30x ＞，311x +＞，故231x +0＜＜2，231x +-2＜-＜0，故2131x -+-1＜＜1， 故()f x 的值域为(1,1)-.【点睛】本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.22．（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）[]1,2a ∈ 【解析】 【分析】（1）首先求得[]()1,3,,3A B ==-∞，由此求得,A B A B ⋂⋃的值.（2）(),1R C C a a =+，由于()[],11,3a a +⊆，故113a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得[]1,2a ∈.【详解】解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<， （1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）∵{}|1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+，∵()R C C A ⊆，∴113a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴[]1,2a ∈．23．（1）(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞（2）1m =【解析】 【分析】（1）根据二次函数单调性，使对称轴不在区间()1,1-上即可；（2）由题意，分类讨论，当()13f =时和当()23f =时分别求m 值，再回代检验是否为最大值. 【详解】解：（1）对于函数()f x ，开口向上，对称轴2m x =， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递增时，12m≤-，解得2m ≤-， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减时，12m≥，解得2m ≥， 综上，(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞．（2）由题意，函数()f x 在1x =或2x =处取得最大值， 当()13f =时，解得1m =-，此时3为最小值，不合题意，舍去； 当()23f =时，解得1m =，此时3为最大值，符合题意． 综上所述，1m =． 【点睛】本题考查（1）二次函数单调性问题，对称轴取值范围（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，属于中等题型. 24．（1）见解析（2）51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先判定函数的单调性，结合单调性来进行求解()f x 是否存在最小值；（2）先判断函数的奇偶性及单调性，结合奇偶性和单调性把()()2430f x f x -+-≥进行转化求解. 【详解】（1）由101xx ->+可得1010x x ->⎧⎨+>⎩或1010x x -<⎧⎨+<⎩，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-，设1211x x -<<<，则()()()211212122111111x x x x x x x x ----=++++，∵1211x x -<<<，∴210x x ->，()()12110x x ++>，∴12121111x x x x -->++， ①当1a >时()()12f x f x >，则()f x 在()1,1-上是减函数，又()1,1t ∈-， ∴(],x t t ∈-时，()f x 有最小值，且最小值为()1log 1atf t t-=+； ②当01a <<时，()()12f x f x <，则()f x 在()1,1-上是增函数，又()1,1t ∈-， ∴(],x t t ∈-时，()f x 无最小值.（2）由于()f x 的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，且()()111log log 11a a x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭，所以函数()f x 为奇函数.由（1）可知，当1a >时，函数()f x 为减函数，由此，不等式()()2430f x f x -+-≥等价于()()234f x f x -≥-，即有2341211431x x x x -≤-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得513x <<，所以x 的取值范围是51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，奇偶性和单调性常结合求解抽象不等式问题，注意不要忽视了函数定义域，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养. 25．（1）722⎛⎤ ⎥⎝⎦，； （2）342p p -或． 【解析】 【分析】由题意可得{}213B x p x p =-≤≤+,（1）当12p =时，结合交集的定义计算交集即可； （2）由题意可知B A ⊆.分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况即可求得实数p 的取值范围.【详解】因为{}213U B x x p x p =-+，或ð， 所以(){}213UUB B x p x p ==-≤≤+痧,（1）当12p =时，702B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，所以7=22A B ⎛⎤⋂ ⎥⎝⎦，, （2）当A B B ⋂=时，可得B A ⊆.当B =∅时，2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意；当B ≠∅时，应满足21331p p p -≤+⎧⎨+<-⎩或213212p p p -≤+⎧⎨->⎩ 解得44p p ≤⎧⎨<-⎩或432p p ≤⎧⎪⎨>⎪⎩； 即4p <-或342p <≤.综上，实数p 的取值范围342p p -或． 【点睛】本题主要考查交集的定义，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.26．（1）{}23x x <<（2）()2,+∞ 【解析】 【分析】（1）先化简集合B ，再根据集合的交并补运算求解即可；（2）函数()lg(2)f x x a =+定义域对应集合可化简为2a C x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，又A C ⊆，故由包含关系建立不等式即可求解； 【详解】（1）由题知，{}2B x x =≤，{}2U C B x x ∴=>{}13A x x =-≤<Q(){}23UA CB x x ∴⋂=<<（2）函数()lg(2)f x x a =+的定义域为集合2a C x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，A C ⊆Q ，12a∴-<-， 2a ∴>.故实数a 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】本题考查集合的交并补的混合运算，由集合的包含关系求参数范围，属于基础题。
2020-2021学年广东省广州市高一上期末考试数学试卷
2020-2021学年广东省广州市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，1）【解答】解：∵A＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝{x|x＞3或x＜1}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，∴，解得：﹣1≤m＜1，故选：D．2．已知p：|m+1|＜1，q：幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p：|m+1|＜1等价于﹣2＜m＜0，∵幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣m﹣1＝1，且m＜0，解得m＝﹣1，∴p是q的必要不充分条件，故选：B．3．不等式x2﹣1＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：∵x2﹣1＞0，∴（x+1）（x﹣1）＞0，∴或，解不等式组得x＞1或x＜﹣1，故选：D．4．设f（x）＝则f（17）＝（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：根据题意，f（x）＝则f（17）＝f（9）＝f（1）＝21＝2；故选：A．5．设a＝0.74，b＝40.7，c＝log40.7，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝0.74＜0.70＝1，b＝40.7＞40＝1，c＝log40.7＜log41＝0，∴c＜a＜b，故选：D．6．今有一组实验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.07.51218.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．y＝2x﹣2B．C．y＝2x﹣1D．y＝log2x【解答】解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，D，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除C，故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：根据函数的图象，，所以T＝π，则ω＝2，所以φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝．由于|φ|＜，所以当k＝1时，解得φ＝．所以f（x）＝sin（2x+）．为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：A．8．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，则（）A．f（x）的最小正周期为B．曲线y＝f（x）关于对称C．f（x）的最大值为2D．曲线y＝f（x）关于对称【解答】解：函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），所以函数的最小正周期T＝＝π，所以A不正确；f（x）的最大值为，所以C不正确；函数的对称中心满足2x﹣＝kπ，所以x＝+，k∈Z，可得B不正确；函数的对称轴满足2x﹣＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，当k＝0时，x ＝，所以D正确．故选：D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．分析给出的下面四个推断，其中正确的为（）A．若a，b∈（0，+∞），则≥2B．若xy＜0，则≤﹣2C．若a∈R，a≠0，则+a≥4D．若x，y∈（0，+∞），则lgx+lgy≥2【解答】解：选项A，因为a，b∈（0，+∞），所以≥2＝2，当且仅当a＝b 时，等号成立，即选项A正确；选项B，因为xy＜0，所以﹣＞0，﹣＞0，所以＝﹣[（﹣）+（﹣）]≤﹣2＝﹣2，当且仅当x＝﹣y时，等号成立，即选项B正确；选项C，当a＜0时，+a≤﹣4，即选项C错误；选项D，当x，y∈（0，1）时，lgx，lgy∈（﹣∞，0），不适用于基本不等式，即选项D 错误．故选：AB．10．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin（﹣x）C．y＝log2|x|D．y＝2x﹣2﹣x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x3+4x，有f（﹣x）＝﹣（2x3+4x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝6x2+4，在区间（0，1）上，有y′＝6x2+4＞0，为增函数，符合题意；对于B，y＝x+sin x，有f（﹣x）＝﹣（x+sin x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝1+cos x，在区间（0，1）上，有y′＝1+cos x＞0，为增函数，符合题意；对于C，y＝log2|x|，有f（﹣x）＝log2|x|＝﹣f（x），y＝log2|x|为偶函数，不符合题意；对于D，y＝2x﹣2﹣x，有f（﹣x）＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝（2x+2﹣x）ln2，在区间（0，1）上，有y′＝（2x+2﹣x）ln2＞0，为增函数，符合题意；故选：ABD．11．函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的部分图象如图所示，已知函数f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（）A．函数|f（x）|的最小正周期为2B．点为函数f（x）的一个对称中心C．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝A sin（ωx+φ）的图象D．函数f（x）在区间上是增函数【解答】解：由题意可知，函数f（x）过（，0），（，﹣1），所以＝﹣＝，可得T＝＝2，解得ω＝π，因为f（x）的最小值为﹣1，所以A＝1，将（，﹣1）代入f（x）＝cos（πx+φ）中，可得cos（π+φ）＝﹣1，所以π+φ＝2kπ+π，k∈Z，因为＜φ＜0，所以k＝0时，φ＝﹣，所以f（x）＝cos（πx），T＝2，所以|f（x）|的最小正周期为＝1，故A错误，将（﹣，0）代入f（﹣）＝cos（﹣π﹣）＝cos（﹣）＝0，故B正确，f（x）向左移个单位即f（x+）＝cos[π（x+）﹣]＝cos（πx+）＝cos[π+（πx ﹣）]＝sin（），故C正确，由f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，所以m∈[，），f（x）的增区间为[2k，2k+]，k∈z，﹣∈[﹣，﹣]，所以[﹣，0]⊂[﹣，]，故D正确．故选：BCD．12．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．B．x3＜y3C．ln（y﹣x+1）＞0D．2x﹣y＜【解答】解：∵正实数x，y满足，∴＜﹣．当x＞y时，＞1，＞0，而＜，∴﹣＜0，故＜﹣不可能成立．当x＝y时，＝0＜﹣＝0，不可能成立．故x＜y，∴＞，x3＜y3，故A不正确、B正确；∴y﹣x＞0，y﹣x+1＞1，ln（y﹣x+1）＞0，故C正确；2x﹣y＜20＝1，故D不一定正确，故选：BC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．【解答】解：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2＝，由x2≥0，可得y2∈（0，1]，则x2+y2＝+y2＝＝（4y2+）≥•2＝，当且仅当y2＝，x2＝，可得x2+y2的最小值为；方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（）2＝（x2+y2）2，故x2+y2≥，当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，可得x2+y2的最小值为．故答案为：．14．已知函数，则f（x）+f（2﹣x）＝2．【解答】解：．15．已知函数f（x）＝a x﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：由x﹣2＝0得x＝2，此时f（2）＝a0﹣4＝1﹣4＝﹣3，即函数f（x）过定点A（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）16．若将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，则ω的最小值为．【解答】解：将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），可得y＝sinω（x﹣）的图象；又已知得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，∴＝+2kπ，k∈Z，则ω的最小值为，故答案为：．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．18．（1）用定义法证明：函数是（﹣1，+∞）上的增函数；（2）判断函数的奇偶性并证明．【解答】解：（1）设x1＞x2＞﹣1，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣（x2+）＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（1﹣），由x1＞x2＞﹣1，可得x1+2＞1，x2+2＞1，∴（x1+2）（x2+2）＞1；0＜＜1，∴1﹣＞0；又∵x1﹣x2＞0，可得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．即f（x）在区间（﹣1，+∞）上是增函数．（2）设x＞0，则﹣x＜0；∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣﹣1＝﹣（x﹣+1）＝﹣g（x），设x＜0，﹣x＞0，∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣+1＝﹣（x﹣﹣1）＝﹣g（x），则g（x）为奇函数．19．已知二次函数f（x）的值域为[﹣9，+∞），且不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（）的值域．【解答】解：（1）函数f（x）是二次函数，设为f（x）＝ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5），则有：﹣1和5是对应方程ax2+bx+c＝0的两不等实根，且a＞0；所以：由根与系数关系可得：①：﹣1+5＝﹣；②：（﹣1）×5＝；因为二次函数f（x）的值域为：[﹣9，+∞），则有：＝﹣9；函数的对称轴为：x＝﹣＝2；即函数的顶点坐标为：（2，﹣9）；即4a+2b+c＝﹣9；③由①②③可得：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5；所以：二次函数f（x）＝x2﹣4x﹣5，（2）函数y＝f（）中，令t＝，则t∈[0，3]；所以函数y＝f（t）＝t2﹣4t﹣5＝（t﹣2）2﹣9，当t＝2时，f（t）取得最小值为f（2）＝﹣9，当t＝0时，f（t）取得最大值为f（0）＝﹣5，所以f（t）的值域为[﹣9，﹣5]，即函数y的值域为[﹣9，﹣5]．20．设函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【解答】解：因为函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），（1）令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝﹣，k∈Z，故函数的对称中心为（﹣，0），k∈Z；（2）令2x+，解得x，又因为x∈[0，π]，所以令k＝0，解得x，故函数的单调递减区间为[]．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+，g（x）＝sin x．（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h（x）的图象，并设F（x）＝h（x）+t（g（x）+g（x+））．若F（x）＞0在[0，]上有解，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+＝sin2x﹣2•+＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，π]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[0，2]，函数f（x）的值域为[0，2]…4分（Ⅱ）∵由题意可得h（x）＝4sin2x，…6分∴F（x）＝4sin2x+t[sin x+sin（x+）]＝4sin2x+t（sin x+cos x），（0≤x≤），设u＝sin x+cos x＝sin（x+），∵x∈[0，]，∴u∈[1，]，且sin2x＝u2﹣1，∴F（x）＞0在[0，]上有解，等价于不等式4（u2﹣1）+tu＞0在u∈[1，]时有解，即存在u∈[1，]使得﹣t＜4（u﹣）成立，∵y＝4（u﹣）在u∈[1，]时单调递增，∴y＝4（u﹣）≤4（）＝2，∴﹣t＜2，即t＞﹣2，即实数t的取值范围为（﹣2，+∞）…12分22．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快递车辆的载件个数p（t）（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足p（t）＝，其中t∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为q（t）＝﹣80（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．【解答】解：（1）当9≤t≤15时，p（t）＝1800超过1500，不合题意；当4≤t＜9，p（t）＝1800﹣15（9﹣t）2，载件个数不超过1500，即1800﹣15（9﹣t）2≤1500，解得t≤9﹣或t，∵4≤t＜9，t∈N，∴t＝4；（2）当4≤t＜9时，p（t）＝﹣10t2+200t+200，q（t）＝﹣80＝﹣80＝＝1520﹣（），∵≥＝1260，当且仅当90t＝，即t＝7时取等号．∴q（t）max＝260；当9≤t≤15，q（t）＝﹣80＝是单调减函数，∴当t＝9时，q（t）max＝240＜260．即发车时间间隔为7分钟时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大，最大净收益为260元．。
2020-2021学年广东省高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年广东省高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x 2−4=0}，则A∩B=()．A. {−2}B. {2}C. {−2,2}D.2.设函数f(x)={2−x,x≤0x12,x>0，则f(−2)+f(1)=()A. 1B. 2C. 4D. 53.一个扇形的弧长与面积的数值都是4，这个扇形的中心角的弧度数为()A. 4B. 2C. 3D. 14.在y=2x，y=log2x，y=x2，这三个函数中，当x2>x1>1时，使f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2恒成立的函数的个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.在内与终边相同的角是()A. B. C. D.6.在如图中，O为圆心，A，B为圆周上二点，AB弧长为4，扇形AOB面积为4，则圆心角∠AOB的弧度数为()A. 1B. 2C. 3D. 47.已知函数f(x)=√3sinwx+coswx(w>0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是()A. [kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z B. [kπ+5π12,kπ+11π12]，k∈ZC. [kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z D. [kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z8.如图是某果园的平面图，实线部分DE、DF、EF游客观赏道路，其中曲线部分EF是以AB为直径的半圆上的一段弧，点O为圆心，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中AB=2千米，∠EOA=∠FOB=2x(0<x <π4)，若游客在路线DE 、DF 上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”y 是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映y 与x 的函数关系的是( )A.B.C.D.9. 已知角α的终边经过点P(4,−3)，则sinα+cosα的值是( )A. 15B. −15C. 75D. −7510. 某企业为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的成本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)=(x >0).记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和为F(x)(万元)，则F(40)等于( )A. 80B. 60C.D. 4011. 已知a ，b 是实数，关于x 的方程x 2+ax =b|x|−1有4个不同的实数根，则|a|+b 的取值范围为( )A. (2,+∞)B. (−2,2)C. (2,6)D. (−∞,2)12. 已知函数f(x)=3x−1+3−x+1−2cos(x −1)，则( )A. f(log 29)>f(log 312)>f(0.5−0.5) B. f(0.5−0.5)>f(log 29)>f(log 312) C. f(0.5−0.5)>f(log 312)>f(log 29)D. f(log 29)>f(0.5−0.5)>f(log 312)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，在△ABC 中，D 为线段AB 上的点，且AB =3AD ，AC =AD ，CB =3CD ，则sin2BsinA = ______ ．14. 若函数f(x)=|x −1|+m|x −2|+6|x −3|在x =2时取得最小值，则实数m 的取值范围是______．15. log 78 ______ log 89(填“>”或者“<”)．16. 设函数f(x)={21−x ,x ≤0f(x −1),x >0，方程f(x)=x +a 有且只有两不相等实数根，则实数a 的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (1)设集合A ={x|x 2−2x −3<0}，B ={x|x −a >0}，若A ∩B =A ，求a 的范围； (2)设集合M ={x ∈R|ax 2−3x −1=0}，若集合M 中至多有一个元素，求a 的范围． 18. 当时，求证：sin α< α<tan α．19. 已知函数f(x)=2cos(x +π3)[sin(x +π3)−√3cos(x +π3)]． (1)求f(x)的值域和最小正周期；(2)方程f(x)=m 在x ∈[0,π6]内有解，求实数m 的取值范围．20. 已知函数f(x)=ax 2−x +12，函数g(x)=a +12−|x −a|，其中实数a >0． (1)当0<a <1时，log a f(x)≥0对x ∈[1,2]恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设F(x)=max{f(x),g(x)}，若不等式F(x)≤14在x ∈R 上有解，求实数a 的取值范围．21. (1)计算tan(−510°)cos(−210°)cos120°tan(−600°)⋅sin(−330°)．(2)已知sinα=1213，α∈(π2,π).求cos(π6−α)的值．22. 已知函数f(x)=2x +2x −alnx ，a ∈R ．(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．(2)记函数g(x)=x2[f ′(x)+2x−2]，若g(x)的最小值是−6，求a的值．参考答案及解析1.答案：A解析：由题意可得，A={−2}，B={−2,2}，∴A∩B={−2}.故选A．2.答案：D解析：解：∵函数f(x)={2−x,x≤0 x12,x>0，∴f(−2)=2−(−2)=4，f(1)=112=1，∴f(−2)+f(1)=4+1=5．故选：D．由函数性质先分别求出f(−2)，f(1)，由此能求出f(−2)+f(1)的值．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3.答案：B解析：解：∵一个扇形的弧长与面积的数值都是4，∴{l=αR=4S=12αR2=4，解得R=2，∴这个扇形的中心角的弧度数α=lR =42=2．故选：B．利用弧长公式直接求解．本题考查扇形圆心角的求法，是基础题，解题时要注意弧长公式的合理运用．4.答案：B解析：本题考查根据函数的图象判断不等式，指数函数，对数函数，幂函数的图象，属于基础题．画出图象，数形结合可得答案．解：y=log2x的图象如下：f(x1)+f(x2)2表示的是梯形中位线的长度，f(x1+x22)表示的是中点处的函数值，由图像可知y=log2x满足f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2恒成立，同理可以验证y=2x，y=x2不符合题意．故选B．5.答案：B解析：试题分析：因为，那么对于与终边相同的角的集合为，故可知答案为，选B．考点：终边相同的角的表示点评：解决的关键是根据终边相同的角的集合的表示来得到，属于基础题。
2021-2022学年广东省广州外国语学校等三校高一上学期期末考试数学试题(解析版)
广东省广州外国语学校等三校2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B＝（）A．（1，3〗B．〖1，3〗C．〖﹣1，1）D．〖﹣1，+∞）2．已知x，y是实数，则“x＞y”是“x3＞y3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式．某班级想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的中心角为120°，外圆半径为40cm，内圆半径为20cm．则制作这样一面扇面需要的布料为______cm2．（）A．B．400πC．800πD．7200π4．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．5．已知a＝log52，b＝log83，c＝2﹣1，则下列判断正确的是（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c6．已知函数在R上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，〗C．〖，+∞）D．〖，）7．已知函数f（x）＝2sin x+cos x满足，则tan x0＝（）A．2B．C．D．8．已知函数有唯一零点，则a＝（）A．﹣1B．C．D．1二、多选题：本大题4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题图要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．10．下列各式中，值为的有（）A．sin7°cos23°+sin83°cos67°B．C．D．11．已知函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣＜φ＜）的图象关于直线x＝对称，则（）A．函数f（x+）为奇函数B．函数f（x）在〖，〗上单调递增C．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为D．函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝﹣cos3x的图象12．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列4个函数，其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有（）A．B．f（x）＝e xC．f（x）＝lg（x2+2）D．f（x）＝cosπx三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.13．计算：cos215°﹣sin215°＝．14．已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x，则f（﹣8）的值是．15．已知a＞0，b＞0，且a+b＝ab﹣3，则a+b的最小值为．16．已知函数，若a、b、c、d、e（a＜b＜c＜d＜e）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝f（e），则M＝af（a）+bf（b）+cf（c）+df（d）+ ef（e）的取值范围为．四、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知角α终边上有一点P（﹣，m），且sinα＝m（m≠0）．（1）求m的值，并求cosα与tanα的值；（2）化简并求的值．18．（12分）已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1．（1）求的值及f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在区间〖0，〗上的最大值和最小值．19．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的〖解析〗式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．20．（12分）已知函数f（x）＝是定义在R上的奇函数，且f（）＝．（Ⅰ）确定函数f（x）的〖解析〗式；（Ⅱ）若存在实数θ，使得不等式f（sinθ﹣2）+f（2sin2θ+1+t）＜0成立，求正实数t的取值范围．21．（12分）主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降模芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线（A＞0，0≤φ＜π），其中的振幅为2，且经过点（1，﹣2）．（1）求该噪声声波曲线的〖解析〗式f（x）以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的〖解析〗式g（x）；（2）证明：g（x）+g（x+1）+g（x+2）为定值．22．（12分）对于函数f（x）＝ax2+（1+b）x+b﹣1（a≠0），存在实数x0，使f（x0）＝mx0成立，则称x0为f（x）关于参数m的不动点．（1）当a＝1，b＝2时，函数f（x）在x∈（0，2〗上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围；（2）对于任意的a∈〖，1〗，总存在b∈〖2，5〗，使得函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，试求m的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A〖解析〗∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B＝（1，3〗．故选：A．2．C〖解析〗“x＞y”⇔“x3＞y3”，故“x＞y”是“x3＞y3”的充要条件．故选：C．3．B〖解析〗由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料为××402﹣××202＝400π．故选：B．4．C〖解析〗根据题意，对于函数，有函数f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A、B；当x＞0时，有＞0，排除D；故选：C．5．C〖解析〗∵，∴a＜，∵，∴b＞，又∵c＝，∴a＜c＜b，故选：C．6．D〖解析〗∵函数在R上为减函数，∴，解得，故实数a的取值范围为．故选：D．7．D〖解析〗由题意知，f（x0）＝2sin x0+cos x0＝，因为sin2x0+cos2x0＝1，所以sin2x0+＝1，化简可得5sin2x0﹣sin x0+＝0，解得sin x0＝或，当sin x0＝时，cos x0＝﹣2sin x0＝；当sin x0＝时，cos x0＝﹣2sin x0＝﹣＜0（舍），所以sin x0＝，cos x0＝，所以tan x0＝＝．故选：D．8．B〖解析〗因为函数，令x﹣1＝t，t∈R，则为偶函数，因为函数有唯一零点，所以有唯一零点，根据偶函数的对称性，则g（0）＝1+2a＝0，解得，故选：B．二、多选题：本大题4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题图要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．BC〖解析〗对于A，∵a＞b＞0，∴＝＝＞0，即，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴，故B正确，对于C，∵a＞b＞0，∴，∴由不等式的可加性可得，，故C正确，对于D，令a＝2，b＝，满足a＞b＞0，但，故D错误．故选：BC．10．ACD〖解析〗对于A，sin7°cos23°+sin83°cos67°＝sin7°cos23°+cos7°sin23°＝sin（7°+23°）＝sin30°＝；对于B，+＝＝＝＝4；对于C，＝tan（2×22.5°）＝；对于D，＝＝＝．故选：ACD．11．AC〖解析〗∵函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣＜φ＜）的图象关于直线x＝对称，∴3×+φ＝+kπ，k∈Z；∵﹣＜φ＜，∴φ＝﹣；∴f（x）＝sin（3x﹣）；对于A，函数f（x+）＝sin〖3（x+）﹣〗＝sin（3x），根据正弦函数的奇偶性，所以f（﹣x）＝﹣f（x）因此函数f（x）是奇函数，故A正确．对于B，由于x∈〖，〗，3x﹣∈〖0，〗，函数f（x）＝sin（3x﹣）在〖，〗上不单调，故B错误；对于C，因为f（x）max＝1，f（x）min＝﹣1又因为|f（x1）﹣f（x2）|＝2，f（x）＝sin（3x ﹣）的周期为T＝，所以则|x1﹣x2|的最小值为，C正确；对于D，函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数f（x﹣）＝sin〖3（x﹣）﹣〗＝﹣sin3x，故D错误．故选：AC．12．BD〖解析〗根据题意，依次分析选项：对于A，对于f（x）＝，若f（x）＝是“1阶马格丁香小花花”函数，则＝+1有解，变形可得x2+x+1＝0，而该方程无实数解，故f（x）不是“1阶马格丁香小花花”函数；对于B，对于f（x）＝e x，其定义域为R，若f（x）是“1阶马格丁香小花花”函数，则方程e x+1＝e x+e有解，变形可得（e﹣1）e x＝e，解可得x＝ln，函数f（x）＝e x是“1阶马格丁香小花花”函数；对于C，f（x）＝lg（x2+2），若存在x，使f（x+1）＝f（x）+f（1），则lg〖（x+1）2+2〗＝lg（x2+2）+lg3，即2x2﹣2x+3＝0，而Δ＝4﹣24＝﹣20＜0，故方程无解．故f（x）＝lg（x2+2）不是“1阶马格丁香小花花”函数；对于D，f（x）＝cosπx，存在x＝，有f（+1）＝f（）+f（1）成立，故f（x）＝cosπx是“1阶马格丁香小花花”函数，故选：BD．三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.13．〖解析〗由二倍角的余弦公式可得，cos215°﹣sin215°＝cos30°＝．故〖答案〗为：．14．﹣4〖解析〗y＝f（x）是奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），当x≥0时，f（x）＝x，可得f（8）＝8＝4，则f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣4，故〖答案〗为：﹣4．15．6〖解析〗∵a＞0，b＞0，ab＝a+b+3，∴a+b＝ab﹣3≤（）2﹣3，整理可得（a+b）2﹣4（a+b）﹣12≥0，解关于a+b的一元二次不等式可得a+b≥6，或a+b≤﹣2（舍去），当且仅当a＝b＝3时取到等号，∴a+b的最小值为6．故〖答案〗为：6．16．（0，9）〖解析〗函数f（x）的图象如图所示：由图可得a+d＝2，b+c＝2，5＜e＜6，所以M＝（a+b+c+d+e）f（e）＝（4+e）（6﹣e）＝﹣e2+2e+24＝﹣（e﹣1）2+25，因为5＜e＜6，所以函数M在（5，6）上单调递减，又e＝5时，M＝9，e＝6时，M＝0，所以M的取值范围为（0，9），故〖答案〗为：（0，9）．四、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）∵角α终边上有一点P（﹣，m），又sinα＝m＝，所以m＝±．当m＝时，cosα＝＝﹣，tanα＝＝﹣；当m＝﹣时，cosα＝＝﹣，tanα＝＝．（2）求＝＝tanα＝±．18．解：（1）f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1＝2sin x cos x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），所以f（）＝sin（+）＝cos＝•＝1，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，解得kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），故函数f（x）的递增区间是〖kπ﹣，kπ+〗（k∈Z）；（2）∵x∈〖0，〗，∴2x+∈〖，〗，令t＝2x+，则t∈〖，〗，则y＝sin t在〖，〗上的最大值是1，最小值是﹣，故f（x）在最大值是，最小值是﹣1．19．解：（1）函数y＝ka x（k＞0，a＞1）与在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y＝ka x（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y＝ka x（k＞0，a＞1）符合要求．根据题意可知x＝2时，y＝24；x＝3时，y＝36，∴，解得．故该函数模型的〖解析〗式为，1≤x≤12，x∈N*；（2）当x＝0时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是m2，由＞10•，得＞10，∴x＞＝≈5.9，∵x∈N*，∴x≥6，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．20．解：（Ⅰ）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，即b＝0，所以，有f（）＝，所以，解得a＝1，所以．（Ⅱ），令f'（x）＝0，解得x＝±1，所以函数f（x）在（﹣∞，﹣1〗和〖1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）上单调递增，因为存在实数θ，不等式f（sinθ﹣2）+f（2sin2θ+1+t）＜0成立，即存在实数θ，f（2sin2θ+1+t）＜f（2﹣sinθ）成立，因为sinθ∈〖﹣1，1〗，所以2﹣sinθ∈〖1，3〗，且2sin2θ+1+t＞1，所以存在实数θ，t＞1﹣2sin2θ﹣sinθ，令m＝sinθ，则g（m）＝﹣2m2﹣m+1，m∈〖﹣1，1〗，因为g（m）在对称轴处取得最大值，故g（m）在m＝1或m＝﹣1处取得最小值，比较g（1）＝﹣3和g（﹣1）＝1，所以g（1）取得最小值，故t＞﹣3，又t＞0，所以正实数t的取值范围为t＞0．21．（1）解：由振幅为2，可得A＝2，且经过点（1，﹣2），所以﹣2＝2sin（×1+φ），因为0≤φ＜π，所以φ＝，所以f（x）〖解析〗式为f（x）＝2sin（x+）；由于降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，可得g（x）＝﹣2sin（x+）；（2）证明：由（1）可知g（x）＝﹣2sin（x+）；所以g（x）+g（x+1）+g（x+2）＝﹣2sin（x+）﹣2sin〖（x+1）+〗﹣2sin〖（x+2）+〗＝﹣2（sin x cos+cos x sin）﹣2sin（x+）﹣2sin（x+）＝sin x﹣cos x+2cos x﹣2（sin x cos+cos x sin）＝0．所以g（x）+g（x+1）+g（x+2）＝0，为定值．22．解：（1）当a＝1，b＝2时，f（x）＝x2+3x+1＝mx在（0，2〗上有两个不同实数解，即x2+（3﹣m）x+1＝0在x∈（0，2〗上有两个不同解，令g（x）＝x2+（3﹣m）x+1，则，解得5＜m≤，所以m的范围是（5，〗．（2）由题意知，对于任意的a∈〖，1〗，总存在b∈〖2，5〗，使得函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，即方程f（x）＝mx，即ax2+（b+1﹣m）x+b﹣1＝0（a≠0）恒有两个不等实根，则Δ＝（b+1﹣m）2﹣4a（b﹣1）＞0，即＞4a，对任意的a∈〖，1〗，总存在b∈〖2，5〗使之成立，即〖〗max＞（4a）max＝4，令h（b）＝＝＝b﹣1++2（2﹣m），b∈〖2，5〗，令t＝b﹣1，则1≤t≤4，故上式可化为k（t）＝t++2（2﹣m）（1≤t≤4），由对勾函数的性质可知，①当0≤|m﹣2|≤1，即1≤m≤3时，函数k（t）在〖1，4〗单调递增，则k（t）max＝k（4）＝﹣3m+9＝（﹣3）2＞4，解得：m＜2或m＞10，又1≤m≤3，所以1≤m＜2；（*1）②当1＜|m﹣2|＜4，即3＜m＜6或﹣2＜m＜1时，函数k（t）在〖1，4〗上先减后增，k（t）max＝max{k（1），k（4）}，又k（4）﹣k（1）＝﹣3m+9﹣（m2﹣6m+9）＝﹣+3m＝（4﹣m），1°故m∈（﹣2，0）∪（4，6）时，k（t）max＝k（1）＝m2﹣6m+9＞4，解得m＜1或m＞5，结合1°得：m∈（﹣2，0）∪（5，6）；（*2）2°故m∈〖0，1）∪（3，4〗时，k（t）max＝k（4）＝﹣3m+9＞4，解得m＜2或m＞10，结合2°得：m∈〖0，1）；（*3）③当|m﹣2|≥4，即m∈（﹣∞，﹣2〗∪〖6，+∞）时，函数k（t）在〖1，4〗单调递减，则k（t）max＝k（1）＝1+（m﹣2）2+4﹣2m＞4，即m2﹣6m+5＞0，解得：m＜1或m＞5，又m≤﹣2或m≥6；故m≤﹣2或m≥6；（*4）综上：m∈（﹣∞，2）∪（5，+∞）．。
2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题及答案
2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题及答案2020-2021学年度第一学期高一数学期末质量监测第I卷（选择题共45分）一.选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3,4}，B={1,3,4}，则(A∪B)′是()。
A.{1,2,5,6}B.{5,6}C.{2,3,5,6}D.{1,2,3,4}2.命题p:a>b,c>d。
命题q:ac>bc。
则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列幂函数在区间(0,+∞)内单调递减的是()A.y=xB.y=x^2C.y=x^3D.y=x^-14.设a=1.10.3，b=0.93.1，c=log3 0.2，则a,b,c大小关系正确的是()A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a5.若tanα=2，则tan2α=()A.4/5B.-4/3C.4/3D.-4/56.当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a与y=logax的图象为()7.已知α是第一象限角，若|cos2α|=−cos2α，那么α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8.已知函数f(x)=sin((x+3π)/π)，给出下列结论①f(x)的最小正周期为2π②f(x)在[-3π,π]上的最大值为1③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象。
其中所有正确结论的序号是()A.①B.①③C.②③D.①②③9.下列结论正确的是()A.sin1<cos1B.cos(23π/5)>cos(17π/4)C.tan(-52)>tan(-47)D.sin(-π/18)>sin(-π/10)第II卷（非选择题共75分）二.填空题(每题5分,共30分)10.命题p:∃x∈R,x+1>0的否定形式p为____。
2020-2021学年高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知函数f(x)=x3−bx2−4，x∈R，则下列命题正确的是A. 当b>0时，，使得f(x0)=0B. 当b<0时，，都有f(x)<0C. f(x)有三个零点的充要条件是b<−3D. f(x)在区间(0,+∞)上有最小值的充要条件是b<02.设角α的终边经过点P(x,4)，x≠0且cosα=x5，则sin(2π−α)的值为()A. 35B. 45C. −45D. ±453.设方程与方程(其中e是自然对数的底数)的所有根之和为，则()A. B. C. D.4.已知函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是连续不断的，且满足f(a)⋅f(b)<0(a,b∈R,a<b)，则函数f(x)在(a,b)内()A. 无零点B. 有且只有一个零点C. 至少有一个零点D. 无法确定有无零点5.函数y=−2sin(12x−π3)的最小正周期是()A. 4πB. 3πC. 2πD. π6.若函数f(x)=log a(a x−t)(a>0且a≠1)在区间[m2,n2]上的值域为[m,n]，则实数t的取值范围是()A. (0,1)B. (14,12) C. (0,14) D. (12,1)7.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A. 甲车以40千米/小时的速度行驶1小时，消耗15升汽油B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最少C. 消耗1升汽油，丙车最多可行驶5千米D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用乙车比用丙车更省油8.10、使有意义的m的取值范围是A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共16.0分）)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是() 9.已知函数f(x)=sin(ωx−φ)(ω>0,|φ|<π2A. 函数f(x)的最小正周期为3π,0)为函数f(x)的一个对称中心B. (5π4C. f(0)=−12D. 函数f(x)向右平移π个单位后所得函数为偶函数210.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的是()A. 甲同学从家出发到乙同学家走了60minB. 甲从家到公园的时间是30minC. 甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快xD. 当0≤x≤30时，y与x的关系式为y=11511.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，0<|φ|<π)的部分图象，下列结论正确的是())的图象关于y轴对称A. 函数y=f(x−π12,0)对称B. 函数f(x)的图象关于点(−π12C. 若f(x1)⋅f(x2)=−4，则|x1+x2|的最小值为π3D. 方程f(x)=1在区间[−π12,23π12]上的所有实根之和为8π3 12. 若对函数f(x)，存在常数a ，b ，使得对定义域内的任意x 值，均有f(x)+f(2a −x)=2b ，则称函数f(x)为“准奇函数”，则下列函数是“准奇函数”的是( )A. f(x)=xB. f(x)=lnxC. f(x)=2x+1x−1D. f(x)=sinx三、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13. 已知函数f(x)={(x −1)3,x <2log 22x−1,x ≥2，若曲线y =f(x)上的点P 到A(4,−4)的距离为5，则满足条件的P 点共有______个．14. 已知扇形的圆心角为30°，半径为6，则扇形的弧长为______ ．15. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于______． 16. 若存在正数x 使∣∣∣2x 2x mx ∣∣∣<1成立，则实数m 的取值范围是______． 四、解答题（本大题共6小题，共64.0分） 17. 已知cos(x +π4)=35，且17π12<x <7π4，求 ①cosx +sinx ；②sin2x+2sin 2x 1−tanx的值．18. 已知m 为常数，函数f(x)=m−2x 1+m⋅2x为奇函数．(Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若m >0，试判断f(x)的单调性(不需证明)；(Ⅲ)当m >0时，若存在x ∈[−2,2]，使得f(e x +x −k)+f(2)≤0能成立，求实数k 的最大值．19. 已知cosα=35，cos(α+β)=−513，α，β都是锐角，求cosβ．20. 已知函数f(x)=x 2+2(k −1)x +k 2+2．(Ⅰ)若不等式f(x)<0的解集为{x|1<x <3}，求实数k 的值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间[0,6]上不单调，求实数k的取值范围．21.(本小题满分12分)某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(如△DQH 等)上铺草坪，造价为80元/m2．(1)设总造价为S元，AD长为m，试建立S与x的函数关系；(2)当x为何值时，S最小？并求这个最小值．22.已知函数①当时，求函数在上的最大值和最小值；②讨论函数的单调性；③若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围。
2020-2021学年广东省广州市广附、广外、铁一三校高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省广州市广附、广外、铁一三校高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若扇形的弧长为2cm，半径为1cm，则其圆心角的大小为()A. 2πB. 4πC. 2D. 42.设集合A={x∈N|−2≤x≤4}，B={x|y=ln(x2−3x)}，则集合A∩B中元素的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 43.已知向量a⃗=(sinθ,−2),b⃗ =(1,cosθ)，且a⃗⊥b⃗ ，则sin2θ+cos2θ的值为()A. 1B. 2C. 12D. 34.周期为π的函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则φ=()A. −π3B. 2π3C. π6D. 5π65.已知函数y=f(x)在[−1,1]上单调递减，且函数f(x)的图象关于直线x=1对称，设a=f(−12)，b=f(2)，c= f(3)，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. c<b<aC. b<c<aD. b<a<c6.研究表明，当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.若某一死亡生物组织内的碳14经过n(n∈N)个“半衰期”后用一般的放射性探测器测不到碳14了，则n的最小值是()A. 9B. 10C. 11D. 127.已知向量a⃗=(m−3,n)，b⃗ =(2,−1)(其中m>0，n>0)，若a⃗与b⃗ 共线，则4m +12n的最小值为()A. 94B. 3 C. 4615D. 98.已知函数f(x)=2sin(ωx−π6)(ω>12,x∈R)，若f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是()A. (12,23]∪[89,76] B. (12,1724]∪[1718,2924]C. [59,23]∪[89,1112] D. [1118,1724]∪[1718,2324]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 若0<a <1，则( )A. log a (1−a)<log a (1+a)B. log a (1+a)<0C. (1−a)13<(1−a)12D. a 1−a <110. 将函数f(x)=2sinx 的图象向左平移π6个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，下列四个结论中不正确的是( )A. 函数g(x)在区间[0,2π3]增函数B. 将函数g(x)的图象向右平移2π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称 C. 点(−π6,0)是函数g(x)图象的一个对称中心 D. 函数g(x)在[π,2π]上的最大值为111. 设a ⃗ ，b ⃗ 是两个非零向量，则下列描述正确的有( )A. 若|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |−|b ⃗ |，则存在实数λ使得a ⃗ =λb⃗ B. 若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ | C. 若|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗D. 若a ⃗ 与b ⃗ 的方向相反，则|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |−|b ⃗ | 12. 已知函数f(x)=x|x|，则下列命题中正确的是( )A. 函数f(sinx)是奇函数，且在(−12,12)上是减函数 B. 函数sin(f(x))是奇函数，且在(−12,12)上是增函数 C. 函数f(cosx)是偶函数，且在(0,1)上是减函数 D. 函数cos(f(x))是偶函数，且在(−1,0)上是增函数三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,√3),b ⃗ =(−1,0)，则|a ⃗ +3b ⃗ |=______．14. 若函数f(x)=cos(ωx)cos(π2−ωx)(ω>0)的最小正周期为π2，则ω的值为______ ．15. 已知命题p ：(x −m)2<9，命题q ：log 4(x +3)<1，若p 是q 的必要不充分条件.则实数m 的取值范围是______ ． 16. 设函数f(x)={|lnx|,0<x <2f(4−x),2<x <4，方程f(x)=m 有四个不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 12+x 22+x 32+x 42的取值范围为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (1)计算：(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92)；(2)求cos17π6+sin(−16π3)−tan(−4π3)的值．18. 已知函数f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)，f(x)图象的相邻两对称轴之间的距离为π2．(1)求ω的值；(2)若f(α)=23，求sin(5π6−4α)的值．19. 已知向量a ⃗ =(cosx,sinx)，b ⃗ =(sinx,sinx)，x ∈[0,π4]．(1)若x =π6，向量c ⃗ =(−1,1)，求c ⃗ 在a ⃗ 上投影；(2)若函数f(x)=λ(a⃗ ⋅b ⃗ −12)的最大值为12，求实数λ的值．20. 已知函数f(x)=m ⋅2x +2⋅3x ，m ∈R ．(1)当m =−9时，求满足f(x +1)>f(x)的实数x 的范围； (2)若f(x)≤(92)x 对任意的x ∈R 恒成立，求实数m 的范围．21.已知二次函数f(x)=x2−16x+q+3：(1)若函数在区间[−1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；(2)问：是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．22.已知函数f(x)=ln(√1+x2+x)．(1)证明f(x)为奇函数；(2)判断y=f(x)的单调性并写出证明过程；(3)当a≥1时，关于x的方程f[√2asin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a]=0在区间[0,π]上有唯一实数解，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：设扇形的圆心角的弧度数为α，由已知及弧长公式可得：2=1⋅α，解得α=2．故选：C．利用弧长公式即可得出．本题考查了弧长公式的应用，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵集合A={x∈N|−2≤x≤4}={0,1，2，3，4}，B={x|y=ln(x2−3x)}={x|x<0或x>3}，∴A∩B={4}，则集合A∩B中元素的个数为1．故选：A．求出集合A，B，利用交集定义求出A∩B，由此能求出集合A∩B中元素的个数．本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由题意可得a⃗⋅b⃗ =sinθ−2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θcos2θ+sin2θ=2tanθ+ 11+tan2θ=1，故选：A．由题意可得a⃗⋅b⃗ =0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θcos2θ+sin2θ=2tanθ+ 11+tan2θ，运算求得结果．本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：根据函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象，可得A=1．再根据它的周期为π=2πω，∴ω=2．再根据五点法作图，可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6，故选：C．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x =1对称，则f(−12)=f(52)， 又由函数y =f(x)在[−1,1]上单调递减，则f(x)在[1,3]上递增， 则有f(2)<f(52)=f(−12)<f(3)，即b <a <c ， 故选：D ．根据题意，由函数的对称性可得f(x)在[1,3]上递增且f(−12)=f(52)，结合函数的单调性分析可得答案． 本题考查函数的单调性和对称性的应用，涉及抽象函数的性质应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，(12)n <11000， 即2n >1000，n ∈N ； 所以n 的最小值是10． 故选：B ．利用半衰期公式，建立不等式，求出解集即可得出结论． 本题考查了利用数学知识解决实际问题的能力，是基础题目．7.【答案】B【解析】解：因为向量a ⃗ =(m −3,n)，b ⃗ =(2,−1)，且a ⃗ 与b ⃗ 共线， 所以−(m −3)−2n =0，m +2n =3； 又因为m >0，n >0，所以4m +12n =(4m +12n )⋅13(m +2n)=13(4+1+8n m+m 2n )≥13(5+2√8n m ⋅m 2n )=13×(5+4)=3，当且仅当8nm =m2n ，即m =4n =2时取等号， 所以4m +12n 的最小值为3． 故选：B ．根据平面向量共线的坐标表示求出m +2n =3，再利用基本不等式求出4m +12n 的最小值． 本题考查了平面向量的共线到了和基本不等式的应用问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：函数f(x)=2sin(ωx−π6)(ω>12,x∈R)，若f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，∴12⋅2πω≥4π−3π，12<ω≤1，故排除A、B．由f(x)的任何一条对称轴与x轴的交点的横坐标不属于区间(3π,4π)，可得kπ+π2≤3ωπ−π6，且kπ+π+π2≥4ωπ−π6，求得3k+29≤ω≤3k+512，k∈Z，当k=0时，29≤ω≤512，不符合，12<ω≤1，当k=1时，59≤ω≤23，符合题意，当k=2时，89≤ω≤1112，符合题意，当k=3时，119≤ω≤149，不符合12<ω≤1，故C正确，D错误．故选：C．先利用正弦函数的周期性、图象的对称性求得ω的范围，再根据kπ+π2≤3ωπ−π6，且kπ+π+π2≥4ωπ−π6，分类讨论k，求得ω的具体范围．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：若0<a<1，则1+a>1−a>0，log a(1−a)>log a(1+a)，故A错误；若0<a<1，则1+a>1，则log a(1+a)<0，故B正确；若0<a<1，则1>1−a>0，(1−a)13>(1−a)12，故C错误；若0<a<1，a1−a<a0=1，故D正确，故选：BD．由题意利用指数函数、对数函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，属于基础题．10.【答案】CD【解析】解：函数f(x)=2sinx的图象向左平移π6个单位长度，得到y=2sin(x+π6)的图象，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)=2sin(12x+π6))的图象，对于A：由于x∈[0,2π3]，所以12x+π6∈[π6,π2]，故函数g(x)在区间[0,2π3]增函数，故A正确；对于B：函数g(x)=2sin(12x+π6))向右平移2π3个单位，得到ℎ(x)=2sin(12x+π2)=2cos12x的图象，由于ℎ(−x)=ℎ(x)故函数的图象关于y轴对称，故B正确；对于C：当x=−π6时，g(−π6)=2sin(π12)≠0，故C错误；对于D：由于x∈[π,2π]，所以12x+π6∈[2π3,7π6]，当x=π时，函数取最大值g(π)=2sin2π3=√3，故D错误．故选：CD．首先利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用判断A、B、C、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系的变换，函数的图象的性质，函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.【答案】AB【解析】解：对于A：|a⃗+b⃗ |=|a⃗|−|b⃗ |，两边平方可得a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=a⃗2−2|a⃗||b⃗ |+|b⃗ |2，所以a⃗⋅b⃗ =−|a⃗||b⃗ |，而a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos<a⃗，b⃗ >，所以−|a⃗||b⃗ |=|a⃗||b⃗ |cos<a⃗，b⃗ >，所以cos<a⃗，b⃗ >=−1，所以<a⃗，b⃗ >=180°，所以a⃗与b⃗ 共线且方向，所以λ<0时，a⃗=λb⃗ ，故A正确，对于B：因为a⃗⊥b⃗ ，所以a⃗⋅b⃗ =0，对|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |两边平方可得a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2，成立，故B正确，对于C：对|a⃗+b⃗ |=|a⃗|+|b⃗ |两边平方可得a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=a⃗2+2|a⃗||b⃗ |+|b⃗ |2，所以a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |，所以|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ，b ⃗ >=|a ⃗ ||b ⃗ |， 所以cos <a ⃗ ，b ⃗ >=1，即<a ⃗ ，b ⃗ >=0°， 所以a ⃗ 与b ⃗ 同向，但a ⃗ 不一定等于b ⃗ ，故C 错误，对于D ：由A 选项可知，只有当λ<0且|a ⃗ |≥|b ⃗ |时，才有|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |−|b ⃗ |，故D 不正确． 故选：AB ．四个选项都出现了向量模之间的加减运算，所以考虑平方处理，整理后即可得出答案．本题考查了向量的模，向量的混合运算，解题关键是根据向量模之间的加减运算联想到对式子进行平方处理，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：根据题意，f(x)=x|x|={x 2,x ≥0−x 2,x <0，则f(x)为奇函数且在R 上为增函数，依次分析选项：对于A ，对于f(sinx)，其定义域为R ，f[sin(−x)]=f(−sinx)=−f(sinx)，则f(sinx)为奇函数， 设t =sinx ，在(−12,12)上，t =sinx 为增函数，f(x)也是增函数，则f(sinx)在(−12,12)上是增函数，A 错误， 对于B ，对于sin[f(x)]，其定义域为R ，sin[f(−x)]=sin[−f(x)]=−sin[f(x)]，则sin[f(x)]为奇函数，设t =f(x)，在(−12,12)上，f(x)为增函数，且−14<t <14，y =sinx 在(−14,14)上也是增函数，则函数sin[f(x)]在(−12,12)上是增函数， B 正确；对于C ，对于f(cosx)，其定义域为R ，f[cos(−x)]=f(cosx)，则f(cosx)为偶函数，设t =cosx ，在区间(0,1)上，t =cosx 为减函数，而f(x)是增函数，则函数f(cosx)在(0,1)上是减函数， C 正确；对于D ，对于cos[f(x)]，其定义域为R ，有cos[f(−x)]=cos[−f(x)]=cos[f(x)]，cos[f(x)]为偶函数，设t =f(x)，在(−1,0)上，f(x)为增函数且−1<t <0，y =cosx 在(−1,0)也是增函数，则cos[f(x)]在(−1,0)上是增函数，正确， 故选：BCD ．根据题意，由f(x)的解析式分析f(x)的奇偶性和单调性，由此依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．本题考查复合函数的单调性的判断，涉及函数奇偶性的判断，属于中档题．13.【答案】√7【解析】解：向量a ⃗ =(1,√3),b ⃗ =(−1,0)， 则a ⃗ +3b ⃗ =(−2,√3)，所以(a ⃗ +3b ⃗ )2=4+3=7， 所以|a ⃗ +3b ⃗ |=√7． 故答案为：√7．根据平面向量的坐标运算与数量积运算，计算模长即可． 本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．14.【答案】2【解析】解：∵f(x)=cos(ωx)cos(π2−ωx)(ω>0)， ∴f(x)=cosωx ⋅sinωx =12sin2ωx ， ∴最小正周期T =2π2ω=π2， ∴解得ω=2． 故答案为：2．利用倍角公式变形，再由周期公式列式即可求得ω的值．本题考查倍角公式的应用，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，是基础题．15.【答案】(−2,0)【解析】解：因为命题p ：(x −m)2<9，所以m −3<x <m +3， 因为命题q ：log 4(x +3)<1=log 44，所以0<x +3<4，即−3<x <1， 因为p 是q 的必要不充分条件，所以(−3,1)⫋(m −3,m +3)， 即{m −3<−3m +3>1，解得−2<m <0， 所以实数m 的取值范围是(−2,0)． 故答案为：(−2,0)．根据一元二次不等式和对数不等式的解法分别求出p 、q 的范围，然后根据p 是q 的必要不充分条件，可得两范围的关系，建立关系式，解之即可．本题主要考查了一元二次不等式和对数不等式的解法，以及充分条件、必要条件的应用，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题．16.【答案】(20,20.5)【解析】解：∵2<x <4时，f(x)=f(4−x)， ∴f(x)在(2,4)与(0,2)上的图象关于x =2对称， 做出图象如右：不妨令x 1<x 2<x 3<x 4，可得x1+x4=x2+x3=4，−lnx1=lnx2，∴x1x2=1，∴x1=1x2，x4=4−1x2，x3=4−x2，∴x12+x22+x32+x42=1x22+x22+(4−x2)2+(4−1x2)2=2(x2+1x2)2−8(x2+1x2)+28，x2∈(1,2)，令t=x2+1x2∈(2,52)，则原式化为：ℎ(t)=2t2−8t+28，t∈(2,52)，其对称轴t=2，开口向上，故ℎ(t)在(2,52)递增，∴20<ℎ(t)<20.5，∴x12+x22+x32+x42的取值范围是(20,20.5)，故答案为：(20,20.5)．不防令x1<x2<x3<x4，由题意f(x)的图象是关于x=2对称的，可得x1+x4=x2+x3=4.助于|lnx|的图象可以得到x1，x2之间的关系，最终将x12+x22+x32+x42表示成x2的函数，再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题．本题考查利用函数图象研究函数零点的问题，以及构造函数求值域的思路．体现了对数形结合、函数思想以及运算能力的考查．17.【答案】解：(1)(log43+log83)⋅(log32+log92)=(log6427+log649)⋅(log94+log92)=log64243⋅log98=lg243lg64⋅lg8lg9=54．(2)cos 17π6+sin(−16π3)−tan(−4π3)=cos(3π−π6)−sin(5π+π3)+tan(π+π3)=−cos π6+sinπ3+tanπ3=tan π3=√3．【解析】(1)利用对数的性质、运算法则直接求解．(2)利用诱导公式直接求解．本题考查对数式化简求值、三角函数求值，考查对数的性质、运算法则、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)f(x)=2(12sinωx +√32cosωx)=2sin(ωx +π3)， ∵f(x)图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，即T 2=π2，即T =π=2πω， 得ω=2．(2)∵ω=2，∴f(x)=2sin(2x +π3)，∵f(α)=23，∴2sin(2α+π3)=23，得sin(2α+π3)=13，设θ=2α+π3，则sinθ=13，且2α=θ−π3，则sin(5π6−4α)=sin[5π6−2(θ−π3)]=sin(5π6−2θ+2π3)=sin(3π2−2θ)=−sin(π2−2θ)=−cos2θ=−(1−2sin 2θ)=−1+2×19=−79．【解析】(1)利用辅助角公式进行化简，结合对称性求出周期和ω即可．(2)利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合换元法结合二倍角公式进行转化是解决本题的关键，是中档题．19.【答案】解：(1)当x =π6时，a ⃗ =(cos π6,sin π6)=(√32,12)， 因为向量c⃗ =(−1,1)， 所以|a ⃗ |=(√32)(12)=1， 所以c ⃗ 在a ⃗ 上投影为a ⃗ ⋅c ⃗|a ⃗ |=−√32+121=1−√32；(2)f(x)=λ(a ⃗ ⋅b ⃗ −12) =λ(sinxcosx +sin 2x −12) =λ(12sin2x −12cos2x) =√22λsin(2x −π4)， 因为x ∈[0,π4]，所以2x −π4∈[−π4,π4]，又λ>0，所以当2x −π4=π4，即x =π4时，f(x)取得最大值为√22λ×√22=12， 所以λ=1．【解析】(1)求出当x =π6时，a⃗ 的坐标，然后求出a ⃗ 的模，利用向量投影的定义求解即可； (2)利用向量数量积的坐标表示以及二倍角公式的辅助角公式化简f(x)的解析式，根据x 的取值范围，结合正弦函数的性质求出f(x)的最值，得到关于λ的等式，求解即可．本题考查了平面向量的数量积运算，考查三角恒等变换，考查正弦函数的性质，属于中档题． 20.【答案】解：(1)当m =−9时，f(x)=−9⋅2x +2⋅3x ，f(x +1)>f(x)，即为2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x −9⋅2x ，化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，即有x −2>0，解得，x >2；(2)由f(x)≤(92)x 恒成立，即为m ⋅2x +2⋅3x ≤(92)x ，可得m ≤(32)2x −2(32)x ，令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值，由(t 2−2t)min =−1，可得m ≤−1，即实数m 的范围是(−∞,−1]．【解析】本题考查指数不等式的解法，注意运用指数函数的单调性和运算性质，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分离参数和换元法，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．(1)由题意可得2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x −9⋅2x ，化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，再由指数函数的单调性，解不等式即可得到所求范围；(2)由题意可得m ≤(32)2x −2(32)x ，令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值，运用配方可得最小值，即可得到所求范围． 21.【答案】解：(1)∵二次函数f(x)=x 2−16x +q +3的对称轴是x =8∴函数f(x)在区间[−1,1]上单调递减∴要使函数f(x)在区间[−1,1]上存在零点，须满足f(−1)⋅f(1)≤0．即(1+16+q +3)⋅(1−16+q +3)≤0解得−20≤q ≤12．所以使函数f(x)在区间[−1,1]上存在零点的实数q 的取值范围是[−20,12]；(2)当{t <88−t ≥10−8t ≥0时，即0≤t ≤6时，f(x)的值域为：[f(8),f(t)]，即[q −61,t 2−16t +q +3]．∴t 2−16t +q +3−(q −61)=t 2−16t +64=12−t ．∴t 2−15t +52=0，∴t =15±√172． 经检验t =15±√172不合题意，舍去． 当{t <88−t <10−8t ≥0时，即6≤t <8时，f(x)的值域为：[f(8),f(10)]，即[q −61,q −57]．∴q −57−(q −61)=4=12−t ．∴t =8经检验t =8不合题意，舍去．当t ≥8时，f(x)的值域为：[f(t),f(10)]，即[t 2−16t +q +3,q −57]∴q −57−(t 2−16t +q +3)=−t 2+16t −60=12−t∴t 2−17t +72=0，∴t =8或t =9．经检验t =8或t =9满足题意，所以存在常数t(t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D ，且D 的长度为12−t ．【解析】(1)求出二次函数的对称轴，得到函数f(x)在[−1,1]上为单调函数，要使函数在区间[−1,1]上存在零点，则f(−1)⋅f(1)≤0，由此可解q 的取值范围；(2)分t <8，最大值是f(t)；t <8，最大值是f(10)；8≤t <10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12−t 求出t 的值，验证范围后即可得到答案．本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类是解答该题的关键，是中档题．22.【答案】证明：(1)因为√1+x 2>|x|≥−x ，所以√1+x 2+x >0恒成立，故函数定义域R ，f(−x)+f(x)=ln(√1+x 2−x)+ln(√1+x 2+x)=ln1=0，故f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，(2)函数的定义域为R ，设x 1>x 2≥0，则√1+x 12>√1+x 22， 所以x 1+√1+x 12>√1+x 22+x 2，所以f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)在R 上单调递增，(3)由(1)得√2asin(x +π4)−12sin2x −a 2+√2a =f(0)且y =f(x)在R 上单调递增，所以√2asin(x +π4)−12sin2x −a 2+√2a =0，整理得，a(sinx +cosx)−sinxcosx −a 2+√2a =0，令ℎ(x)=a(sinx +cosx)−sinxcosx −a 2+√2a ，x ∈[0,π]，a ≥1，令t =sinx +cosx =√2sin(x +π4)，则t ∈[−1,√2]，sinxcosx =t 2−12， F(t)=−12(t −a)2−12a 2+√2a +12，a ≥1在[1,1)∪{√2}内有一个零点，[1,√2)没有零点，又F(t)在[−1,1)上为增函数，(i)若F(t)在[−1,1)内有且只有一个零点，[1,√2)无零点，则{F(1)>0F(−1)≤0F(√2)>0，解得1≤a <1+√2，(ii)若√2为F(t)的零点，[1,√2)无零点，则−a 2+2√2a −12=0，解得，a =√2±√62， 又a ≥1，则a =√2+√62， 综上，1≤a <1+√2或a =√2+√62，【解析】(1)根据题意，只要证明f(−x)+f(x)=0即可判断函数为奇函数，(2)先设x 1>x 2≥0，然后比较f(x 1)与f(x 2)的大小即可判断，(3)y 由已知结合函数的单调性进行转化得a(sinx +cosx)−sinxcosx −a 2+√2a =0，然后利用换元法，结合三角函数的性质可转化为二次函数闭区间上零点存在问题，结合函数性质及零点判定定理分类讨论即可求解．本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，还考查了利用单调性求解函数的零点，换元法的应用是求解问题的关键，体现了分类讨论及转化思想的应用．。
2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题_26
2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知角的终边过点，若，则实数x的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知函数是幂函数，且在上单调递减，则（）A．0 B． C．2 D．2或5．计算：（）A． B．0 C． D．6．已知，则的最大值为（）A． B． C． D．7．已知函数是定义在上的奇函数，则实数（）A． B． C．1 D．28．已知函数的零点为a，设，则a，b，c 的大小关系为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．如果是第四象限角，那么可能是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角10．已知函数，若，则（）A．当时， B．当时，C．当时， D．与的大小与a有关11．已知函数，则（）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的单调递增区间为D．的图象关于点对称12．已知函数满足：当时，，当时；当时，（，且）．若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，则（）A．为周期函数 B．的值域为C．实数a的取值范围为 D．实数a的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为_________．14．命题“，使关于x的方程有实数解”的否定是_________．15．若，则__________．16．已知函数有最小值，则的取值范围为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知．（1）若为锐角求；（2）求．18．（本小题满分12分）已知函数，其中．（1）求函数的定义域；（2）若函数的最大值为2，求a的值．19．（本小题满分12分）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在y轴左侧的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）讨论关于x的方程的根的个数．20．（本小题满分12分）如图是边长为100米的正方形场地，其中米，米，区域被占用，现在五边形区域内规划一个矩形区域，使点P，M，N分别在线段上．（1）设米，米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（2）求矩形面积的最大值，并确定点P的位置．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）若，求的单调递减区间；（2）若，将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数在区间上的最值．22．（本小题满分12分）已知指数函数（，且）的图象过点．（1）求的解析式；（2）若函数，且在区间上有两个零点，求实数m的取值范围．2020~2021学年度上学期期末考试·高一数学试题参考答案、提示及评分细则1．D 由，所以．故选D．2．B ，解得，∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．3．A 由，得，解得．故选A．4．B 由函数是幂函数，则，解得或．又函数在上单调递减，则，即．故选B．5．A 原式．故选A．6．C （当且仅当时取“=”）．故选C．7．B 因为，所以，又函数是定义在上的奇函数，则有，即恒成立，所以．因为，所以．故选B．8．B 由已知得，数形结合得，则，所以．故选B．9．BD 由已知得，所以，即在第二或第四象限．故选BD．10．AB 函数，二次函数的图象开口向上，对称轴为，当时，与的中点为．∴，选项B正确；当时，与的中点大于，又，∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，∴，选项A正确；显然当时，与的大小与a无关，选项D错误．故选AB．11．CD ，的最小正周期为，的图象关于直线对称，的单调递增区间为，的图象关于点对称．故选CD．12．BC 当时，（且），不是周期函数，且值域为，作出函数在上的部分图象，再作出该部分图象关于原点对称的图象．如图所示，若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，则函数的图象与所作的图象至少有三个交点，所以解得．故选BC．13．3 扇形的圆心角，所以．14．，关于x的方程无实数解命题“，使关于x的方程有实数解”的否定为“，关于x的方程无实数解”．15．∵，∴．∴．16．当时，的最小值为2．当时，要使存在最小值，必有，解得．∴，∴．17．解：由，得． 1分（1）由解得或2分∵为锐角，∴． 3分∴． 5分（2）∵，则， 7分∴． 10分18．解：（1）要使函数有意义，则有2分解得，所以函数的定义域为． 4分（2）函数可化为， 6分因为，所以． 8分因为，所以，即， 10分由，解得． 12分19．解：（1）由图可知，解得． 2分设，则，∵函数是定义在上的偶函数，且当时，，∴，∴． 5分∴6分（2）作出函数的图象如图所示：易知．方程的根的个数等价于与函数的图象交点的个数．由图可知，当时，关于x的方程的根的个数为0；当或时，关于x的方程的根的个数为2；当时，关于x的方程的根的个数为4；当时，关于x的方程的根的个数为3． 12分20．解：（1）作于点Q（图略），所以米，米． 2分又，所以，． 4分所以，定义域为． 6分（2）设矩形的面积为平方米，则， 8分由二次函数得性质知，且其图象开口向下，对称轴为，所以当时，单调递减． 10分所以当米时，矩形的面积取得最大值，其最大值为平方米．此时米，米，即点P在点D的位置时矩形的面积最大． 12分21．解：， 2分（1）∵，∴， 3分由，得． 5分∴函数的单调减区间为． 6分（2）当时，可知， 7分将的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为． 9分当，时，， 10分当，即时，取最小值；当时，即时，取最大值2． 12分22．解：（1）由题意，的图象过点， 1分∴，解得． 3分故函数的解析式为． 4分（2）∵，∴． 5分令，∴， 6分函数在上有两个零点，等价于在上有两个零点， 8分则即解得． 11分故实数m的取值范围为． 12分2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知角的终边过点，若，则实数x的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知函数是幂函数，且在上单调递减，则（）A．0 B． C．2 D．2或5．计算：（）A． B．0 C． D．6．已知，则的最大值为（）A． B． C． D．7．已知函数是定义在上的奇函数，则实数（）A． B． C．1 D．28．已知函数的零点为a，设，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．如果是第四象限角，那么可能是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角10．已知函数，若，则（）A．当时， B．当时，C．当时， D．与的大小与a有关11．已知函数，则（）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的单调递增区间为D．的图象关于点对称12．已知函数满足：当时，，当时；当时，（，且）．若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，则（）A．为周期函数 B．的值域为C．实数a的取值范围为 D．实数a的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为_________．14．命题“，使关于x的方程有实数解”的否定是_________．15．若，则__________．16．已知函数有最小值，则的取值范围为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知．（1）若为锐角求；（2）求．18．（本小题满分12分）已知函数，其中．（1）求函数的定义域；（2）若函数的最大值为2，求a的值．19．（本小题满分12分）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在y轴左侧的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）讨论关于x的方程的根的个数．20．（本小题满分12分）如图是边长为100米的正方形场地，其中米，米，区域被占用，现在五边形区域内规划一个矩形区域，使点P，M，N分别在线段上．（1）设米，米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（2）求矩形面积的最大值，并确定点P的位置．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）若，求的单调递减区间；（2）若，将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数在区间上的最值．22．（本小题满分12分）已知指数函数（，且）的图象过点．（1）求的解析式；（2）若函数，且在区间上有两个零点，求实数m的取值范围．2020~2021学年度上学期期末考试·高一数学试题参考答案、提示及评分细则1．D 由，所以．故选D．2．B ，解得，∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．3．A 由，得，解得．故选A．4．B 由函数是幂函数，则，解得或．又函数在上单调递减，则，即．故选B．5．A 原式．故选A．6．C （当且仅当时取“=”）．故选C．7．B 因为，所以，又函数是定义在上的奇函数，则有，即恒成立，所以．因为，所以．故选B．8．B 由已知得，数形结合得，则，所以．故选B．9．BD 由已知得，所以，即在第二或第四象限．故选BD．10．AB 函数，二次函数的图象开口向上，对称轴为，当时，与的中点为．∴，选项B正确；当时，与的中点大于，又，∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，∴，选项A正确；显然当时，与的大小与a无关，选项D错误．故选AB．11．CD ，的最小正周期为，的图象关于直线对称，的单调递增区间为，的图象关于点对称．故选CD．12．BC 当时，（且），不是周期函数，且值域为，作出函数在上的部分图象，再作出该部分图象关于原点对称的图象．如图所示，若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，则函数的图象与所作的图象至少有三个交点，所以解得．故选BC．13．3 扇形的圆心角，所以．14．，关于x的方程无实数解命题“，使关于x的方程有实数解”的否定为“，关于x的方程无实数解”．15．∵，∴．∴．16．当时，的最小值为2．当时，要使存在最小值，必有，解得．∴，∴．17．解：由，得． 1分（1）由解得或2分∵为锐角，∴． 3分∴． 5分（2）∵，则， 7分∴． 10分18．解：（1）要使函数有意义，则有2分解得，所以函数的定义域为． 4分（2）函数可化为， 6分因为，所以． 8分因为，所以，即， 10分由，解得． 12分19．解：（1）由图可知，解得． 2分设，则，∵函数是定义在上的偶函数，且当时，，∴，∴． 5分∴6分（2）作出函数的图象如图所示：易知．方程的根的个数等价于与函数的图象交点的个数．由图可知，当时，关于x的方程的根的个数为0；当或时，关于x的方程的根的个数为2；当时，关于x的方程的根的个数为4；当时，关于x的方程的根的个数为3． 12分20．解：（1）作于点Q（图略），所以米，米． 2分又，所以，． 4分所以，定义域为． 6分（2）设矩形的面积为平方米，则， 8分由二次函数得性质知，且其图象开口向下，对称轴为，所以当时，单调递减． 10分所以当米时，矩形的面积取得最大值，其最大值为平方米．此时米，米，即点P在点D的位置时矩形的面积最大． 12分21．解：， 2分（1）∵，∴， 3分由，得． 5分∴函数的单调减区间为． 6分（2）当时，可知， 7分将的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为． 9分当，时，， 10分当，即时，取最小值；当时，即时，取最大值2． 12分22．解：（1）由题意，的图象过点， 1分∴，解得． 3分故函数的解析式为． 4分（2）∵，∴． 5分令，∴， 6分函数在上有两个零点，等价于在上有两个零点， 8分则即解得． 11分故实数m的取值范围为． 12分。
2020-2021学年广东省广州市广附高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年广东省广州市广附高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.扇形的半径是6cm，圆心角为15°，则扇形面积是()A. π2cm2 B. 3πcm2 C. πcm2 D. 3π2cm22.A={(x,y)|y≤√4−x2,y≥0}，B={(x,y)|x+y≥2}，则A∩B所对应区域面积为()A. 2πB. π−2C. πD. π+23.在△ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系为()A. A、B的大小关系不确定B. A=BC. A<BD. A>B4.函数y=2sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点．若△ABC是直角三角形(C为直角)，则ω的值为()A. π4B. π2C. π3D. π5.已知定义域为R的函数f(x)不是奇函数，给定下列4个命题：①函数g(x)=f(−x)−f(x)是奇函数；②∀x∈R，f(−x)≠−f(x)；③∀x∈R，f(−x)=f(x)；④∃x0∈R，f(−x0)≠−f(x0).其中为真命题的命题是()A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④6.等比数列{a n}中，a7=10，q=−2，则a10=()A. 4B. 40C. 80D. −807.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且m⃗⃗⃗ =(a+c,b)，n⃗=(b,a−c)，m⃗⃗⃗ //n⃗，则△ABC的形状为()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能判定8.若0<a <1，在[0,2π]上满足sinx ≥a 的x 的范围是( )A. [0,arcsina]B. [arcsina,π−arcsina]C. [π−arcsina,π]D. [arcsina,π2+arcsina]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知函数f(x)=2x +x ，若0<m <1<n ，则下列不等式一定成立的有( )A. f(1−m)<f(n −1)B. f(2√mn)<f(m +n)C. f(log m n)<f(log n m)D. f(m n )<f(n m )10. 将函数y =cos2x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y =f(x)的图象，则( )A. f(x)的图象的对称轴方程为x =−π6+kπ2(k ∈Z)B. f(x)的图象的对称中心坐标为(kπ2+π12,0)(k ∈Z) C. f(x)的单调递增区间为[−2π3+kπ,−π6+kπ)(k ∈Z)D. f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ](k ∈Z)11. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1，AA 1=2，P 是线段BC 1上的一动点，则下列说法正确的是( )A. A 1P//平面AD 1CB. A 1P 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的最大值是2√55C. A 1P +PC 的最小值为√1705D. 以A 为球心，√2为半径的球面与侧面DCC 1D 1的交线长是π312. 若函数f(x)对∀a ，b ∈R ，同时满足：①当a +b =0时，有f(a)+f(b)=0；②当a +b >0时，有f(a)+f(b)>0，则称f(x)为Ω函数．下列函数中是Ω函数的有( )A. f(x)=e x +e −xB. f(x)=e x −e −xC. f(x)=x −sinxD. f(x)={0,x =0−1x ,x ≠0三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设α∈(0,π)，且α≠π2，当∠xOy =α时，定义坐标系xOy 为α−仿射坐标(如图)，在α−仿射坐标系中，任意一点P 的坐标这样定义“e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 分别是与x 轴，y 轴方向同向的单位向量，若向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x e 1⃗⃗⃗ +y e 2⃗⃗⃗ ，则记OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，下列结论正确的是______ (写上所有正确结论的序号) ①设向量α⃗ =(m,n)，b ⃗ =(s,t)，若α⃗ =b ⃗ ，则有m =m ，s =t ； ②设向量α⃗ =(m,n)，则|α⃗ |=√m 2+n 2；③设向量α⃗ =(m,n)b ⃗ =(s,t)，若α⃗ //b ⃗ ，则有mt −ns =0； ④设向量α⃗ =(m,n)b ⃗ =(s,t)，若α⃗ ⊥b ⃗ ，则有mt +ns =0； ⑤设向量α⃗ =(1,2)b ⃗ =(2,1)，若α⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，则有α=2π3．14. 下列命题：①y =cos(2017π2+x)是偶函数；②y =tan(x +π4)的一个对称中心是(π4,0)；③若α，β是第一象限角，且α<β，则tanα<tanβ； ④cos1<sin1<tan1．其中所有正确命题的序号是______ ．15. 下列命题中，真命题的有______ 。
2020-2021学年广东省广州市第三中学高一数学理上学期期末试题含解析
2020-2021学年广东省广州市第三中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若G是△ABC的重心，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，则角A=（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°参考答案：D试题分析：由于是的重心，，，代入得，整理得，，因此，故答案为D.考点：1、平面向量基本定理；2、余弦定理的应用.2. 已知a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点（）A．（）B．（）C．（）D．（）参考答案：B考点：恒过定点的直线．专题：计算题．分析：利用已知条件，消去a，得到直线系方程，然后求出直线系经过的定点坐标．解答：解：因为a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0化为（1﹣2b）x+3y+b=0，即x+3y+b（﹣2x+1）=0恒成立，，解得，所以直线经过定点（）．故选B．点评：本题考查直线系方程的应用，考查直线系过定点的求法，考查计算能力．3. 若 0＜a＜1，b＞1，则三个数M=a b，N=log b a，P=b a的大小关系是（）A．M＜N＜P B．N＜M＜P C．P＜M＜N D．P＜N＜M参考答案：B【考点】不等式比较大小．【分析】根据0＜a＜1，b＞1，利用对数的性质推出N=log b a的范围，利用指数函数确定P=b a，M=a b 的范围，然后确定选项．【解答】解：由于 0＜a＜1，b＞1，N=log b a＜0；P=b a＞1；M=a b∈（0，1）所以N＜M＜P故选B．4. 若集合，则A∩B=A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据交集定义计算．【详解】由题意．故选B．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题．5. α、β是两个不同的平面，下列命题：若平面内的直线垂直于平面内的任意直线，则；若平面内的任一直线都平行于平面，则；若平面垂直于平面，直线在平面内，则；若平面平行于平面，直线在平面内，则；其中正确命题的个数是A、B、C、D、参考答案：B6. 下列说法正确的是( )A. 垂直于同一条直线的两条直线平行B. 平行于同一个平面的两条直线平行C. 平行于同一个平面的两个平面平行D. 平行于同一条直线的两个平面平行参考答案：C7.已知函数满足对任意的都成立。
2021-2022学年广东省广州外国语学校等三校高一上学期期末联考数学试题(解析版)
2021-2022学年广东省广州外国语学校等三校高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．若集合{}1A x x =>，{}2230B x x x =--≤，则A B =（ ）A ．(]1,3B ．[]1,3C ．[)1,1-D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}{}223013B x x x x x =--≤=-≤≤，{}1A x x =>，因此，(]1,3A B =.故选：A.2．已知x ，y 是实数，则“x y >”是“33x y >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】由充要条件的定义求解即可【详解】因为2233223()()()24y y x y x y x xy y x y x ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 若x y >，则223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 若223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则0x y ->，即x y >， 所以33x y x y >⇔> ，即“x y >”是“33x y >”的充要条件， 故选：C.3．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为120︒，外圆半径为40cm ，内圆半径为20cm .则制作这样一面扇面需要的布料为（ ）2cm .A ．4003π B ．400π C ．800π D ．7200π【答案】B【分析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料. 【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：制作这样一面扇面需要的布料为1212404020204002323πππ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题. 4．函数()()e e 2cos x x x f x x-+=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据题意，分析可得函数()f x 为奇函数，当0x >时，有()0f x >，利用排除法分析可得答案.【详解】解：根据题意，对于函数()()e e 2cos x x x f x x-+=+，有函数()()()()e e ee 2cos 2cos x xxxx x f x f x xx---++-==-=-++，即函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除A ､B ；当0x >时，cos [1,1]x ∈-，则恒有()()e e 02cos x x x f x x-+=>+，排除D ；故选：C.5．已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论.【详解】55881log 2log log log 32a b =<===，即a c b <<. 故选：C.6．已知函数log ,1,()(21)3,1a x x f x a x a x >⎧=⎨-+⎩在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】根据分段函数单调性,可得关于a 的不等式组,解不等式组即可确定a 的取值范围.【详解】函数log ,1,()(21)3,1a x x f x a x a x >⎧=⎨-+⎩在R 上为减函数所以满足01,210,(21)130,a a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-⋅+⎩ 解不等式组可得1152a <. 故选:D【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用,根据分段函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.7．已知函数()2sin cos f x x x =+满足()000,2f x x π⎫⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则0tan x =（ ） A ．2 B ．112C ．12D ．211【答案】D【分析】由已知可得出()20022002sin cos 9sin cos 5x x x x +=+，利用弦化切可得出关于0tan x 的方程，结合00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得0tan x 的值.【详解】因为()0002sin cos f x x x =+=，且00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0tan 0x >，()22220000000022222000002sin cos 4sin 4sin cos cos 4tan 4tan 19sin cos sin cos tan 15x x x x x x x x x x x x x +++++∴===+++， 可得20011tan 20tan 40x x +-=，解得02tan 11x =. 故选：D.8．已知函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭有唯一零点，则=a （ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B【分析】令1x t -=，转化为()()cos 2t tg t t a e e π-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有唯一零点，根据偶函数的对称性求解.【详解】因为函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭， 令1x t -=，则()()()()sin 1cos 22t t t tg t t a e e t a e e ππ--⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，因为函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有唯一零点，所以()()cos 2t tg t t a e e π-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有唯一零点，根据偶函数的对称性，则()0120g a =+=，解得12a =-，故选：B 二、多选题9．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．11b b a a +>+ B ．11a b< C ．11a b b a+>+ D ．11a b a b+>+ 【答案】BC【解析】作差比较可知A 不正确；BC 正确；举特值可知D 不正确. 【详解】因为0a b >>，所以0b a -<，0ab >，所以11b b a a +-+(1)(1)(1)b a a b a a +-+=+0(1)b a a a -=<+，所以11b b a a +<+，故A 不正确；110b aa b ab --=<，所以11a b<，故B 正确； 11a b b a +--=a b a b ab --+()110a b ab ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，故C 正确； 当12a =，13b =时，满足0a b >>，但是1151110232233a b a b +=+=<+=+=，故D 不正确.故选：BC【点睛】关键点点睛：作差比较大小是解题关键. 10．下列各式中，值为12的有（ ）A ．sin7cos23sin83cos67︒︒+︒︒ B．1sin 50+︒C ．2tan 22.51tan 22.5︒-︒D ．()()11tan 221tan 23+︒+︒【答案】ACD【分析】A 中，利用两角和的正弦公式计算即可；B 中，先通分，再利用三角恒等变换计算即可；C 中，利用二倍角的正切值公式计算即可；D 中，利用两角和的正切公式计算即可．【详解】对于A ，sin7cos23sin83cos67sin7cos23cos7sin 23︒︒+︒︒=︒︒+︒︒ ()1sin 723sin 302=︒+︒=︒=； 对于B，()()2sin 305012sin 80411sin 50sin 250sin 8022︒+︒︒+====︒⨯︒︒； 对于C ，()2tan 22.511tan 222.51tan 22.522=⨯=-︒︒︒；对于D ，()()111tan 221tan 231tan 2tan 23tan 22232tan ︒︒︒+︒+︒⋅=+++︒tan 23t 11ta an 22n 22tan 23︒+︒+︒⋅=+︒()()11tan 221t 23tan 23tan 23an 22tan 22︒+︒︒⋅︒︒⋅=+-+︒12=． 故选：ACD ．11．已知函数()sin(3)f x x ϕ=+ 22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC【解析】利用()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，即可求出ϕ的值，从而得出()f x 的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.【详解】因为()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈ ，得4k πϕπ=-+，k Z ∈，因为 22ππϕ-<<，所以0,4k πϕ==-，所以()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数成立，故选项A 正确；对于B ：123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，30,434x ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数；故选项B 不正确；对于C ：因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，所以12x x -的最小值为半个周期，即21323ππ⨯=，故选项C 正确； 对于D ：函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到 ()sin 3sin 3sin344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选项D 不正确；故选：AC【点睛】本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题12．若函数()f x 满足：在定义域D 内存在实数0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“1阶马格丁香小花花”函数.给出下列4个函数；其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有（ ） A ．()11f x x =+ B ．()e xf x =C ．()()2lg 2f x x =+D ．()cos πf x x =【答案】BD【分析】根据函数的新定义依次代入函数计算得到方程，AC 方程无解，得到答案. 【详解】()11f x x =+，定义域为()(),11,-∞--+∞，则00111212xx =+++，方程无解，A 错误；()e x f x =，定义域为R ，则01e e e x x +=+，解得0elne 1x =-，B 正确； ()()2lg 2f x x =+，定义域为R ，则()()()2200lg 2l 231g lg x x ++++=，化简得到2002230x x -+=，方程无解，C 错误；()cos πf x x =，定义域为R ，则()()00cos π1cos π1x x +=-⎡⎤⎣⎦，即()01cos π2x =，013x =是方程的一个解，D 正确. 故选：BD. 三、填空题13．计算：22cos 15sin 15︒-︒=__________.【分析】直接利用二倍角公式计算得到答案.【详解】22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=14．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4-【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．已知0a >，0b >，且3a b ab +=-，则a b +的最小值为______． 【答案】6【分析】由3a b ab +=-可知，要使a b +取最小值，只需ab 最小即可，故结合a b +≥ab 的最小值即可求解.【详解】由0a >，0b >，得a b +≥a b =时，等号成立），又因3a b ab +=-，得3ab -≥，即)130≥，由0a >，0b >3，即9ab ≥，故3936a b ab +=-≥-=. 因此当3a b ==时，a b +取最小值6. 故答案为：6.16．已知函数()22,36,3x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若a 、b 、c 、d 、e ()a b c d e <<<<满足()()()()()f a f b f c f d f e ====，则()()()()()M af a bf b cf c df d ef e =++++的取值范围为______.【答案】()0,9【解析】设()()()()()f a f b f c f d f e t =====，作出函数()f x 的图象，可得01t <<，利用对称性可得2a d b c +=+=，由()()0,1f e ∈可求得56e <<，进而可得出2224M e e =-++，利用二次函数的基本性质可求得M 的取值范围.【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示：设()()()()()f a f b f c f d f e t =====， 当02x <<时，()()222111f x x x x =-=--+≤，由图象可知，当01t <<时，直线y t =与函数()y f x =的图象有五个交点， 且点(),a t 、(),d t 关于直线1x =对称，可得2a d +=，同理可得2b c +=， 由()()60,1f e e t =-=∈，可求得56e <<，所以，()()()()()()()()()46M af a bf b cf c df d ef e a b c d e f e e e =++++=++++=+-()()222241250,9e e e =-++=--+∈.因此，M 的取值范围是()0,9. 故答案为：()0,9.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题17．已知角α终边上有一点()P m，且sin(0)4mα=>.(1)求m的值，并求cosα与tanα的值；(2)化简并求()()()π11πcosπcos cos229πcosπsinπsin2αααααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+⎪⎝⎭的值.【答案】(1)m=cosα=，tanα=(2)【分析】（1）直接利用三角函数的定义依次计算得到答案. （2）根据诱导公式化简得到原式等于tanα，计算得到答案.(1)sinα==，0m>，解得m=故cosα=tanα==(2)()()()11πcosπcos coscos sin sin22tan9πcos sin coscosπsinπsinπ2ααααααααααααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫---+⎪⎝⎭18．已知函数()22sin cos2cos1f x x x x=+-.(1)求π4f⎛⎫⎪⎝⎭的值及()f x的单调递增区间；(2)求()f x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(1)π14f⎛⎫=⎪⎝⎭，单调增区间为3πππ,π88k k⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z∈(2)，最小值为1-【分析】（1）化简得到()π24f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，代入计算得到函数值，解不等式πππ2π22π242k x k-≤+≤+得到单调区间.（2）计算ππ5π2,444x⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据三角函数图像得到最值.(1)()2π2sin cos2cos1sin2cos224f x x x x x x x⎛⎫=+-=+=+⎪⎝⎭，故3ππn 144f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ2π22π242k x k -≤+≤+，解得3ππππ88k x k -≤≤+，k Z ∈， 故单调增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为1，最小值为故()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-.19．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型(01)x y ka k a =>>，与12(00)y px k p k =+>>，可供选择． （1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg30.4711≈≈）．【答案】（1）理由见解析，函数模型为323(),112,32xy x x N *=⋅≤≤∈；（2）六月份. 【分析】（1）由凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选(01)x y ka k a =>>，符合要求，根据数据2x =时24y =，3x =时36y 代入即可得解； （2）首先求0x =时，可得元旦放入凤眼莲的覆盖面积是2323m ，解不等式32332()10323x ⋅>⋅即可得解. 【详解】（1）两个函数(01)xy ka k a =>>，与12(0,0)y px k p k =+>>在(0,)+∞上都是增函数，随着x 的增加，指数型函数(01)x y ka k a =>>，的值增加速度越来越快， 而函数12(0,0)y px k p k =+>>的值增加越来越慢，由凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选(01)x y ka k a =>>，符合要求； 由2x =时24y =，由3x =时36y ， 可得232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32332k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故该函数模型的解析式为323(),112,32xy x x N *=⋅≤≤∈； （2）当0x =时，323y =，元放入凤眼莲的覆盖面积是2323m ， 由32332()10323x ⋅>⋅，得3()10,2x >所以32lg101log 10 5.9lg 3lg 2lg 3lg 2x >==≈--， 由x N *∈，所以6x ≥.所以凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份. 20．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在R 上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)确定函数()f x 的解析式，判断并证明函数()f x 在()1,+∞上的单调性；(2)若存在实数θ，使得不等式()()2sin 22sin 10f f t θθ-+++<成立，求正实数t 的取值范围.【答案】(1)()21xf x x =+，函数在()1,+∞上单调递减，证明见解析. (2)0t >【分析】（1）根据()00f =，1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得到函数解析式，设121x x <<，计算()()21f x f x <，证明函数的单调性.（2）根据函数的奇偶性和单调性得到21sin 2sin t θθ>--，设sin m θ=，求函数()221g m m m =--+的最小值得到答案.(1)函数()21ax b f x x +=+是定义在R 上的奇函数，则()00f b ==，12212514af ⎛⎫== ⎪⎝⎭+， 解得0b =，1a =，故()21xf x x =+. ()f x 在()1,+∞上单调递减，证明如下：设121x x <<，则()()()()()()()()()()22211221122121222222212121111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++， ()()2221110x x ++>，210xx ->，1210x x -<，故()()210f x f x -<，即()()21f x f x <.故函数在()1,+∞上单调递减. (2)()()2sin 22sin 10f f t θθ-+++<，即()()22sin 12sin f t f θθ++<-，22sin 11t θ++>，2sin 1θ-≥，故22sin 12sin t θθ++>-，即21sin 2sin t θθ>--，设sin m θ=，[]1,1m ∈-，()221321222g m m m m ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，()()min 12g m g ==-，故2t >-，又0t >，故0t >.21．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线()2sin (0,0)3f x A x A πϕϕπ⎛⎫=+>≤< ⎪⎝⎭，其中的振幅为2，且经过点（1，－2）（1）求该噪声声波曲线的解析式()f x 以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式()g x ；（2）证明：()(1)(2)g x g x g x ++++为定值． 【答案】（1）2525()2sin ,()2sin 3636f x x g x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先根据振幅为2求出A ，将点（1，-2）代入解析式即可解得； （2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明.【详解】（1）∵振幅为2，A >0，∴A =2，2()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将点（1，-2）代入得：2222sin sin 133ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-=+⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵0ϕπ≤<，∴225[,)333πππϕ+∈，∴235326πππϕϕ+=⇒=，∴25()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 易知()g x 与()f x 关于x 轴对称，所以25()2sin 36g x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）由（1）2522()2sin 2sin 2cos 3633233g x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222()(1)(2)2cos 2cos 2cos 33333g x g x g x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222cos 2cos +2cos 33333x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2123221232cos sin 2cos 2cos sin 03233323x x x x x πππππ⎛⎡⎛⎫=-⋅-++⋅--= ⎢ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 即定值为0.22．对于函数()()()2110f x ax b x b a =+++-≠，存在实数0x ，使()00f x mx =成立，则称0x 为()f x 关于参数m 的不动点.(1)当1,2a b ==时，凾数()f x 在(]0,2x ∈上存在两个关于参数m 的相异的不动点，试求参数m 的取值范围；(2)对于任意的1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在[]2,5b ∈，使得函数()f x 有关于参数m 的两个相异的不动点，试求m 的取值范围. 【答案】(1)115,2⎛⎤⎥⎝⎦(2)()(),25,m ∈-∞+∞【分析】（1）题目转化为0013m x x =++，根据双勾函数的单调性得到函数值域，得到范围.（2）根据0∆>得到()2141b m b +-<-，设1t b =-，构造函数()()()2222m F t t m t-=++-，根据函数的单调性得到函数的最大值，讨论端点值的大小关系解不等式得到答案. (1)()231f x x x =++，()00f x mx =，即002031x x mx ++=，(]00,2x ∈，即0013m x x =++，函数()13g x x x=++在(]0,1上单调递减，在(]1,2上单调递增， ()15g =，()1122g =，当0x →时，()g x ∞→+， 0013m x x =++有两个解，故115,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. (2)()211ax b x b mx +++-=，即()2110ax b m x b ++-+-=，()()21410b m a b ∆=+--->，整理得到()2141b m a b +-<-，1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()2141b m b +-<-，设1t b =-，[]1,4t ∈，则()224t m t+-<，即()()22422m t m t-<++-，设()()()2222m F x x m x-=++-，在()0,2m -上单调递减，在()2,m -+∞上单调递增，故()()(){}22max 1max 1,4max 69,394F t F F m m m m ⎧⎫==-+-+⎨⎬⎩⎭，当22169394m m m m -+≥-+，即4m ≥或0m ≤时，2694m m -+>，解得5m >或1m <，故5m >或0m ≤；当22169394m m m m -+<-+，即04m <<时，213944m m -+>，解得10m >或2m <，故02m <<；综上所述：5m >或2m <，即()(),25,m ∈-∞+∞。