函数概念知识点总结-2025届高三数学一轮复习

知识点总结 3-1函数概念
一．函数的概念
1．定义
一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 注：函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(函数问题定义域优先)
(2)相同函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法：解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
5.复合函数
如果函数y=f(t)的定义域为A, 函数t=g(x) 的定义域为B, 值域为C, 则当C ⊆A 时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在B 的复合函数，
其中t 叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
提示：①内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集.
②函数f(g(x))的定义域是指x 的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
常用结论
1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空实数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
二．求函数定义域时常用限制条件：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
(1)分式的分母不为零；
(2)偶次方根的被开方数大于或等于零：
(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
(4)零次幂或负指数次幂的底数不为零；
(5)三角函数中的正切tan y x =的定义域是{,x x R ∈且x ≠kπ+π2,k ∈Z}；
(6)①若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；
②已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a,b ])的值域.
(7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
三．函数的值域
1.求函数的值域(最值)的常用方法
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．
(3)数形结合法．
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”．
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式．
2.基本初等函数的值域
(1))0(≠+=k b kx y 的值域是R ．
(2))0(2≠++=a c bx ax
y 的值域是：当0>a 时，值域为[4ac−b 24a ,+∞)；当0<a 时，值域为(−∞,4ac−b 24a ]． (3)y =k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．
(4)0(>=a a y x 且)1≠a 的值域是)0(∞+，
． (5)0(log >=a x y a 且)1≠a 的值域是R ．
3.区间：设a,b ∈R ，且a <b ，我们规定： 集合
区间名称 符号表示 数轴表示
{x |a ≤x ≤b }
闭区间 [a ，b ]
{x |a <x <b } 开区间 (a ，b )
{x |a ≤x <b } 左闭右开区间 [a ，b )
{x |a <x ≤b } 左开右闭区间 (a ，b ]
{x |x ≥a } [a ，＋∞)
{x |x >a } (a ，＋∞)
{x |x ≤a } (－∞，a ]
{x |x <a }
(－∞，a )
R
(－∞，＋∞) 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．。