2016-2017年河北省邯郸市曲周一中高三(下)2月月考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年河北省邯郸市曲周一中高三（下）2月月考数学
试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2≥16}，B＝{m}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[4，+∞）
C．[﹣4，4]D．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）
2．（5分）下列函数中，周期为π的奇函数是（）
A．y＝sin2x B．y＝tan2x
C．y＝sin2x+cos2x D．y＝sin x cos x
3．（5分）“a＝1“是“直线ax+y+1＝0与直线（a+2）x﹣3y﹣2＝0垂直”的（）A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知i是虚数单位，复数z＝（a∈R），若|z|＝（sin x﹣）dx，则a＝（）
A．±1B．1C．﹣1D．±
5．（5分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β②若m∥α，m∥β，则α∥β③若m∥α，n∥α，则m∥n④若
m⊥α．n⊥α，则m∥n
上述命题中，所有真命题的序号是（）
A．①④B．②③C．①③D．②④
6．（5分）设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，c﹣a＝2，b ＝3，则a等于（）
A．2B．C．3D．
8．（5分）已知直线和椭圆交于不同的两点M，N，若M，
N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
9．（5分）函数y＝a sin x﹣b cos x的一条对称轴为x＝，则直线l：ax﹣by+c＝0的倾斜角为（）
A．45°B．60°C．120°D．135°
10．（5分）已知x，y为正实数，且x+y++＝5，则x+y的最大值是（）A．3B．C．4D．
11．（5分）过双曲线x2﹣＝1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2＝4和圆C2：
（x﹣4）2+y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）
A．10B．13C．16D．19
12．（5分）已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p ≠q，不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为（）
A．[15，+∞）B．（﹣∞，15]C．（12，30]D．（﹣12，15]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，
13．（5分）抛物线y＝﹣4x2的准线方程是．
14．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为．
15．（5分）已知x，y满足，若目标函数z＝3x+y的最大值为10，则m的值为．
16．（5分）已知等腰△OAB中，|OA|＝|OB|＝2且，那么的
取值范围是．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a sin B＝﹣b sin（A+）．（1）求A；
（2）若△ABC的面积S＝c2，求sin C的值．
18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，非常数等比数列{b n}的公比是q，且满足：a1＝2，b1＝1，S2＝3b2，a2＝b3．
（Ⅰ）求a n与b n；
（Ⅱ）设c n＝2b n﹣λ•，若数列{c n}是递减数列，求实数λ的取值范围．
19．（12分）已知在边长为4的等边△ABC（如图1所示）中，MN∥BC，E为BC的中点，连接AE交MN于点F，现将△AMN沿MN折起，使得平面AMN⊥平面MNCB（如图2所示）．
（1）求证：平面ABC⊥平面AEF；
（2）若S BCNM＝3S△AMN，求直线AB与平面ANC所成角的正弦值．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率e ＝，且椭圆C1的短轴长为2．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设A（0，），N为抛物线C2：y＝x2上一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于B，C两点，求△ABC面积的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）＝（其中k∈R，e＝2.71828…是自然数的底数），f′（x）为f（x）的导函数．
（1）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若x∈（0，1]时，f′（x）＝0都有解，求k的取值范围；
（3）若f′（1）＝0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．
[选修4-4坐标系与参数方程]
22．（10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r＝．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．
[选修4-5不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．
2016-2017学年河北省邯郸市曲周一中高三（下）2月月
考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2≥16}，B＝{m}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[4，+∞）
C．[﹣4，4]D．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）
【解答】解：∵集合A＝{x|x2≥16}＝{x|x≤﹣4或x≥4}，B＝{m}，
且A∪B＝A，∴B⊂A；
∴m≤﹣4，或m≥4，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．
故选：D．
2．（5分）下列函数中，周期为π的奇函数是（）
A．y＝sin2x B．y＝tan2x
C．y＝sin2x+cos2x D．y＝sin x cos x
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、y＝sin2x＝，为偶函数，周期为＝π，不符合题意；
对于B、y＝tan2x，为奇函数，其周期为，不符合题意；
对于C、y＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），为非奇非偶函数，不符合题意；
对于D、y＝sin x cos x＝sin2x，为奇函数，且其周期为＝π，符合题意；
故选：D．
3．（5分）“a＝1“是“直线ax+y+1＝0与直线（a+2）x﹣3y﹣2＝0垂直”的（）A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：（1）a＝1时，直线x+y+1＝0的斜率为﹣1，3x﹣3y﹣2＝0的斜率为1；
∴这两直线垂直；
（2）若直线ax+y+1＝0与（a+2）x﹣3y﹣2＝0垂直，则：；
∴解得a＝1，或﹣3；
∴“直线ax+y+1＝0与直线（a+2）x﹣3y﹣2＝0垂直“不一定得到“a＝1“；
∴综上得“a＝1“是“直线ax+y+1＝0与直线（a+2）x﹣3y﹣2＝0垂直”的充分不必要条件．
故选：B．
4．（5分）已知i是虚数单位，复数z＝（a∈R），若|z|＝（sin x﹣）dx，则a＝（）
A．±1B．1C．﹣1D．±
【解答】解：|z|＝（sin x﹣）dx＝（﹣cos x﹣）＝（﹣cosπ﹣1）﹣（﹣cos0﹣0）＝1，
∵z＝＝＝+i，
∴（）2+（）2＝1，
解得a＝±1，
故选：A．
5．（5分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β②若m∥α，m∥β，则α∥β③若m∥α，n∥α，则m∥n④若
m⊥α．n⊥α，则m∥n
上述命题中，所有真命题的序号是（）
A．①④B．②③C．①③D．②④
【解答】解：若m⊥α，m⊥β，则α∥β．这是直线和平面垂直的一个性质定理，故①成立；若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故②不成立；
若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，则③错误；
由垂直与同一平面的两直线平行可知：④为真命题，
故选：A．
6．（5分）设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【解答】解：x、y、z为正数，
令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．
则x＝，y＝，z＝．
∴3y＝，2x＝，5z＝．
∵＝＝，＞＝．
∴＞lg＞＞0．
∴3y＜2x＜5z．
另解：x、y、z为正数，
令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．
则x＝，y＝，z＝．
∴＝＝＞1，可得2x＞3y，
＝＝＞1．可得5z＞2x．
综上可得：5z＞2x＞3y．
解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．
故选：D．
7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，c﹣a＝2，b ＝3，则a等于（）
A．2B．C．3D．
【解答】解：由题意可得c＝a+2，b＝3，cos A＝，
∴由余弦定理可得cos A＝•，
代入数据可得＝，
解方程可得a＝2
故选：A．
8．（5分）已知直线和椭圆交于不同的两点M，N，若M，
N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可知：M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M（c，），则＝×c，则3b2＝2ac，即3c2+2ac﹣3a2＝0，两边同除以a2，
整理得：3e2+2e﹣3＝0，解得：e＝﹣或e＝，
由0＜e＜1，
故e＝，
故选：C．
9．（5分）函数y＝a sin x﹣b cos x的一条对称轴为x＝，则直线l：ax﹣by+c＝0的倾斜角为（）
A．45°B．60°C．120°D．135°
【解答】解：f（x）＝a sin x﹣b cos x，
∵对称轴方程是x＝，
∴f（+x）＝f（﹣x）对任意x∈R恒成立，
a sin（+x）﹣
b cos（+x）＝a sin（﹣x）﹣b cos（﹣x），
a sin（+x）﹣a sin（﹣x）＝
b cos（+x）﹣b cos（﹣x），
用加法公式化简：
2a cos sin x＝﹣2b sin sin x对任意x∈R恒成立，
∴（a+b）sin x＝0 对任意x∈R恒成立，
∴a+b＝0，
∴直线ax﹣by+c＝0的斜率K＝＝﹣1，
∴直线ax﹣by+c＝0的倾斜角为．
故选：D．
10．（5分）已知x，y为正实数，且x+y++＝5，则x+y的最大值是（）
A．3B．C．4D．
【解答】解：∵x+y++＝5，
∴（x+y）[5﹣（x+y）]＝（x+y）（+）＝2++≥2+2＝4，
∴（x+y）2﹣5（x+y）+4≤0，
∴1≤x+y≤4，
∴当且仅当x＝y＝2时，x+y取最大值4．
故选：C．
11．（5分）过双曲线x2﹣＝1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2＝4和圆C2：
（x﹣4）2+y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）
A．10B．13C．16D．19
【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；
圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，
设双曲线x2﹣＝1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），
连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得
|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）
＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）
＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3
＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，
即最小值13．
故选：B．
12．（5分）已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p ≠q，不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为（）
A．[15，+∞）B．（﹣∞，15]C．（12，30]D．（﹣12，15]
【解答】解：∵的几何意义为：
表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
∵实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．
不等式＞1恒成立，
∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞﹣1，
∴f′（x）＝＞1 在（1，2）内恒成立．
即a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y＝2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
故x＝2时，y＝2x2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，
∴a≥15
∴a∈[15，+∞）．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，
13．（5分）抛物线y＝﹣4x2的准线方程是．
【解答】解：化抛物线方程为标准方程可得，
由此可得2p＝，故，，
由抛物线开口向下可知，准线的方程为：y＝，
故答案为：
14．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为π．
【解答】解：直观图是高为2的圆柱沿着右上到左下切开所剩下的一半图形，
体积为对应的圆柱的体积的一半，即＝π．
故答案为π．
15．（5分）已知x，y满足，若目标函数z＝3x+y的最大值为10，则m的值为5．
【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：
由z＝3x+y得y＝﹣3x+z
平移直线y＝﹣3x+z，则由图象可知当直线y＝﹣3x+z经过点C时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大，为3x+y＝10
由，解得，即C（3，1），
此时C在2x﹣y﹣m＝0上，
则m＝5．
故答案为：5．
16．（5分）已知等腰△OAB中，|OA|＝|OB|＝2且，那么的取值范围是[﹣2，4）．
【解答】解：∵＝||，
∴≥（），
又，
∴≥﹣2．
又＝2×2×cos A＜4，
∴﹣2≤＜4．
故答案为：[﹣2，4）．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a sin B＝﹣b sin（A+）．（1）求A；
（2）若△ABC的面积S＝c2，求sin C的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵a sin B＝﹣b sin（A+）．
∴由正弦定理可得：sin A sin B＝﹣sin B sin（A+）．即：sin A＝﹣sin（A+）．
可得：sin A＝﹣sin A﹣cos A，化简可得：tan A＝﹣，
∵A∈（0，π），
∴A＝…6分
（2）∵A＝，
∴sin A＝，
∵由S＝c2＝bc sin A＝bc，可得：b＝，
∴a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝7c2，可得：a＝，
由正弦定理可得：sin C＝…12分
18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，非常数等比数列{b n}的公比是q，且满足：a1＝2，b1＝1，S2＝3b2，a2＝b3．
（Ⅰ）求a n与b n；
（Ⅱ）设c n＝2b n﹣λ•，若数列{c n}是递减数列，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，
则2+a2＝3q，且a2＝q2，
即有q2﹣3q+2＝0，
解得q＝2或1（舍去），
即有a2＝4，d＝2，
则a n＝2n，b n＝2n﹣1；
（Ⅱ）c n＝2b n﹣λ•＝2n﹣3nλ，
由题意可得c n+1＜c n对n∈N*恒成立，
即有2n+1﹣3n+1λ＜2n﹣3nλ，
即2λ3n＞2n，即2λ＞（）n对n∈N*恒成立．
由f（n）＝（）n为递减数列，即有f（n）的最大值为f（1）＝，
则有2λ＞，解得．
故实数λ的取值范围为（，+∞）．
19．（12分）已知在边长为4的等边△ABC（如图1所示）中，MN∥BC，E为BC的中点，连接AE交MN于点F，现将△AMN沿MN折起，使得平面AMN⊥平面MNCB（如图2所示）．
（1）求证：平面ABC⊥平面AEF；
（2）若S BCNM＝3S△AMN，求直线AB与平面ANC所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵MN∥BC，∴AF⊥MN，MN⊥EF，
又AF∩FE＝F，∴MN⊥平面AEF，
∵BC∥MN，∴BC⊥平面AEF，
∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面AEF．
解：（2）由S四边形BCNM＝3S△AMN，得，
∵△ABC∽△AMN，且MN∥BC，
∴（）2＝，∴MN＝，
以F为原点，FE，FN，F A分别为x，y，z轴，建立空间直角系，
则F（0，0，0），A（0，0，），B（），N（0，1，0），C（），
＝（0，1，﹣），＝（），
设平面ANC的法向量＝（x，y，z），
则，取z＝1，得＝（﹣1，，1），
＝（），
设直线AB与平面ANC所成的角为α，
则sinα＝＝，
∴直线AB与平面ANC所成角的正弦值为．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率e ＝，且椭圆C1的短轴长为2．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设A（0，），N为抛物线C2：y＝x2上一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于B，C两点，求△ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）∵椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，
∴e﹣＝＝，∴a2＝4b2，
椭圆C1的短轴长为2，即2b＝2，b＝1，a2＝4，
∴椭圆方程为：；
（2）设曲线C：y＝x2上的点N（t，t2），B（x1，y1），C（x2，y2），
∵y′＝2x，∴直线BC的方程为y﹣t2＝2t（x﹣t），即y＝2tx﹣t2，①
将①代入椭圆方程，整理得（1+16t2）x2﹣16t3x+4t4﹣4＝0，
则△＝（16t3）2﹣4（1+16t2）（4t4﹣4）＝16（﹣t4+16t2+1），
且x1+x2＝，x1x2＝，
∴|BC|＝|x1﹣x2|＝•＝
，
设点A到直线BC的距离为d，则d＝，
∴△ABC的面积S＝|BC|d＝••＝≤，
当t＝±2时，取到“＝”，此时△＞0，满足题意，
∴△ABC面积的最大值为．
21．（12分）已知函数f（x）＝（其中k∈R，e＝2.71828…是自然数的底数），f′（x）
为f（x）的导函数．
（1）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若x∈（0，1]时，f′（x）＝0都有解，求k的取值范围；
（3）若f′（1）＝0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．
【解答】解：（1）当k＝2时，f（x）＝的导数为f′（x）＝（x＞0），f′（1）＝﹣，f（1）＝，在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣＝﹣（x﹣1），
即为y＝﹣x+；
（2）f′（x）＝0，即＝0，即有k＝，
令F（x）＝，由0＜x≤1，F′（x）＝﹣＜0，
F（x）在（0，1）递减，x→0，F（x）→+∞，F（x）≥1，
即k≥1；
（3）证明：由f′（1）＝0，可得k＝1，g（x）＝（x2+x）f′（x），即g（x）＝（1﹣x﹣xlnx），
对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1等价为1﹣x﹣xlnx＜（e﹣2+1），
由h（x）＝1﹣x﹣xlnx得h′（x）＝﹣2﹣lnx，
当0＜x＜e﹣2时，h′（x）＞0，h（x）递增，当x＞e﹣2时，h′（x）＜0，h（x）递减，则h（x）的最大值为h（e﹣2）＝1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，
设φ（x）＝e x﹣（x+1），φ′（x）＝e x﹣1，x＞0时，φ′（x）＞0，φ（x）＞0，
φ（x）＞φ（0）＝0，则x＞0时，φ（x）＝e x﹣（x+1）＞0即＞1．
即1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1＜（e﹣2+1），
故有对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．
[选修4-4坐标系与参数方程]
22．（10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r＝．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），
∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3．
化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1＝0 …（5分）
（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，
得（1+t cosα）2+（1+t sinα）2＝3，
即t2+2t（cosα+sinα）﹣1＝0．
∴t1+t2＝﹣2（cosα+sinα），t1•t2＝﹣1．
∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝2．
∵α∈[0，），∴2α∈[0，），
∴2≤|AB|＜2．
即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）
[选修4-5不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）①当x＜﹣2时，f（x）＝1﹣2x+x+2＝﹣x+3，令﹣x+3＞0，解得x＜3，又∵x＜﹣2，∴x＜﹣2；
②当﹣2≤x≤时，f（x）＝1﹣2x﹣x﹣2＝﹣3x﹣1，令﹣3x﹣1＞0，解得x＜﹣，又∵
﹣2≤x≤，∴﹣2≤x＜﹣；
③当x时，f（x）＝2x﹣1﹣x﹣2＝x﹣3，令x﹣3＞0，解得x＞3，又∵x，∴x＞3．综上，不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．
（Ⅱ）由（I）得f（x）＝，
∴f min（x）＝f（）＝﹣．
∵∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，∴4m﹣2m2＞﹣，整理得：4m2﹣8m﹣5＜0，解得：﹣＜m＜，
∴m的取值范围是（﹣，）．。