等差数列求和的两个公式证明

等差数列求和的两个公式证明好嘞，以下是为您生成的文章：
咱们在数学的世界里溜达，经常会碰到等差数列这个家伙。

那啥是
等差数列呢？比如说 1，3，5，7，9 这样，每一项和前一项的差值都
一样，这就是等差数列啦。

今天咱就来瞅瞅等差数列求和的两个公式
是咋证明出来的。

先来说说第一个公式：$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ，这里的
$S_n$ 表示前 n 项的和，$a_1$ 是首项，$a_n$ 是末项，n 就是项数。

咱来举个例子哈，比如说有一个等差数列 2，4，6，8，10 。

这时
候咱们就来算算它前 5 项的和。

按照这个公式，首项$a_1$ 是 2 ，末项$a_5$ 是 10 ，项数 n 是 5 。

那前 5 项的和 $S_5 = \frac{5×(2 + 10)}{2} = 30$ 。

那这个公式咋证明呢？咱们可以这么想，把这个数列倒过来写一遍，变成 10，8，6，4，2 。

然后把原来的和倒过来的相加， 2 + 10 = 12 ，
4 + 8 = 12 ， 6 + 6 = 12 。

每一组的和都一样，而且一共有 n 组。

所以
总和就是 n 乘以（首项 + 末项），但是这是两个数列的和，所以要求
一个数列的和就得除以 2 ，这不就证明出来了嘛。

再来说说第二个公式：$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)d}{2}$ ，这里的
d 是公差。

还拿刚才那个例子 2，4，6，8，10 来说，首项$a_1$ 是 2 ，公差 d
是 2 ，项数 n 是 5 。

那前 5 项的和 $S_5 = 5×2 + \frac{5×(5 - 1)×2}{2} = 30$ ，结果也是
一样的。

这个公式的证明呢，咱们可以这样想。

第一项就是$a_1$ ，第二项
是$a_1 + d$ ，第三项是$a_1 + 2d$ ，一直到第 n 项是$a_1 + (n - 1)d$ 。

把它们加起来，$S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \cdots + [a_1 + (n - 1)d]$ ，整理一下就得到$S_n = na_1 + d(1 + 2 + \cdots + (n - 1))$ 。

而 1
到 (n - 1) 的和可以用等差数列求和公式算出来，就是$\frac{n(n -
1)}{2}$ ，所以就得到了$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)d}{2}$ 。

前几天我给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一
脸迷茫，我就又给他举了个生活中的例子。

比如说咱们排队买冰淇淋，第一个人前面没人，第二个人前面有1 个人，第三个人前面有2 个人，一直到第 n 个人前面有 n - 1 个人。

那所有人前面的人数加起来，不就
是 1 到 n - 1 的和嘛，这就和等差数列求和联系起来啦。

这小家伙一听，恍然大悟，那表情别提多有意思了。

总之啊，这两个等差数列求和的公式很有用，学会了证明方法，就
能更深刻地理解它们，解题的时候也就更得心应手啦！。