2017-2018年四川省广元市川师大万达中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(文科)

2017-2018学年四川省广元市川师大万达中学高二（上）期中数
学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1．（5分）已知向量，且，则x=（）
A．﹣6 B．6 C．D．
2．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）
A．1 B．2 C．D．2
3．（5分）直线ax+y﹣1=0与直线2x+3y﹣2=0垂直，则实数a的值为（）A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣
4．（5分）过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是（）
A．x+2y﹣5=0 B．x+2y+5=0 C．2x﹣y﹣5=0 D．x﹣2y﹣5=0
5．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α
6．（5分）直线l：（λ﹣2）x+（λ+1）y+6=0，则直线l恒过定点（）A．（﹣2，2）B．（2，﹣2）C．（2，﹣1）D．（﹣1，2）
7．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84
8．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点M在AC1上且，N
为BB1的中点，则为（）
A．B．C．D．
9．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．20πB．24πC．28πD．32π
10．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
11．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），设点（x，y）在线段AB上（含端点），则的取值范围是（）
A．B． C．D．
12．（5分）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的方程为x﹣y+2=0，则顶点C的坐标是（）
A．（﹣4，0）B．（0，﹣4）C．（4，0） D．（4，0）或（﹣4，0）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）若直线经过A（﹣1，1），B（﹣1，4）两点，则直线AB的倾斜角为．14．（5分）直线l1：x+my+6=0与l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，若l1∥l2，则l1与l2的距离为．
15．（5分）过点A（5，2）且在坐标轴上截距之和等于0的直线l的方程为．16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下面结论正确的是．
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成的角为60°．
三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.））
17．（10分）直线l经过两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0的交点，且与直线x﹣2y﹣6=0垂直．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．
18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1．
（Ⅰ）证明：A1C1⊥面BB1D1D；
（Ⅱ）求BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值．
19．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
20．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．
（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD
（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．
21．（12分）设S n为数列{a n}的前n项和．已知．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T n．
22．（12分）已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．
（Ⅰ）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
（Ⅱ）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，求△AOB的面积的最小值并求此时直线l的方程；
（III）已知点P（1，5），若点P到直线l的距离为d，求d的最大值并求此时直线l的方程．
2017-2018学年四川省广元市川师大万达中学高二（上）
期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1．（5分）已知向量，且，则x=（）
A．﹣6 B．6 C．D．
【解答】解：根据题意，向量，
若∥，则有（﹣2）x=3×4=12，
解可得x=﹣6；
故选：A．
2．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）
A．1 B．2 C．D．2
【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），
∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：
d==．
故选：C．
3．（5分）直线ax+y﹣1=0与直线2x+3y﹣2=0垂直，则实数a的值为（）A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣
【解答】解：∵直线ax+y﹣1=0与直线2x+3y﹣2=0垂直，
∴a×2+1×3=0，解得a=
故选：D．
4．（5分）过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是（）
A．x+2y﹣5=0 B．x+2y+5=0 C．2x﹣y﹣5=0 D．x﹣2y﹣5=0
【解答】解：设过点（1，2）且与直线x+2y=0平行的直线方程为x+2y+m=0，把点（1，2）代入直线方程得，
1+4+m=0，m=﹣5，
故所求的直线方程为x+2y﹣5=0，
故选：A．
5．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α
【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：
若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故A错误；
若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故B错误；
若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β，故C正确；
若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故D错误．
故选：C．
6．（5分）直线l：（λ﹣2）x+（λ+1）y+6=0，则直线l恒过定点（）A．（﹣2，2）B．（2，﹣2）C．（2，﹣1）D．（﹣1，2）
【解答】解：直线l：（λ﹣2）x+（λ+1）y+6=0，即λ（x+y）+（﹣2x+y+6）=0，令x+y=0，可得﹣2x+y+6=0，求得x=2，y=﹣2，可得直线l恒过定点（2，﹣2），故选：B．
7．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84
【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，
∴，
∴q4+q2+1=7，
∴q4+q2﹣6=0，
∴q2=2，
∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．
故选：B．
8．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点M在AC1上且，N
为BB1的中点，则为（）
A．B．C．D．
【解答】
解：如图所示，
N（3，3，），C1（0，3，3），A（3，0，0）．
∵AM=MC1，∴M（2，1，1），
MN==
故选：A．
9．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．20πB．24πC．28πD．32π
【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，
∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，
故选：C．
10．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，
，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，
∵BC=CA=CC1，
设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．
11．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），设点（x，y）在线段AB上（含端点），则的取值范围是（）
A．B． C．D．
【解答】解：如图，取Q（1，1），
则的取值范围等价于直线PQ的斜率k的取值范围，
∵点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），点P（x，y）是线段AB上任一点，
∴k AQ==﹣4，
k BQ==，
∴k≥或k≤﹣4，
∴的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．
故选：A．
12．（5分）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的方程为x﹣y+2=0，则顶点C的坐标是（）
A．（﹣4，0）B．（0，﹣4）C．（4，0） D．（4，0）或（﹣4，0）
【解答】解：设C（m，n），由重心坐标公式得，
三角形ABC的重心为（），
代入欧拉线方程得：，
整理得：m﹣n+4=0 ①
AB的中点为（1，2），，
AB的中垂线方程为y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．
联立，解得．
∴△ABC的外心为（﹣1，1）．
则（m+1）2+（n﹣1）2=32+12=10，
整理得：m2+n2+2m﹣2n=8 ②
联立①②得：m=﹣4，n=0或m=0，n=4．
当m=0，n=4时B，C重合，舍去．
∴顶点C的坐标是（﹣4，0）．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）若直线经过A（﹣1，1），B（﹣1，4）两点，则直线AB的倾斜角为90°．
【解答】解：∵直线经过A（﹣1，1），B（﹣1，4）两点，
∴直线AB垂直于x轴，
∴直线AB的倾斜角为90°．
故答案为：90°．
14．（5分）直线l1：x+my+6=0与l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，若l1∥l2，则l1与l2
的距离为．
【解答】解：由于直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴，∴m=﹣1，
直线l1：x﹣y+6=0与l2：x﹣y+=0，
平行线的距离为：=
故答案为：．
15．（5分）过点A（5，2）且在坐标轴上截距之和等于0的直线l的方程为2x ﹣5y=0或x﹣y﹣3=0．
【解答】解：当横截距a=0时，纵截距b=0，
此时直线l过点A（5，2），O（0，0），
直线l的方程为：，即2x﹣5y=0，
当横截距a≠0时，纵截距b=﹣a，
设直线l的方程为：，
把A（5，2）代入，得：=1，解得a=3，
∴直线l的方程为，即x﹣y﹣3=0．
综上，直线l的方程为2x﹣5y=0或x﹣y﹣3=0．
故答案为：2x﹣5y=0或x﹣y﹣3=0．
16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下面结论正确的是①②③．
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成的角为60°．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
在①中，∵BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，
∴BD∥平面CB1D1，故①正确；
在②中，∵BD⊥AC，BD⊥CC1，
又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1，
∵AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD，故②正确；
在③中，∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，且AA1∩A1C1=A1，
∴B1D1⊥平面AA1C1，又AC1⊂平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，
同理，B1C⊥AC1，又B1D1∩B1C=B1，∴AC1⊥平面CB1D1，故③正确；
在④中，∵AD∥BC，∴∠BCB1是异面直线AD与CB1所成的角，
∵BB1⊥BC，且BB1=BC，∴∠BCB1=45°，
∴异面直线AD与CB 1所成的角为45°，故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.））
17．（10分）直线l经过两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0的交点，且与直线x﹣2y﹣6=0垂直．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．
【解答】解：（Ⅰ）两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0的交点为（1，6），
直线x﹣2y﹣6=0的斜率为，由垂直可得直线l的斜率为﹣2，
则直线l的方程为y﹣6=﹣2（x﹣1），
即为2x+y﹣8=0；
（Ⅱ）若点P（a，1）到直线l：2x+y﹣8=0的距离为，
可得=，
解得a=6或1．
18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1．
（Ⅰ）证明：A1C1⊥面BB1D1D；
（Ⅱ）求BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值．
【解答】（I）证明：∵长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=BC，
∴四边形A1B1C1D1是正方形，
∴A1C1⊥B1D1，
又BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，
∴A1C1⊥BB1，
又B1D1∩BB1=B1，
∴A1C1⊥面BB1D1D．
（II）解：设A1C1∩B1D1=O，连结OB，
由（I）可知A1C1⊥面BB1D1D，
∴∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成角．
∵AB=BC=2，AA1=1．
∴OC1=A1C1=，BC1=，
∴sin∠C1BO==．
19．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：＞0，
代入可得（bk）2=2ak•ck，
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB===．
（II）由（I）可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a=，
∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．
∴S
==1．
△ABC
20．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．
（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD
（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，
又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD．
（Ⅱ）因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，
由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，
又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，
设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，
CD=，A1D=，DE=，A1E=3
故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，
又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF==，EF==，
所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=．
21．（12分）设S n为数列{a n}的前n项和．已知．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（Ⅰ）依题意有a n2+2a n=4S n+3①，
当n=1时a12+2a1=4S1+3，解得a1=3，
当n≥2是a n
﹣12+2a
n﹣1
=4S n﹣1+3②，
①﹣②得（a n+a n
﹣1）（a n+a n
﹣1
﹣2）=0，
∵a n＞0，
∴a n+a n
﹣1
＞0，
∴a n﹣a n
﹣1
﹣2=0（n≥2），
∴{a n}成等差数列，得a n=3+2（n﹣1）=2n+1．
（Ⅱ）===（﹣），
∴数列{b n}的前n项和T n=（1﹣++…+﹣）=（1﹣）=
22．（12分）已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．
（Ⅰ）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
（Ⅱ）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，求△AOB的面积的最小值并求此时直线l的方程；
（III）已知点P（1，5），若点P到直线l的距离为d，求d的最大值并求此时直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由kx﹣y+1+2k=0，得k（x+2）+（﹣y+1）=0，
联立，解得，
则直线l：kx﹣y+1+2k=0过定点M（﹣2，1）；
由kx﹣y+1+2k=0，得y=kx+1+2k，
要使直线不经过第四象限，则，解得k≥0．
∴k的取值范围是[0，+∞）；
（Ⅱ）如图，由题意可知，k＞0，
在kx﹣y+1+2k=0中，取y=0，得x=﹣，取x=0，得y=1+2k，
∴S
=×|OA|×|OB|=××（1+2k）
△AOB
==2k++2≥2+2=4．
当且仅当2k=，即k=时上式“=”成立．
∴S的最小值为4，此时的直线方程为x﹣y+2=0，即x﹣2y+4=0；
（Ⅲ）点P（1，5），若点P到直线l的距离为d，
当PM⊥l时，d取得最大值，且为=5，
由直线PM的斜率为=，
可得直线直线l的斜率为﹣，
则直线l的方程为y﹣1=﹣（x+2），
即为3x+4y+2=0．。

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赠送初中数学几何模型
【模型一】
“一线三等角”模型： 图形特征：
60
°
60°
60°
45°
45°
45
°
运用举例：
1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；
x
y
B C
A
O
2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则
14S S += ．
l
s 4
s 3
s 2
s 1
3
2
1
3. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；
（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
E
B
4.如图，已知直线112y x =
+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线21
2
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P ； （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标。

5.如图，已知正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点M 在线段BF 上（不与点B 重合），连接EM ，将线段EM 绕点M 顺时针旋转90°得MN ，连接FN ．
（1）特别地，当点M 为线段BF 的中点时，通过观察、测量、推理等，猜想：∠NFC = °，
BM
NF
= ； （2）一般地，当M 为线段BF 上任一点（不与点B 重合）时，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由；
（3）进一步探究：延长FN 交CD 于点G ，求
FM
NG
的值 G
N
E D
A
6..如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数k
y x
=
(k >0)的图像与AC 边交于点E 。

(1)若BF ＝1，求△OEF 的面积；
(2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由
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