湖北省八校高三数学第一次联考试题 理(含解析)新人教A版

第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.方程2250x x -+=的一个根是（ ） A.12i +
B.12i -+
C.2i +
D.2i -
2.集合2{3,log }P a =，{,}Q a b =，若{0}P Q =,则P Q =（ ）
A.{3,0}
B.{3,0,2}
C.{3,0,1}
D.{3,0,1,2}
3.下列命题，正确的是（ ）
A.命题:x ∃∈R ，使得210x -<的否定是：x ∀∈R ，均有210x -<.
B.命题：若3x =,则2230x x --=的否命题是：若3x ≠，则2230x x --≠.
C.命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题.
D.命题：cos cos x y =，则x y =的逆否命题是真命题.
4.已知,x y 满足220240330x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
≥≥≤，则关于22x y +的说法，正确的是（ ）
A.有最小值1
B.
有最小值
45
C.有最大值13
D.有最小值
25
5
5.函数c bx ax x f ++=23)('2
有极值点，则（ ） A. 23b ac ≤ B. 23b ac ≥ C. 23b ac <
D. 23b ac >
6.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A.13
B.
23
C.2
D.1
7.△ABC 中，角,,A B C 成等差数列是sin (
3cos sin )cos C A A B =+成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必
要条件 【答案】A 【解析】
8.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F 与缩短的距离l 按 胡克定律F kl =计算.今有一弹簧原长80cm ，每压缩1cm 需0.049N 的压缩力，若把这根弹簧从70cm 压缩至50cm （在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（ ）功（单位：J ） A.0.196
B.0.294
C.0.686
D.0.98
1
1
1
1
1
正（主）视图 侧（左）视图
俯 视 图
第6题图
9.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F ∥平面1D AE ，记1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ，下列说法错误的是（ ） A.点F 的轨迹是一条线段 B.1A F 与1D E 不可能平行 C. 1A F 与BE 是异面直线 D.tan 2
2θ≤
【答案】B 【解析】
10.若直线1y kx =+与曲线11
||||y x x x x
=+
--有四个公共点，则k 的取值集合是（ ） A.11
{0,,}88
-
B.11[,]88
-
C.11
(,)88
-
D.11{,}88
-
1
1
D 1
B B
1
F
第9题图
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在
答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.） (一)必考题（11—14题）
11.平面向量,a b 满足||1,||2==a b ，且()(2)7+⋅-=-a b a b ，则向量,a b 的夹角为 ．
12.已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：1
3r h =,把这个结论推广到空间正四面
体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是 ．
13.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象向左平移4π个单位后得到的函数图象关于点4(,0)3
π
成中心对称，那么||ϕ的最小值为 .
14.无穷数列{}n a 中，12,,
,m a a a 是首项为10，公差为2-的等差数列；122,,
,m m m a a a ++是首
项为
12，公比为1
2
的等比数列（其中*3,m m ∈N ≥），并且对于任意的*n ∈N ，都有2n m n a a +=成立.若511
64
a =
，则m 的取值集合为____________.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则使得12852013m S +≥
*3,)m m ∈(N ≥的m 的取值集合为____________.
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果
计分）
15．（选修
4—1：几何证明选讲）
已知⊙O 1和⊙O 2交于点C 和D ，⊙O 1上的点P 处的切线交⊙O 2于A 、B 点，交直线CD 于点
E ，M
是⊙O 2上的一点，若PE =2，EA =1，45AMB ∠=，那么⊙O 2的半径为 .
考点：1.切线定理；2.割线定理；3.圆周角定理
16.（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线1:4C ρ=上有3个不同的点到曲线2:sin()4
C m π
ρθ+=的距离等于2，则
A
B
C D
P M
E
O 1
O 2
______
m=.
三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）已知向量
2
(2sin(),2)
3
x
π
ω
=+
a，(2cos,0)
x
ω
=
b(0)
ω>，函数
()
f x=⋅a b的图象与直线23
y=-+的相邻两个交点之间的距离为π．（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()
f x在[0,2]
π上的单调递增区间．
18.（本小题满分12分）设等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2418,a a +=791S =．递增的等比数列{}n b 前n 项和为n T ，满足：12166,128,126k k k b b b b T -+===． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 对*n ∀∈N ，均有
12
112
n
n n
c c c a b b b ++++
=成立，求122013c c c +++．
19.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 为等腰直角三角形，90ABC ∠=，D 为棱1BB 上一点，且平面1DA C ⊥平面11AA C C .
(Ⅰ)求证：D 为棱1BB 的中点；（Ⅱ）AB
AA 1
为何值时，二面角1A A D C --的平面角为60.
A
B
C
A 1
B 1
C 1
D 第19题图
A1 C1
B1
A
C
B
D
y O
x Z
20.（本小题满分12分）
如图，山顶有一座石塔BC，已知石塔的高度为a.
（Ⅰ）若以,B C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角
为β，用,,
aαβ表示山的高度h；
（Ⅱ）若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的射影. 已知石塔高度20
a=,
当观测点E在AD上满足
6010
DE=时看BC的视角(即BEC
∠)最大，求山的高度h.
第20题
21.（本小题满分13分）
已知n a 是关于x 的方程1210n n n x x x x --+++
+-=(0,2)x n n >∈N 且≥的根，
证明：（Ⅰ）
1112n n a a +<<<; （Ⅱ）11
()22
n n a <+.
22.(本小题满分14分)
已知函数()e 1x f x ax =--（e 为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求函数()
f x的单调区间；
（Ⅱ）当0
a>时，若()0
f x≥对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（Ⅲ）求证：
2
2222
232323
ln1ln1ln12
(31)(31)(31)
n
n
⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
⨯⨯⨯
++++++<
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
---
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
.。