八年级初二数学下学期平行四边形单元 期末复习测试基础卷试卷

八年级初二数学下学期平行四边形单元期末复习测试基础卷试卷
一、解答题
1．正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点P是正方形ABCD对角线BD上的一个动点（点P不与点B，O，D重合），连接CP并延长，分别过点D，B向射线作垂线，垂足分别为点M，N．
（1）补全图形，并求证：DM＝CN；
（2）连接OM，ON，判断OMN的形状并证明．
2．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，AE=AD，作DF⊥AE于点F．（1）求证：AB＝AF；
（2）连BF并延长交DE于G．
①EG＝DG；
②若EG＝1，求矩形ABCD的面积．
3．如图平行四边形ABCD，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，EF与AC交于点O．（1）如图①．求证：OE＝OF；
（2）如图②，将平行四边形ABCD（纸片沿直线EF折叠，点A落在A1处，点B落在点B1处，设FB交CD于点G．A1B分别交CD，DE于点H，P．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP相等，并加以证明；
（3）如图③，若△ABO是等边三角形，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝4．则CF OF
＝
（直接填结果）．
4．共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中，AB =13，AE =52．
（1）如图1，求证：DG =BE ；
（2）如图2，连结BF ，以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF ．
①连结BH ，BG ，求BH BG
的值； ②当四边形BCHF 为菱形时，直接写出BH 的长．
5．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.
（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；
（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.
6．如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 落在AD 边上的G 处，E 、F 分别在BC 、AB 边上且F(1，4)．
(1)求G 点坐标
(2)求直线EF 解析式
(3)点N 在坐标轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由
7．如图，在矩形 ABCD 中， AB =16 ， BC =18 ，点 E 在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在点 B' 处.
(I)若 AE =0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；
(II)若 AE =3 时， 且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；
(III)若AE =8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.
8．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=30 ，CD=10，F 是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A 向 D 运动，到D 点后停止运动；Q 沿着A B C D →→→ 路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D 点后停止运动．已知动点 P ，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动． 设运动时间为 t 秒，问：
（1）经过几秒，以 A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形
（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P 为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半？
9．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．
()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；
()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；
②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．
10．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12
CBE ABF ∠=∠．
（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；
（2）如图2，当32
b a =
时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；
③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．
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一、解答题
1．（1）见解析；（2）MON 为等腰直角三角形，见解析
【分析】
（1）如图1，由正方形的性质得CB ＝CD ，∠BCD ＝90°，再证明∠BCN ＝∠CDM ，然后根据“AAS”证明△CDM ≌△CBN ，从而得到DM ＝CN ；
（2）如图2，利用正方形的性质得OD ＝OC ，∠ODC ＝∠OCB ＝45°，∠DOC ＝90°，再利用∠BCN ＝∠CDM 得到∠OCN ＝∠ODM ，则根据“SAS”可判断△OCN ≌△ODM ，从而得到ON ＝OM ，∠CON ＝∠DOM ，所以∠MON ＝∠DOC ＝90°，于是可判断△MON 为等腰直角三角形．
【详解】
（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴CB ＝CD ，∠BCD ＝90°，
∵DM ⊥CP ，BN ⊥CP ，
∴∠DMC ＝90°，∠BNC ＝90°，
∵∠CDM+∠DCM ＝90°，∠BCN+∠DCM ＝90°，
∴∠BCN ＝∠CDM ，
在△CDM 和△CBN 中
DMC CNB CD CB
CDM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△CDM ≌△CBN ，
∴DM ＝CN ；
（2）解：△OMN 为等腰直角三角形．
理由如下：
如图2，∵四边形ABCD 为正方形，
∴OD ＝OC ，∠ODC ＝∠OCB ＝45°，∠DOC ＝90°，
∵∠BCN ＝∠CDM ，
∴∠BCN ﹣45°＝∠CDM ﹣45°，即∠OCN ＝∠ODM ，
在△OCN 和△ODM 中
CN DM OCN ODM OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△OCN ≌△ODM ，
∴ON ＝OM ，∠CON ＝∠DOM ，
∴∠MON ＝∠DOC ＝90°， ∴MON 为等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．也考查全等三角形的判定与性质．
2．（1）见解析；（2）①见解析；②2+2
【分析】
（1）根据矩形的性质，结合角平分线的定义可证明△ABE≌△AFD（AAS），进而证得结论；
（2）①通过求解∴∠EFG=∠AED=67.5°，∠DFG=∠FDG=22.5°，进而可得EG=FG=DG；
②AB=x，则2x，DF=AF=x，2x-x，利用勾股定理可求解x值，再根据矩形ABCD 的面积=△AED面积的2倍可求解．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠DAB=∠ABE=90°，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=EB，
∵DF⊥AC
∴∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠AFD=90°，
∵AE=AD，
∴△ABE≌△AFD（AAS），
∴AB=AF；
（2）①证明：∵AE=AD，∠EAD=45°，
∴∠AED=∠ADE=67.5°，
∴∠FDG=22.5°，
∵AB=AF ，∠BAF=45°，
∴∠AFB=67.5°，
∴∠EFG=67.5°，
∴∠EFG=∠AED ，
∴FG=EG ，∠DFG=22.5°，
∴∠DFG=∠FDG ，
∴FG=DG ，
∴EG=DG ；
②∵EG=1，
∴DG=2，
设AB=x ，则x ，DF=AF=x ，
∴x-x ，
x-x ）2+x 2=22，
解得x 2，
∴矩形ABCD 的面积=2×
12×AE×DF x 2． 【点睛】
本题主要考查勾股定理，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，灵活运用定理是解题的关键．
3．（1）见解析；（2）FG=EP ，理由见解析；（3
【分析】
（1）证△ODE ≌△OFB （ASA ），即可得出OE=OF ；
（2）连AC ，由（1）可知OE=OF ，OB=OD ，证△AOE ≌△COF （SAS ），得AE=CF ，由折叠性质得AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，则∠D=∠B 1，证△A 1PE ≌△CGF （AAS ），即可得出FG=EP ；
（3）作OH ⊥BC 于H ，证四边形ABCD 是矩形，则∠ABC=90°，得∠OBC=30°，求出AC=8，
由勾股定理得BC=CF=，由等腰三角形的性质得BH=CH=
12BC=
HF=4-，OH=
12
OB=2，由勾股定理得OF=，进而得出答案． 【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD=BC ，
∴∠ODE=∠OBF ，∠OED=∠OFB ，
∵AE=CF ，
∴AD-AE=BC-CF ，即DE=BF ，
在△ODE 和△OFB 中，
ODE OBF DE BF
OED OFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ODE ≌△OFB （ASA ），
∴OE=OF ；
（2）FG=EP ，理由如下：
连AC ，如图②所示：
由（1）可知：OE=OF ，OB=OD ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AC 过点O ，OA=OC ，∠BAD=∠BCD ，∠D=∠B ，
在△AOE 和△COF 中，
OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AOE ≌△COF （SAS ），
∴AE=CF ，
由折叠性质得：AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，
∴∠D=∠B 1，
∵∠A 1PE=∠DPH ，∠PHD=∠B 1HG ，
∴∠DPH=∠B 1GH ，
∵∠B 1GH=∠CGF ，
∴∠A 1PE=∠CGF ，
在△A 1PE 和△CGF 中，
111
A PE CGF A FCG A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴△A 1PE ≌△CGF （AAS ），
∴FG=EP ；
（3）作OH ⊥BC 于H ，如图③所示：
∵△AOB 是等边三角形，
∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，OA=OB=AB=4，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC ，OB=OD ，
∴AC=BD ，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵AB=OB=BF=4，
∴AC=BD=2OB=8，
由勾股定理得：BC=2222=84AC AB --=43， ∴CF=43-4，
∵OB=OC ，OH ⊥BC ，
∴BH=CH=12
BC=23， ∴HF=4-23，OH=
12OB=2， 在Rt △OHF 中，由勾股定理得：
OF=22OH HF +=()222423
+-=2622-， ∴434226222
CF OF -===-， 故答案为：2．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
4．（1）证明见解析；（2）①
2BH BG =②BH 的长为2或2． 【分析】
（1）证()DAG BAE SAS △≌△，即可得出结论；
（2）①连接GH ，延长HF 交AB 于N ，设AB 与EF 的交点为M ，证
()GAB GFH SAS △≌△，得GH GB =，GHF GBA ∠=∠，证GHB ∆为等腰直角三角形，即得结论；
②分两种情况，证出点B 、E 、G 在一条直线上，求出210AF EG AE ===，则
5OA OG OE ===，由勾股定理求出12OB =，求出BG ，即可得出答案．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，
∴AD =AB =CB ，AG =AE ，∠DAB =∠GCE =90°，
∴∠DAB ﹣∠GAF =∠GCE ﹣∠GAF ，
即∠DAG =∠BAE ，
在△DAG 和△BAE 中，
AD AE DAG BAE AG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DAG ≌△BAE (SAS)，
∴DG =BE ；
（2）①连接GH ，延长HF 交AB 于N ，设AB 与EF 的交点为M ，如图2所示：
∵四边形BCHF 是平行四边形，
∴HF //BC ，HF =BC =AB ．
∵BC ⊥AB ，
∴HF ⊥AB ，
∴∠HFG =∠FMB ，
又AG //EF ，
∴∠GAB =∠FMB ，
∴∠HFG =∠GAB ，
在△GAB 和△GFH 中，
AG FG GAB HFG AB FH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△GAB ≌△GFH (SAS)，
∴GH =GB ，∠GHF =∠GBA ，
∴∠HGB =∠HNB =90°，
∴△GHB 为等腰直角三角形，
∴BH 2=，
∴2BH BG
=； ②分两种情况：
a 、如图3所示：
连接AF 、EG 交于点O ，连接BE ．
∵四边形BCHF 为菱形，
∴CB =FB ．
∵AB =CB ，
∴AB =FB =13，
∴点B 在AF 的垂直平分线上．
∵四边形AEFG 是正方形，
∴AF =EG ，OA =OF =OG =OE ，AF ⊥EG ，AE =FE =AG =FG ，
∴点G 、点E 都在AF 的垂直平分线上，
∴点B 、E 、G 在一条直线上，
∴BG ⊥AF ．
∵AE 2，
∴AF =EG 2==10， ∴OA =OG =OE =5，
∴OB 2222135AB OA -=-=12，
∴BG =OB +OG =12+5=17， 由①得：BH 2=
2； b 、如图4所示：
连接AF 、EG 交于点O ，连接BE ，
同上得：点B 、E 、G 在一条直线上，OB =12，BG =OG +OB ﹣OG =12﹣5=7，
由①得：BH 2=
2； 综上所述：BH 的长为2或2． 【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
5．（1）12；（2）2S 1=36 +S 2.
【分析】
(1)根据已知条件证得四边形ABOC 是正方形，在点B 左侧取点G ，连接AG ，使AG=AE ，利用HL 证得Rt △ABG ≌Rt △ACE ，得到∠GAB=∠EAC,GB=CE ，再利用45DAE ︒∠=证得△GAD ≌△EAD ，得到DE=GB+BD ，由此求得DOE ∆的周长；
(2) 在OB 上取点F ，使AF=AE ，根据HL 证明Rt △ABF ≌Rt △ACE ，得到
∠FAE=∠ABC=90︒，再证明△ADE ≌△ADF ，利用面积相加关系得到四边形AEDF 的面积=S △ACE +S 四边形ACOF +S △ODE ，根据三角形全等的性质得到2S △ADE =S 正方形ABOC +S △OD E ，即可得到2S △ADE =36 +S △ODE .
【详解】
(1)∵点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，AC y ⊥轴，
∴AB=BO=AC=OC=6,
∴四边形ABOC 是菱形，
∵∠BOC=90︒，
∴四边形ABOC 是正方形，
在点B 左侧取点G ，连接AG ，使AG=AE ，
∵四边形ABOC 是正方形，
∴AB=AC ，∠ABG=∠ACE=90︒，
∴Rt △ABG ≌Rt △ACE ，
∴∠GAB=∠EAC,GB=CE ，
∵∠BAE+∠EAC=90︒，
∴∠GAB+∠BAE=90︒，
即∠GAE=90︒，
∵45DAE ︒∠=
∴∠GAD=45DAE ︒∠=,
又∵AD=AD,AG=AE ，
∴△GAD ≌△EAD ，
∴DE=GD=GB+BD,
∴DOE ∆的周长=DE+OD+OE=GB+BD+OD+OE=OB+OC=6+6=12
(2) 2S 1=36 +S 2，理由如下：
在OB 上取点F ，使AF=AE ，
∵AB=AC ，∠ABF=∠ACE=90︒，
∴Rt △ABF ≌Rt △ACE ，
∴∠BAF=∠CAE,
∴∠FAE=∠ABC=90︒，
∵∠DAE=45︒，
∴∠DAF=∠DAE=45︒，
∵AD=AD ，
∴△ADE ≌△ADF ，
∵四边形AEDF 的面积=S △ACE +S 四边形ACOF +S △ODE ，
∴2S △ADE =S 正方形ABOC +S △OD E ，
∴2S △ADE =36 +S △ODE
.即：2S 1=36 +S 2
【点睛】
此题考查三角形全等的判定及性质，根据题中的已知条件证得三角形全等，即可利用性质得到边长相等，面积相等的关系，（2）中需根据面积的加减关系进行推导，这是此题的难点.
6．（1）G （0，2）4y =++3）
234,,(1,4M M M -+⎝⎝⎝. 【解析】
【分析】
1（1）由F （1，4），B （3，4），得出AF=1，BF=2，根据折叠的性质得到GF=BF=2，
在Rt △AGF 中，利用勾股定理求出AG =，那么OG=OA-AG=4-
，于是G （0，）；
（2）先在Rt △AGF 中，由tan 1
AG AFG AF ∠===，得出∠AFG=60°，再由折叠
的性质得出∠GFE=∠BFE=60°，解Rt △BFE ，求出BE=BF tan60°，那么CE=4-
2E （3，.设直线EF 的表达式为y=kx+b ，将E （3，F （1，4）代入，利用待定系数法即可求出直线EF 的解析.（3）因为M 、N 均为动点，只有F 、G 已经确定，所以可从此入手，结合图形，按照FG 为一边，N 点在x 轴上；FG 为一边，N 点在y 轴上；FG 为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状.确定平行四边形的位置与形状之后，利用平行四边形及平移的性质求得M 点的坐标.
【详解】
解：（1）∵F （1，4），B （3，4），
∴AF=1，BF=2，
由折叠的性质得：GF=BF=2，
在Rt △AGF 中，由勾股定理得，
AG ==∵B （3，4），
∴OA=4，
∴
∴G （0，
（2）在Rt △AGF 中，
∵tan 1
AG AFG AF ∠===， ∴∠AFG=60°，由折叠的性质得知：∠GFE=∠BFE=60°，
在Rt △BFE 中，
∵BE=BF tan60°
，
.E （3，
4-23）. 设直线EF 的表达式为y=kx+b ， ∵E （3，4-2
3），F （1，4），
∴34234k b k b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得343
k b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ ∴343y x =-++ ；
（3）若以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，则分如下四种情况： ①FG 为平行四边形的一边，N 点在x 轴上，GFMN 为平行四边形，如图1所示. 过点G 作EF 的平行线，交x 轴于点N 1，再过点N ：作GF 的平行线，交EF 于点M ，得平行四边形GFM 1N 1.
∵GN 1∥EF ，直线EF 的解析式为343,(0,43)y x G =-++-
∴直线GN 1的解析式为34-3y x =-+，
当y=0时，1433433,,033x N ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭
. ∵GFM 1N 1是平行四边形，且G （0，4-3），F （1，4），N 1（
4333- ，0）， ∴M ，（433
，3）；
②FG 为平行四边形的一边，N 点在x 轴上，GFNM 为平行四边形，如图2所示.
∵GFN2M2为平行四边形，
∴GN₂与FM2互相平分.
∴G（0，4-3），N2点纵坐标为0
∴GN：中点的纵坐标为
3
2
2 -，
设GN₂中点的坐标为（x，
3
2
2 -）.
∵GN2中点与FM2中点重合，
∴
3 3432
2 x
-++=-
∴x=439
6
+
∵.GN2的中点的坐标为（4393
,2
+
-），
.∴N2点的坐标为（439
+
，0）.
∵GFN2M2为平行四边形，且G（0，4-3），F（1，4），N2（439
3
+
，0），
∴M2（436
,3
3
+
-）；
③FG为平行四边形的一边，N点在y轴上，GFNM为平行四边形，如图3所示.∵GFN3M3为平行四边形，.
∴GN3与FM3互相平分.
∵G （0，4-3），N2点横坐标为0，
.∴GN3中点的横坐标为0，
∴F 与M 3的横坐标互为相反数，
∴M 3的横坐标为-1，
当x=-1时，y=3(1)43423-⨯-++=+，
∴M 3（-1，4+23）；
④FG 为平行四边形的对角线，GMFN 为平行四边形，如图4所示.
过点G 作EF 的平行线，交x 轴于点N 4，连结N 4与GF 的中点并延长，交EF 于点M 。

，得平行四边形GM 4FN 4
∵G （0，3F （1，4），
∴FG 中点坐标为（13,422
-）， ∵M 4N 4的中点与FG 的中点重合，且N 4的纵坐标为0，
.∴M 4的纵坐标为3
5-45解方程34383x -+=，得643x -= ∴M 4（63,833
-. 综上所述，直线EF 上存在点M ，使以M ，N ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，此时M 点坐标为：
234434366433,3,(1,423),3M M M +---+-⎝⎝⎝ 。

【点睛】
本题是一次函数的综合题，涉及到的考点包括待定系数法求一次函数的解析式，矩形、平
行四边形的性质，轴对称、平移的性质，勾股定理等，对解题能力要求较高.难点在于第（3）问，这是一个存在性问题，注意平行四边形有四种可能的情形，需要一一分析并求解，避免遗漏.
7．(I) ；(II) 16或10；(III) .
【解析】
【分析】
(I)根据已知条件直接写出答案即可.
(II)分两种情况：或讨论即可.
(III)根据已知条件直接写出答案即可.
【详解】
(I) ；
(II)∵四边形是矩形，∴，.
分两种情况讨论：
（i）如图1，
当时，即是以为腰的等腰三角形.
（ii）如图2，当时，过点作∥，分别交与于点、.
∵四边形是矩形,
∴∥,.
又∥，
∴四边形是平行四边形，又，
'⊥，
∴□是矩形，∴，，即B H CD
又，
∴，，
∵，∴，
∴，
在RtΔEGB'中，由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
综上，的长为16或10.
(III) . （或）.【点睛】
本题主要考查了四边形的动点问题.
8．（1）25
4
秒或
25
2
秒；（2）15秒
【分析】
(1)Q点必须在BC上时，A，Q ，F ，P 为顶点的四边形才能是平行四边形，分Q点在BF和Q点在CF上时分类讨论，利用平行四边形对边相等的性质即可求解；
(2)分Q点在AB、BC、CD之间时逐个讨论即可求解．
【详解】
解：(1)∵以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形，且AP在AD上，
∴Q点必须在BC上才能满足以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=30，AB=CD=10，
∵点F是BC的中点，∴BF=CF=1
2
BC=15，AB+BF=25，
情况一：当Q点在BF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=35-3t，
故t=25-3t，解得
25
4
t ；
情况二：当Q点在CF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=3t-35，
故t=3t-25，解得t=25 2
；
故经过25
4
或
25
2
秒，以A、Q、B、P为顶点的四边形是平行四边形；
(2)情况一：当Q点在AB上时，0<t<10
3
，此时P点还未运动到AD的中点位置，
故四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，
情况二：当Q点在BC上且位于BF之间时，1025 33
t，
此时AP+FQ=t+35-3t=35-2t，
∵1025
33
t，∴35-2t ＜30，
四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，
情况三：当Q点在BC上且位于FC之间时，2540 33
t
此时AP+FQ=t+3t-35=4t-35
∵2540
33
t，∴4t-35＜30，
四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，
情况四：当Q点在CD上时，4050 33
t<<
当AP=BF=15时，t=15，
11
22 APF ABFP PFQ DCFP S S S S
且
∴
1
+
2
APF PFQ AFPQ ABCD
S S S S，
∴当t=15秒时，以A、Q、F、P为顶点的四边形面积是平行四边形ABCD面积的一半，
故答案为：15秒．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，根据动点的位置不同需要分多种情况分类讨论，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．
9．（1）证明见解析；（2）①AF2AE
=②42或22.
【分析】
()1如图①中，结论：AF2AE
=，只要证明AEF是等腰直角三角形即可；
()2①如图②中，结论：AF2AE
=，连接EF，DF交BC于K，先证明
EKF≌EDA再证明AEF是等腰直角三角形即可；
②分两种情形a、如图③中，当AD AC
=时，四边形ABFD是菱形.b、如图④中当AD AC
=时，四边形ABFD是菱形.分别求解即可.
【详解】
()1如图①中，结论：AF2AE
=．
理由：四边形ABFD是平行四边形，
AB DF
∴=，
AB AC
=，
AC DF
∴=，
DE EC
=，
AE EF
∴=，
DEC AEF 90∠∠==，
AEF ∴是等腰直角三角形，
AF 2AE ∴=
．
故答案为AF 2AE =．
()2①如图②中，结论：AF 2AE =
．
理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．
四边形ABFD 是平行四边形，
AB//DF ∴，
DKE ABC 45∠∠∴==，
EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =，
ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=，
EKF ADE ∠∠∴=， DKC C ∠∠=，
DK DC ∴=，
DF AB AC ==，
KF AD ∴=，
在EKF 和EDA 中，
EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， EKF ∴≌EDA ，
EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，
FEA BED 90∠∠∴==，
AEF ∴是等腰直角三角形，
AF 2AE ∴=．
②如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，设AE 交CD 于H ，易知EH DH CH 2===22AH (25)(2)32=-=，AE AH EH 42=+=，
如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，易知
AE AH EH 32222=-=-=，
综上所述，满足条件的AE 的长为4222
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．
10．（1）见解析；（2）①2ABE BFC ∠=∠；②见解析；③
732
【分析】
（1）证明()BAE BCF ASA ∆≅∆可得结论．
（2）①结论：2ABE BFC ∠=∠．如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，利用三角形内角和定理结合已知条件即可解决问题．
②将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，利用全等三角形的性质解决问题即可． ③求出CF ，利用三角形的面积公式，矩形的面积公式即可解决问题．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，
四边形ABCD 是矩形，
90ABC BCD BCF ∴∠=∠=∠=︒，
60EBC =︒∠，12
CBE ABF ∠=∠， 120ABF ∴∠=︒，
906030ABE ︒∴-︒∠==︒，1209030CBF ∠=︒-︒=︒，
ABE CBF ∴∠=∠，
AB BC =，
()BAE BCF ASA ∴∆≅∆，
BE BF ∴=．
（2）①结论：290EBC BFC ∠+∠=︒．
理由：如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，
90BCF ∠=︒，
90FBC y ∴∠=︒-，
=2ABE FBC ABF EBC x x x ∠+∠=∠-∠-=，
(90)ABE x y ∴∠=-︒-，
90ABE EBC ∠+∠=︒，
(90)90x y x ∴-︒-+=︒，
2180x y ∴+=︒，
2180EBC BFC ∴∠+∠=︒，
()290180ABE BFC ∴︒-∠+∠=︒，
2ABE BFC ∴∠=∠．
②证明：将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，
ABE EBH ∠=∠，12
EBC ABF ∠=∠， FBC CBT ∴∠=∠，
90FBC F CBT BTC ∠+∠=∠+∠=︒，
F BTC ∴∠=∠，
BF BT ∴=，CT CF =，
DE AE EH ==，ET ET =，90D EHT ∠=∠=︒，
Rt ETD Rt ETH(HL)∴∆≅∆，
DT TH ∴=，
在Rt BCT ∆中，则有222(2)(3)(2)k x k k x +=+-， 解得9
8
x k =， 2BF CF BT CT BH TH CT BH TD TC BH CD AB ∴+=+=++=++=+=．
③由②可知，3BC k =，97288
CF CR k k k ==-=， ∴2173728632
BCF
ABCD k k S S k ∆⋅⋅==矩形． 【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。