(2016-2018)三年高考数学(文)真题分类解析：专题15-线性规划与基本不等式

考纲解读明方向
分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.
分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.
分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分.
分析解读不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.
2018年高考全景展示
1.【2018年天津卷文】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为
A. 6
B. 19
C. 21
D. 45
【答案】C
【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.
点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
2．【2018年文北京卷】设集合则
A. 对任意实数a，
B. 对任意实数a，（2,1）
C. 当且仅当a<0时,（2,1）
D. 当且仅当时,（2,1）
【答案】D
【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.
点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设
，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.
3．【2018年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】 -2 8
【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.
详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.
4．【2018年天津卷文】已知，且，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．5．【2018年文北京卷】若,y满足，则2y−U最小值是_________.
【答案】3
【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可
知当时取得最小值.
详解：不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图
令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，
的最小值为.
点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在
轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.
6．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
7．【2018年全国卷Ⅲ文】若变量满足约束条件则的最大值是
________．
【答案】3
【解析】分析：作出可行域，平移直线可得
详解：作出可行域
由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3，故答案为3.
点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。

8．【2018年全国卷II文】若满足约束条件则的最大值为__________．【答案】9
【解析】分析：作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.
点睛：线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.
2017年高考全景展示
1.【2017课标1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
则z =x +y 的最大值为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】
试题分析：如图，目标函数z x y =+经过(3,0)A 时最大，故max 303z =+=，故选D ．
【考点】简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0≥++C By Ax 转化为b kx y +≤（或b kx y +≥），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．
2.【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件2+330
233030x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
,则2z x y =+的最小值是
A.15-
B.9-
C.1 D 9 【答案】A
绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B -- 处取得最小值
12315z =--=- .故选A.
【考点】线性规划
【名师点睛】点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
3.【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件
3260
x y
x
y
+-≤
⎧
⎪
≥
⎨
⎪≥
⎩
，则z x y
=-的取值范围是（）
A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]
【答案】
B
【考点】线性规划
【名师点睛】点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行
比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
4.【2017北京，文4】若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
则2x y +的最大值为
（A ）1 （B ）3 （C ）5
（D ）9
【答案】D 【解析】
试题分析：如图，画出可行域，
2z x y =+表示斜率为1
2
-
的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.
【考点】线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的
最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+，通过求直线的截距z
b
的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22
z x a y b =-+- ；（3）斜率型：形如y b z x a
-=-，而本题属
于截距形式.
5.【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
,则z =x +2y 的最大值是
A.-3
B.-1
C.1
D.3 【答案】D 【解析】
当其经过直线250x y -+=与2y =的交点(1,2)-时,2z x y =+最大为1223z =-+⨯=,故选D. 【考点】线性规划
【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.
(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．
6.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件0
3020x x y x y ≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则y x z 2+=的取值范围是
A ．[0，6]
B ．[0，4]
C ．[6，)∞+
D ．[4，
)∞+
【解析】
【考点】 简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0≥++C By Ax 转化为b kx y +≤（或b kx y +≥），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．
7.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总
存储费
用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ . 【答案】30 【解析】
总费用600900464()4240x x x x +
⨯=+≥⨯，
当且仅当900
x x
=，即30x =时等号成立. 【考点】基本不等式求最值
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
8.【2017天津，文13】若a ，b ∈R ，0ab >，则4441
a b ab
++的最小值为 .
y
【解析】
【考点】基本不等式求最值
【名师点睛】本题使用了两次基本不等式，要注意两次使用的条件是不是能同时成立，基本不等式
的常用形式包含()2
2
2,a b ab a b R +≥∈，)
,a b a b R
+
+≥∈，2
2a b ab +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，
2
22
22a b a b
++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
等，基本不等式可以证明不等式，也可以求最值，再求最值时，注意“一正，二定，三相等”的条件，是不是能取得，否则就不能用其求最值，若是使用2次，更要注意两次使用的条件是不是能同时成立. 9.【2017山东，文】若直线1(00)x y
a b a b
+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 【答案】8 【解析】
【考点】基本不等式
10.【2017天津，文16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
（I ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
【答案】 (Ⅰ)见解析（Ⅱ）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）设根据甲乙连续剧总的播放时间不多于600分钟，得到7060600x y +≤ ，根据广告时间不少于30分钟，得到5530x y +≥ ，和2x y ≤ ，同时注意次数，需满足0,0x y ≥≥的条件，建立不等式组，画区域；（Ⅱ）求6025z x y =+的最值，同时注意是整数解.
试题解析：（Ⅰ）解：由已知，,x y 满足的数学关系式为7060600,5530,2,0,0,x y x y x y x y +≤
⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩即7660,
6,20,0,0,
x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪
-≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 【考点】1.不等式组表示的平面区域；2.线性规划的实际问题.
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的
最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+，通过求直线的截距z
b
的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22
z x a y b =-+- ；（3）斜率型：形如y b z x a
-=-，而本题属
于截距形式，但要注意实际问题中的最优解是整数.
2016年高考全景展示
1. 【2016高考山东文数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
则x 2+y 2
的最大值是（ ）
（A ）4（B ）9（C ）10（D ）12
【答案】C 【解析】
考点：简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.
2. 【2016高考浙江文数】若平面区域
30,
230,
230
x y
x y
x y
+-≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪-+≥
⎩
夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条
平行直线间的距离的最小值是（）
【答案】B
【解析】
试题分析：画出不等式组的平面区域如题所示，由
230
30
-+=
⎧
⎨
+-=
⎩
x y
x y
得(1,2)
A，由
230
30
--=
⎧
⎨
+-=
⎩
x y
x y
得(2,1)
B，由题意可知,当斜率为1的两条直线分别过点A和点B
时，两直线的距离最小，即==
AB．故选B．
考点：线性规划.
【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．
3. 【2016高考新课标2文数】若x，y满足约束条件
10
30
30
x y
x y
x
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-≤
⎩
，则2
z x y
=-的最小值为
__________
【答案】5
-
【解析】
考点：简单的线性规划.
【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
4. [2016高考新课标Ⅲ文数]若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
则235z x y =+-的最大值为
_____________. 【答案】10- 【解析】
考点：简单的线性规划问题．
【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果． 5.【2016高考上海文科】设则不等式31x -<的解集为_______. 【答案】(2,4) 【解析】
试题分析：由题意得：131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4) 考点：绝对值不等式的基本解法.
【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法
.本题较为容易.
6.【2016高考上海文科】若,x y满足
0,
0,
1,
x
y
y x
≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪≥+
⎩
则2
x y
-的最
大值为_______.
【答案】2
-
考点：简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.
7. 【2016高考新课标1文数】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.
【答案】216000
【解析】
试题分析：设生产产品A、产品B分别为x、y件,利润之和为z元,那么
1.50.5150,0.390,53600,
0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪
+⎨⎪⎪
⎪⎩……………
① 目标函数2100900z x y =+. 二元一次不等式组①等价于
3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪
+⎨⎪⎪
⎪⎩?…………
② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域
.
考点：线性规划的应用
【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类
问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误. 8.【2016高考天津文数】(本小题满分13分)
某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(Ⅰ)用x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为
112万元
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据生产原料不能超过A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（Ⅱ）目标函数为利润y x z 32+=，根据直线平移及截距变化规律确定最大利润。

(1)
(2)
考点：线性规划
【名师点睛】解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束
条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．而求线性规划最值问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合
图形确定目标函数最值取法.
考纲解读明方向
分析解读 三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.
2018年高考全景展示
1．【2018年新课标I 卷文】已知函数，则
A. 的最小正周期为π，最大值为3
B. 的最小正周期为π，最大值为4
C.
的最小正周期为
，最大值为3 D.
的最小正周期为
，最大值为4
【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
2．【2018年天津卷文】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上单调递减
【答案】A
【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.
点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是
【答案】
【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.
详解：由题意可得，所以，因为，所以
点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；
(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由
求增区间; 由求减区间.
2017年高考全景展示
1.【2017课标II，文13】函数的最大值为. 【答案】
【考点】三角函数有界性
【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值.
2.【2017课标II，文3】函数的最小正周期为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，故选C.
【考点】正弦函数周期
【名师点睛】函数的性质
(1).
(2)周期
(3)由求对称轴
(4)由求增区间; 由求减区间;
3.【2017天津，文7】设函数，其中.若
且的最小正周期大于，则
（A）（B）（C）（D）
【答案】
【解析】
试题分析：因为条件给出周期大于，，，
再根据，因为，所以当时，成立，故选A.
【考点】三角函数的性质
【名师点睛】本题考查了的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙述方式新
颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选项：当时，
，满足题意，
，不合题意，B 选项错误；，
不合题意，C 选项错误；
，满足题意；当
时，，满足题意；，
不合题意，D 选项错误.本题选择A 选项. 4.【2017山东，文7】函数
最小正周期为
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】
【考点】三角变换及三角函数的性质
【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝
A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为|ω|2π,y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为|ω|π
.③对于形如
的函数,一般先把其化为
的形式再求周期.
5.【2017浙江，18】（本题满分14分）已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –
sin x cos x （x R ）．
（Ⅰ）求的值．
（Ⅱ）求
的最小正周期及单调递增区间．
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由函数概念，分别计算可得；
（Ⅱ）化简函数关系式得，结合可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．
【考点】三角函数求值、三角函数的性质
【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即
，然后利用三角函数的性质求解．
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标2文数】函数的部分图像如图所示，则（）
（A）（B）
（C）（D）
【答案】A
【解析】
试题分析：由图知，，周期，所以，所以，
因为图象过点，所以，所以，所以
，
令得，，所以，故选A.
考点：三角函数图像的性质
【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．
2.【2016高考天津文数】已知函数，.若在区间
内没有零点，则的取值范围是（）
（A ） （B ） （C ） （D ）
【答案】D 【解析】
考点：解简单三角方程
【名师点睛】对于三角函数来说，常常是先化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式． 3.【2016高考新课标1文数】若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移41
个周期后,所得图像对应的函数为（ ）
（A ）y =2sin(2x +4π) （B ）y =2sin(2x +3π) （C ）y =2sin(2x –4π) （D ）y =2sin(2x –3π
) 【答案】D 【解析】
试题分析：函数的周期为,将函数的图像向右平移个周期即
个单位,所得函数为,故选D.
考点：三角函数图像的平移
【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对x 而言的,不用忘记乘以系数. 4.[2016高考新课标Ⅲ文数]函数
的图像可由函数的图像至少向右平
移_____________个单位长度得到．
【答案】
【解析】
考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角差的正弦函数．
【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．
5.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）
设.
（I）求得单调递增区间；
（II）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.
【答案】（）的单调递增区间是（或
）
（）
【解析】
试题分析：（）化简得。