福建省厦门一中高三数学上学期期中试题 文【会员独享】

福建省厦门第一中学2011—2012学年度第一学期期中考试高三年文科
数学试卷
一、选择题：（共12题，每题5分，共60分）
1、已知集合2{|0}S x x x =-≤，集合{}
2,0x T y y x ==≤，则S T ⋂= （ ）
A ．(0,1]
B ．{1}
C ．{0}
D ．[]0,1
2、在同一坐标系内，函数y x a =+与log a y x =的图象可能是 （ ）
3、已知点()1,1A -、()1,2B ，O 为原点，且//AC OB ，BC AB ⊥，则点C 的坐标为 （ ） .A 17,42⎛⎫- ⎪⎝⎭ .B 17,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C 17,42⎛⎫- ⎪⎝⎭ .D 17,42⎛⎫-- ⎪
⎝⎭
4、已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为 （ ）
A ．21-
B ．23-
C ．21
D ．2
3
5、在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，则“a b =”是“sin sin A B =”的 （ ）
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6、圆2
2
2210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是 （ ）
A ．2
B. 1+ C ．22
+
1+7、设函数()sin(2)3f x x π
=+，则下列结论正确的是 （ ）
A ． ()f x 的图象关于直线3x π
=对称 B ．()f x 的图象关于点(,0)4π
对称 C ．把()f x 的图象向左平移
12
π
个单位，得到一个偶函数的图象
D ．()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π
上为增函数
8、在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，,33
A a b c π
==+=，则ABC ∆
的面积S = （ ）
A ．1
B C
D ．2
9、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点与抛物线2
2(0)y px p =>的焦点的距离为4,
且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为 （ ）
A.4
B.
10、已知O 是坐标原点，点A （-1,1），若点M （x,y ）为平面区域2
1y 2x y x +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
上的一个动点，则OA OM
的取值范围是 （ ）
A.[-1.0]
B.[0.1]
C.[0.2]
D.[-1.2]
11、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213213(...)n n S a a a -=+++，1238a a a =，则10a 等于 A ．-512 B ．1024 C ．-1024 D ．512 （ ）
12、定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)(2),f x f x f x f x -=--=+且(1,0)x ∈-时，
1
()2,5x f x =+
则2(log 20)f = （ ）
A.1
B.45
C.1-
D.4
5
-
二、填空题：（共4题，每题4分，共16分） 13、若复数1a i
z i
+=-（,a R ∈i 是虚数单位）是纯虚数，则a i += 。

14、在△ABC 中，AB=AC=2，
BC= D 在BC 边上，∠ADC=60°，则AD DC =______.
15、若一个几何体的三视图如右图所示，
则这个几何体的体积为 .
16、已知α、β是三次函数32
11()2(,)32
f x x ax bx a b R =
++∈的两个极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，则
2
1
b a --的取值范围是 。

三、解答题：（共6题，除22题14分外，其它题各12分，共74分） 17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足21423,b S b a a ==+，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

18．(本小题满分共12分)
已知向量)sin 3cos ,1(x x ωω+-=，)cos ),((x x f ω=，其中0>ω，且⊥，又函数)(x f 的图象与直线3
2
y =
相切，相邻切点之间的距离为3π. (Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)设α是第一象限角,且26
23)223(=+παf ,求)24cos()
4sin(αππ
α++
的
值.
19、（本小题满分12分）
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单
位：元/千克）满足关系式210(6)3
a
y x x =
+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

（I ）求a 的值；
（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获
得的利润最大。

20．（本小题满分12分）
已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，090BAC ∠=，12,1,,AB AA AC M N ===分别是11,A B BC 的中点。

（Ⅰ）证明：//MN 平面11ACC A ； （Ⅱ）若点P 在线段BN 上，且三棱锥P －AMN 的体积521P AMN V -=，求NP PB
的值。

21、（本小题满分12分）
设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =.
（1）求椭圆的离心率e ;
(2)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF
与圆22(1)(16x y ++=相交于M,N
两点,且|MN|=5
8
|AB|,求椭圆的方程.
22、（本小题满分14分）
已知函数32,1,
()ln , 1.
x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩
（1）若曲线()y f x =在2x =处的切线与直线20x y ++=互相垂直，求a 的值； （2）若1a ≥，求()f x 在[0,]e （e 为自然对数的底数）上的最大值；
（3）对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角
顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？
福建省厦门第一中学2011—2012学年度
第一学期期中考试
高三年文科数学试卷答题卷
命题教师：廖献武 审核教师：肖文辉 20111108
、填空题:
13. ; 14. ;
15. ; 16. .
三、解答题：
17（本题满分12分）
19（本题满分12分）20（本题满分12分）
21（本题满分12分）22(本题满分14分)
福建省厦门第一中学2011—2012学年度
第一学期期中考试高三年文科数学答案
一、选择题：每小题5分共60分，每小题仅有一个正确选项.
1—5：A C B A A 6—10：B C B D C 11—12：D C
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分共16分）
13
； 14．
43； 15
． 16．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 三、解答题：(共74分)
17．（本小题满分12分） 解：（I ）113a S == ………2分
当2212,2[(1)2(1)]n n n n a S S n n n n -≥=-=+--+-时21n =+ ………………4分
符合*121,()n n n n N ==+∈情况,所以a ………………6分 （II ）设等比数列{}n b 的公比为q ，
则12431
3
3,571212b q b b b q =⎧==+=⎨=⎩所以 ………………8分
解得11332222
b b q q ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩或 ……………………10分
所以33(12)[1(2)]
22121(2)n n n n T T ----==---或
即31(21)[(2)1]22
n n
n n T T =-=--或 ………………12分
18．(本小题满分共12分)
解: (Ⅰ)由题意得0=⋅,所以，
2
2sin 322cos 1)sin 3(cos cos )(x
x x x x x f ωωωωω+
+=+⋅= 2
1
)62sin(+
+
=π
ωx ………………………4分
根据题意知,函数)(x f 的最小正周期为π3,
又0>ω,所以3
1
=ω ………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知2
1
)632sin()(++=πx x f
所以2623
21cos 21)2sin()223(=+=++=+απαπαf
解得13
5
cos =α………………………8分
因为α是第一象限角,故13
12
sin =α………………………9分
所以,
214
13
)sin (cos 222cos )
4sin()
24cos()4sin(-=-=
+
=
++
ααα
π
ααππ
α………12分
19、解：（I ）因为x=5时，y=11，所以 ………………4分
（II ）由（I ）可知，该商品每日的销售量
所以商场每日销售该商品所获得的利润
222
()(3)[
10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-………………8分
从而，
2
'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=--
'(),()f x f x 由上表可得，x=4是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点； 所以，当x=4时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42。

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。

………12分 20．（本小题满分12分） 解：（I ）证明：设AC 的中点为D ，连结DN ，A 1D 。

∵D ，N 分别是AC ，BC 的中点，
∴1
//
2
DN AB ………………2分 11111111
,//,
2
//,
A M A
B A B AB A M DN A DNM =∴∴又四边形是平行四边形
∴A 1D//MN ………………4分
11111,A D ACC A MN ACC A ⊂⊄平面平面
11/
/MN ACC A ∴平面 ………………6分
（II ）521
P AMN M APN V V --==
又M 到底面ABC 的距离=AA 1=2
1155
,32114
APN APN S AA S ∆∆∴⨯⨯=∴= ………………8分 ∵N 为BC 中点
111
222
ABN ABC S S AB AC ∆∆∴=
=⨯⨯= ………………9分
1011, 2.2a a +==2210(6),3y x x =+--
5
,
7
APN ABN S PN P BN BN S ∆∆==点在线段上时 ………………11分 此时5
2
NP PB = ……………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c （0c >），因为212||||PF F F =，
2c =， …………2分
222b a c =-代入，整理得22()10c c
a a +-=，
即2
210e e +-=，解得12
e =. ……………………5分
(2)由（1
）知2,a c b ==,可得椭圆方程为2223412x y c +=,
直线2PF
的方程为)y x c =-, ……………………7分
A,B
两点坐标满足方程组2223412)
x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩,消y 整理得2
580x cx -=,
解得0x =或
85c ,所以A,B
两点坐标为8()5c
,(0,), 所以由两点间距离公式得|AB|=
165
c
, ……………………9分 于是|MN|=58|AB|=2c ,
圆心(1-到直线2PF
的距离d =因为2
22||(
)42MN d +=,所以223
(2)164
c c ++=,解得2c =, 所以椭圆方程为
22
11612
x y +=. ……………………12分 22．（本小题满分14分） 解：（1）
1x ≥时，/()ln ,()a
f x a x f x x
=∴=
， 由已知得 /
(2)1,1, 2.2
a
f a =∴
=∴= ……………………3分
（2）因为32,1,()ln , 1.
x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩ks**5u
①当01x ≤≤时，()(32)f x x x '=--，解()0f x '>得到203
x <<；解()0f x '<得到 213x <<．所以()f x 在2(,1)3上单调递减，在2(0,)3上单调递增，从而()f x 在23
x =处取得极大值也是最大值24()327f =． 所以()f x 在[0,1)上的最大值为427
．……………………6分 ②当1x e ≤≤时，()ln f x a x =，因为1a ≥，所以()f x 在[1,]e 上单调递增，所以()f x 在[1,]e 上的最大值为()f e a =． ……………………8分 因为427
a >，所以，若1a ≥时，()f x 在[0,]e 上的最大值为a . ……………………9分 （3）假设曲线()y f x =上存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，则,P Q 只能在y 轴的两侧，不妨设(,())(0)P t f t t >，则32(,)Q t t t -+，且1t ≠．………………10分 因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，所以0OP OQ ⋅=，
即：232()()0t f t t t -+⋅+=（1） ………………11分 是否存在点,P Q 等价于方程（1）是否有解．
若01t <<，则32()f t t t =-+，代入方程（1）得：4210t t -+=，此方程无实数解．…12分 若1t >，则()ln f t a t =，代入方程（1）得到：1(1)ln t t a
=+， 设()(1)ln (1)h x x x x =+≥，则1()l n 0h x x x
'=+>在[1,)+∞上恒成立．所以()h x 在[1,)+∞上单调递增，从而()(1)0h x h ≥=，
所以当0a >时，方程1(1)ln t t a
=+有解，即方程（1）有解． 所以，对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． (14)。