三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题03基本初等函数理20171102352

专题 03 基本初等函数
1.【2017北京，理 5】已知函数
1
f (x ) 3 ( ) ，则 f (x )
x
x
3
（A ）是奇函数，且在 R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在 R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在 R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在 R 上是减函数 【答案】A 【解析】
x x
1
1
试题分析：
x
x
f
x 3
3 f x
3
3
，所以函数是奇函数，并且3x 是
x
1
增函数， 3
是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选 A. 【
考点】函数的性质
2.【2017北京，理 8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙
中普通物质的 原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与 M N
最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48） （A ）1033（B ）1053 （C ）1073（D ）1093 【答案】D 【解析】
试
题
分
析
：
设
M N
3
361
x
， 两 边 取 对
数
，
10
80
3
361
lg x lg lg3lg10361lg38093.28，所以x 1093.28，即
36180
10
80M
N
最接
近1093，故选D.
【考点】对数运算
1
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数
的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是
3
361
x 时，两边取对数，对数运算公
10
80
M
式包含log log log
a M
a N
a MN，log M log N log，
a a a
N
log n log
a M n a M.
3.【2016课标3理数】已知
421
a 2，
b 4，
c 25，则（）
353
（A）b a c（B）a b c（C）b c a（D）c a b 【答案】A
【解析】
422122
试题分析：因为
a
b，c
a，所以b a c，故选A．2442535343
335
考点：幂函数的图象与性质．
4. 【2015高考山东，理10】设函数
f x
x x
31,1
,
则满足f f a2f a的取值范
2x,x 1
围是（）
2
,1（A）
3（B ）0,1（C）2,
3
（D ）
1,
【答案】C
【解析】当a 1时，f a21，所以，
2
a f f a
，即a 1符合题意.
f a
当a 1时，f a3a 1,若
2
f f a
，则f a1，即：311,2 f a
a
a
，所以3
2 3
适合题意综上，的取值范围是2,
a 1适合题意综上，的取值范围是
2,
3
,故选C.
【考点定位】1、分段函数；2、指数函数.
【名师点睛】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题.
5.【2015高考新课标2，理5】设函数f(x)
1log(2x),x
1,
2,
,
2x1,1,
x
f (2)f(log
12)
2
( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
2
【 解 析 】 由 已 知 得
f (2) 1
log 4 3， 又
2
log 12
1， 所
以
2
f
，故
(log 12) 2
2
6
log 12 1
log 6
2
2
2
f (2) f (lo
g 12) 9 ，故选
C ．
2
【考点定位】分段函数．
【名师点睛】本题考查分段函数求值，要明确自变量属于哪个区间以及熟练掌握 对数运算
法则，属于基础题．
6.【2015高考天津，理 7】已知定义在 R 上的函数
2
1
f x
（ m 为实数）为偶函数，
x
m
记
a f (log 3),
b f log 5 ,
c f 2m ，则 a ,b ,c 的大小关系为( )
0.5
2
（A ） a
b c （B ） a c b （C ） c a b （D ） c b a
【答案】C
【解析】因为函数
2
1
x
m
为偶函数，所以 m
0 ，即
2
1
f x
x
，所
以 f x
1
a f
f
1
(log 3)
log
2
3
1 2
1 3 1 2,
log
2
2
log 3
0.5
2
3
b f log 5 2 1 4,
c f 2m
f (0) 2
1
log 5
2
2
所以 c a b ，故选 C.
【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.
7.【2017天津，理 6】已知奇函数 f (x ) 在 R 上是增函数， g (x ) xf (x ) .若
a g (
log
5.1) ， 2
b g ，
c g (3) ，则 a ，b ，c 的大小关系为
(2)
0.8
（A）a b c（B）c b a（C）b a c（D）b c a 【答案】C
【解析】因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以在x0时，f(x)0，
从而g(x)xf(x)是R上的偶函数，且在[0,)上是增函数，
a g(log 5.1)g(log 5.1)，
22
20.82，又4 5.18，则2log 5.13，所以即020.8log 5.13，
22
3
g (2 ) g (log 5.1) g (3) ，
0.8
2
所以b a c ，故选 C ．
【考点】指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题
，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数
函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函 数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可
以解不等式
.
8. 【2015高考浙江，理 10】已知函数
2
x
3, x 1
f (x )
x ，则 f ( f (3)) ， f (x ) 的
最
lg(x 1), x 1
2
小值是．
【答案】， 2 2 -3 . 【解析】 f ( f (3)) f (1) 0 ，当 x 1时， f (x ) 2 2 3 ，当且仅当 x 2 时，等
号成立，当 x
1时， f (x ) 0，当且仅当 x 0 时，等号成立，故 f (x ) 最小值为
2 2 3.
【考点定位】分段函数
9.【2016高考江苏卷】设 f (x ) 是定义在 R 上且周期为 2的函数，在区间 [1, 1) 上，
,1
0, x a x f x ( )
2
x ,0 x 1, 5
其中 a
R .若 ( 5) (9)
f f ，则 f (5a ) 的值
是.
2 2
【答案】2 5
【解析】
51911123 f()f()f()f()a a，
22222255
因此
32 f(5a)f(3)f(1)f(1)1
55
考点：分段函数，周期性质
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式
4
是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意 区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 10.【2016高考江苏卷】函数 y = 3- 2x - x 2 的定义域是.
【答案】
3,1
【解析】
试题分析：要使函数有意义，必须3
2x x 2 0 ，即 x 2 2x 3 0 ，3 x 1．故答
案应填：
3,1
， 考点：函数定义域
【名师点睛】函数定义域的 考查，一般是多知识点综合考查，先列，后解是常规思路.列式 主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则 与一元二 次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起. 11.【2016年高考北京理数】设函数 f (x )
x 3 3x , x a
2x , x a
.
①若 a
0 ，则 f (x ) 的最大值为______________；
②若 f (x ) 无最大值，则实数的取值范围是________. 【答案】， (,1).
【解析】
5
考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.
【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．
12.【2015高考福建，理14】若函数
f x
x 6,x
2,
3log x,x
2,
a
（a 0且a 1）的值域
是
4,，则实数的取值范围是．
【答案】(1,2]
【解析】当x 2，故x 64，要使得函数f(x)的值域为4,，只需f x
x
1()3log a
（x 2）的值域包含于4,，故a 1，所以f x ，所以3log2 4，解
1()3log a2
a
得1a 2，所以实数的取值范围是(1,2]．【考点定位】分段函数求值域．
6
13. 【2015高考山东，理 14】已知函数 f (x ) a x b (a 0,a 1) 的定义域和值域都是
1, 0
，则 a b .
【答案】
3 2
1
1
a
b
【解析】若 a
1 ，则 f x
在
1, 0
上为增函数,所以
1 b 0
，此方程组无解； 若 0
a 1 ，则 f x
在
1, 0
上为减函
数,所以
1 0 a b
1 b 1
，解得
1
a
2 b
2
，所以 3 a b . 2
【考点定位】指数函数的性质.
【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应 用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用. 14.【2015高考浙江，理 18】已知函数 f (x ) x 2 ax b (a ,b R )，记 M (a ,b ) 是| f (x ) | 在
区间[
1,1]上的最大值.
（1）证明：当| a |
2时， M (a ,b ) 2 ；
（2）当，满足 M (a ,b )
2 ，求| a | | b |的最大值.
【答案】（1）详见解析；（2）. 试题分析：（1）分析题意可知 f (x ) 在[
1,1]上单调
，从而可知
M (a ,b ) max{| f (1) |,| f (1) |}，分类讨论的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知
| a b |,ab 0
| a | | b |
| a b |,ab 0 ，再由 M (a ,b ) 2 可得|1
a b || f (1)
| 2 ， |1
a b || f (
1) | 2 ，即可得证.
试题解析：（1）由
a a
2
f(x)(x )b ，得对称轴为
直线
2
24
a
x ，由|a |
2，得
2
a
||1
，故f(x)在[1,1]上单调，∴M(a,b)max{|f(1)|,|f (1)|}，当a 2时，由2
f f
a ，得max{f(1),f (1)}2，即M(a,b)2，当a
2时，由
(1)(1)24
7
f(1)f(1)2a4，得max{f(1),f(1)}2，即M(a,b)2，综上，当|a|2时，M(a,b)2；（2）由M(a,b)2得|1a b||f(1)|2，|1a b||f(1)|2，故
|a b|,ab0
|a b|3，|a b|3，由|a||b|
，得|a||b|3，当a2，b1
|a b|,ab
时，|a||b|3，且|x22x1|在[1,1]上的最大值为，即M(2,1)2，∴|a||b|
的最大值为..
【考点定位】1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.
8。