直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

直角坐标系中的平移变换与伸缩变换
目标：平移变换与伸缩变换的应用与明白得
一.直角坐标系
1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。

如此咱们就成立了直线上的坐标系 (即数轴)。

它使直线上任意一点P 都能够由惟一的实数x 来确信。

2.平面上，取定两条相互垂直的直线作为x 、y 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。

如此咱们就成立了平面直角坐标系。

它使平面上任意一点P 都能够由惟一的二元有序实数对
),(y x 来确信。

3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线别离作为x 、y 、z 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。

如此咱们就成立了空间直角坐标系。

它使空间中任意一点P 都能够由惟一的三元有序实数对),,(z y x 来确信。

事实上，直线上所有点的集合与全部实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全部二元有序数对),(y x 的集合一一对应；空间中所有点的集合与全部三元有序数对),,(z y x 的集合一一对应.
二.平面直角坐标系中图形的平移变换 1.平移变换
在平面内，将图形F 上所有点依照同一个方向，移动一样长度，称为
图形F 的平移。

假设以向量a
表示移动的方向和长度，咱们也称图形F 按
向量a
平移．
在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =
，平移后的对应点为),(y x P '''.
那么有：),(),(),(y x k h y x ''=+ 即有：⎩⎨
⎧'
=+'=+y k y x h x .
因此，咱们也能够说，在平面直角坐标系中，由⎩⎨
⎧'
=+'=+y k y x h x 所确信的变换是一个平移变换。

因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．因此，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离维持不变。

例1.①.已知点)3,4(-P 按向量)5,1(=a
平移至点Q ，求点Q 的坐标；
②.求直线01223:=+-y x l 按向量)3,2(-=a
平移后的方程。

一样地咱们有如下关于平移变换的结论：
①.将点),(y x P 按向量),(00y x a =
平移， 所得点P '的坐标为：),(00y y x x P ++'.
②.将曲线0),(:=y x f C 按向量),(00y x a =
平移， 所得曲线C '的方程为0),(:00=--'y y x x f C .
注：点)3,4(-P 按向量)5,1(=a
平移，
得点)53,14(++-'P ，即：)8,3(-'P ；
直线01223:=+-y x l 按向量)3,2(-=a
平移，
得直线012)3(2)2(3:=++--'y x l ，即：023:=-'y x l .
2.有关曲线平移的一样性结论
①.直线0:=+by ax l ，按向量),(00y x a =
平移后得
直线0)()(:00=-+-'y y b x x a l . → 过点),(00y x .
②.曲线2
22:r y x C =+，按向量),(00y x a = 平移后得 曲线2
2
02
0)()(:r y y x x C =-+-' → 中心为),(00y x .
③.曲线1:2222
=+b
y a x C ，按向量),(00y x a = 平移后得
曲线1)()(:2
2
220=-+-'b
y y a x x C → 中心为),(00y x .
④.曲线1:22
22
=-b
y a x C ，按向量),(00y x a = 平移后得
曲线1)()(:2
2
0220=---'b
y y a x x C → 中心为),(00y x . ⑤.曲线px y C 2:2
=，按向量),(00y x a = 平移后得
曲线)(2)(:02
0x x p y y C -=-' → 极点为),(00y x .
例2.说明方程0111816942
2=-+-+y x y x 表示什么曲线，求那个曲线的极点、中心、核心、渐近线和离心率.
三.平面直角坐标系中的伸缩变换 1. 伸缩变换
例3.咱们已经明白，方程x y 2sin =所表示的曲线能够看做由方程
x y sin =所表示的曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变成原先的2
1得
到的曲线；同理，将方程x y 2sin =所表示的曲线上所有点的纵坐标维持不变，而横坐标变成原先的2倍，也能够取得方程x y sin =所表示的曲线. 这也确实是说，方程x y 2sin =所表示的曲线能够通过伸缩变换取得方程x y sin =所表示的曲线．
事实上，设y y x x '='=,2，那么x y 2sin = 能够化为 x y '='sin .
由⎩⎨
⎧'
='=y y x x 2 ，所确信的变换，是曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变成原先的2倍，也能够称为曲线按伸缩系数为2向着y 轴的伸缩变换(那个地址),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点)．
一样地，由⎩⎨
⎧'
='=y y x x λ ，
所确信的伸缩变换，是按伸缩系数为λ向着y 轴
的伸缩变换(当λ>1时，表示伸长；当λ<1时，表示紧缩)，即曲线上所
有点的纵坐标不变，横坐标变成原先的λ倍(那个地址),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).
同理，由⎩
⎨
⎧'='=y y x x μ ，所确信的伸缩变换，是按伸缩系数为μ向着x 轴
的伸缩变换(当μ>1时，表示伸长；当μ<1时，表示紧缩)，即曲线上所
有点的横坐标不变，纵坐标变成原先的μ倍(那个地址),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).
由⎩⎨
⎧'
='=y y x x λμ ，所确信的伸缩变换，是按伸缩系数λ向着x 轴和按伸缩系数μ向着y 轴的伸缩变换(当1>λ时，表示伸长，1<λ时，表示紧缩；当1>μ时，表示伸长，当μ<1时，表示紧缩)，即曲线上所有点的横坐标和纵坐标别离变成原先的λ倍和μ倍(那个地址),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).
在伸缩变换中，曲线上任意两点间距离的不变性已不存在．那么缩变换有什么特点呢?
咱们来考察直线与圆在伸缩变换作用下的转变．
例4.对以下曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数是4
1=k . ①.0632=-+y x ；
②.162
2
=+y x .
(设),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).
注：①.直线0632=-+y x 通过伸缩变换后的方程为036=-+y x ， 它仍然表示一条直线；
②.圆162
2
=+y x 通过伸缩变换后的方程为116
2
2=+y x ，它变成椭圆.
2.有关曲线伸缩变换的一样性结论
①.直线通过伸缩变换后，仍是直线．因此，在伸缩变换作用下，点的共线性质维持不变。

②.曲线0),(:=y x f C 在伸缩变换⎩⎨
⎧'='=y y x x λ（或⎩⎨⎧'='=y y x x μ或⎩
⎨⎧'='=y y x x μλ）作用
下（1,>μλ时表示拉伸，1,<μλ时表示紧缩），所得曲线C '的方程为：
:C '0),1(=y x f λ（或0)1,(=y x f μ或0)1,1(=y x f μ
λ）.
③.曲线0),(:=y x f C 上各点的横坐标（或纵坐标、或横坐标和纵坐标）
紧缩为原先的λ
1，可得曲线:C '0),(=y x f λ （或0),(=y x f λ或0),(=y x f λλ，1>λ时表示紧缩，1<λ时表示拉伸）.
例5.设曲线x y C 2log :=，1log :21-=x y C ，x y C 2
2log 3
2:=
，
9log log 2:223-=x y C .
由曲线C 通过何种变换能够取得曲线1C 、2C 、3C .
例6.设1M 是),(111y x A 与),(221y x B 的中点，通过伸缩变换⎩⎨
⎧'
='=y y k x x k 21后，它 们别离为222,,B A M ，求证：2M 是22B A 的中点．
(设),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).
四.典型例题
1.两个定点的距离为4，点M 到这两个定点的距离的平方和为16， 那么点M 的轨迹是 （ ）
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
2.将函数x y sin =图象上所有点的横坐标扩大为原先的2倍，纵坐标拉伸为原先的2倍，取得的函数图象的解析式为 （ ） A.x y 2sin 21=
B.x y 21sin 21=
C.x y 2sin 2=
D.x y 2
1sin 2=
3.将点)2,2(-P 变换为点)1,6(-'P 所用的伸缩变换公式是 （ ）
A.⎪⎩⎪⎨⎧='='y
y x x 231 B.⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 321 C.⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 213 D.⎩⎨⎧='='y y x x 23
4.①已知点)3,2(-P 按向量)4,1(-=a
平移至点Q ，求点Q 的坐标;
②已知点)2,3(-P 按向量a 平移至点)0,2(Q ，求平移向量a
.
5.将对数函数x y 3log =曲线的横坐标拉伸为原先的2倍， 求所得曲线的方程.
6.在同一直角坐标系中，已知伸缩变换⎩⎨
⎧='='y
y x x 23:ϕ.
①.求点)2,3
1(-A 通过ϕ变换所取得的点A '的坐标； ②.点B 通过ϕ变换取得点)2
1,3(-'B ，求点B 的坐标 ③.求直线x y l 6:=通过ϕ变换后所取得的直线l '的方程；
④.求双曲线164
:2
2
=-y x C 通过ϕ变换后所取得的曲线C '的核心坐标.
7.在平面直角坐标系中求将曲线1:2
2=+y x C 变为曲线14
9:22
='+''y x C
的伸缩变换.
8.方程07161843:2
2=++-+y x y x C 表示何种曲线，求它的中心坐标、核心坐标、准线方程、离心率．
五.课外练习
六.补充练习
1.将点),(y x P 的横坐标伸长到原先的2倍，纵坐标紧缩为原先的3
1
，取得点P '的坐标为 （ ）
A.)3,2(y x
B.)3,2(y x
C.)2
,3(y x D.)2,3(y x
2.曲线C 通过伸缩变换⎪⎩
⎪⎨⎧='='y y x
x 31后取得曲线C '的方程为)2(log 2+=x y , 那么曲线C 的方程为
（ ）
A.)2(log 312
+=
x y B.
)2(log 32+=x y
C.)23
1(log 2+=x y D.)23(log 2+=x y
3.①已知点)2,3(-P 按向量)4,1(-=a
平移至点Q ，求点Q 的坐标;
②已知点)3,1(P 按向量a 平移至点)1,3(Q ，求向量a
.
4.写出曲线按向量)3,4(-平移后的方程. ①.0543=+-y x ； ②.x y 82
=
5.求以下方程所表示的曲线的极点、核心、中心及准线方程.
①.88442
2=-+-y x y x ； ②.05242
=++-y x y .
6.对以下曲线向着y 轴进行伸缩变换，伸缩系数2
1=k . ①.x y 3sin 2=;
②.14
822
=-y x ．
7.对01242
2=++-+y x y x 曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数2=k .
8.在平面直角坐标系中求将曲线0142:2
2=+--+y x y x C 变成曲线
01244
4:22=+'-'-'+''y x y
x C 的伸缩变换.。