高中数学 不等式证明的基本方法 竞赛讲义

不等式证明的基本方法及例题讲解
【学习目标】
1. 熟练掌握不等式的几个基本性质
2. 应用不等式的基本性质解题、证明问题等
【重点、难点】
1. 不等式的几个基本性质
2. 应用不等式的基本性质解题、证明问题
【教学过程】
一、知识内容梳理 1. 不等式的基本性质 （1）a b b a >⇔< （2）,a b b c a c >>⇒>
注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >⇒+>+
（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （5）()02,n
n
a b a b n n N >>⇒>≥∈
（6）)02,a b n n N >>⇒>≥∈
2、a b a b a b -≤+≤+
（1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥
（2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤
（3.）a b b c a c
-+-≥-，
其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥
二、不等式证明的基本方法：
1.差值比较.欲证，b a >只需证明.0>-b a
2.商值比较.欲证()0>>b b a ，
,只需证明.1>b
a
三、例题讲解：
1.()
改编题设,1->a 求证：6322≥+
a
a 思路：没有拆项而言，只有分析 证明：欲证632
2≥+
a
a ， 只需证明03262
3
≥+-a a 即证()().0242
≥+-a a
因为,1->a
所以()().0242
≥+-a a
2.设,1->a 求证：304000
2
≥+
a
a 思路：没有拆项而言，只有分析
证明：欲证304000
2
≥+
a a ， 只需证明04000302
3
≥+-a a 即证()().010202
≥+-a a
因为,1->a
所以()().010202
≥+-a a
3.()
增加一个方法常规题-设,,a b c R +
∈，求证：()
3
a b c a b c
a b c abc ++≥
思路1：函数法，所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。

则所证不等式等价于()()3ln 3ln 3ln ln ln ln a a b b c c a b c a b c ++≥++++，化简后可得：2ln 2ln 2ln ln ln ln ln ln ln a a b b c c a b a c b a b c c b c a ++≥+++++①，所证不等式为轮换对称式，则不妨给,,a b c 定序，即0a b c ≥≥>，则ln ln ln a b c ≥≥，由①的特点想到排序不等式，则ln ln ln a a b b c c ++为顺序和，是最大的，剩下的组合为乱序和或反序和，必然较小，所以有ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln a a b b c c a b b c c a
a a
b b
c c b a c b a c
++≥++⎧⎨++≥++⎩，两式相加即
可完成证明。

证明1：
,,a b c R +∈
∴ 将所证不等式两边同取对数可得：
()
()
()3
ln ln ln ln ln ln 3
a b c a b c
a b c a b c abc a a b b c c a b c ++++≥⇔++≥
++
()()3ln 3ln 3ln ln ln ln a a b b c c a b c a b c ⇔++≥++++
3ln 3ln 3ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln a a b b c c a a a b a c b a b b b c c a c b c c ⇔++≥++++++++2ln 2ln 2ln ln ln ln ln ln ln a a b b c c a b a c b a b c c b c a ⇔++≥+++++
所证不等式为轮换对称式
∴不妨设0a b c ≥≥>
ln ln ln a b c ∴≥≥
ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln a a b b c c a b b c c a a a b b c c b a c b a c ++≥++⎧∴⎨
++≥++⎩①
②
+①②可得：2ln 2ln 2ln ln ln ln ln ln ln a a b b c c a b a c b a b c c b c a ++≥+++++
即证明不等式()
3
a b c a b c
a b c abc ++≥
小炼有话说：使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有
,,a b c 的大小关系，但由所证不等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系的条件，即
0a b c ≥≥>，从而能够使用排序不等式。

思路2：商值比较法，由指数函数的图像与性质比较大小. 证明2：
,,a b c R +∈ ，
∴ 设c b a ≥≥，
则.1,1,1.
0,0,0≤≥≥≥-≥-≥-a
c
c b b a c a c b b a ()
1][3
1
3
≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛=---++a c c
b b
a c
b a c
b a a
c c b b a abc c b a .
4.()
改编题已知0,0a b >>
（1）若2a b +=，求
b
a 2
1+的最小值 （2）求证：()2
22
2
2
222332b a b a ab b a b a ++≥++
思路：从所求出发可发现其分母若作和，则可与2a b +=找到联系，从而想到柯西不等式
的变式：
()2
22
2
1212
12
12n n
n n
a a a a a a
b b b b b b ++++++≥++
+，从而()
2
2
232
1212
+=
++≥
+b
a b a 解：（1）由柯西不等式可得，
()
2
2
2321212
+=
++≥+b
a b a . （2）此题可用做差法解题，做差后配方得
()()()().02223322
2
2
2222≥-+-+-=-+-++b a b ab a ab ab b a ab b a b a
5.()
改编题已知正实数,,,a b c d 满足,6822,52
222=+++=+++d c b a d c b a 则a 的最小值是____________
解：思路：本题的核心元素为a ，若要求a 的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即关于,,b c d 的不等关系，考虑到,12822,52
222=+++=+++d c b a d c b a 联想到
柯西不等式()()22
22
12
121212
n
n n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫++
++++≥+++ ⎪⎝⎭
，则有
()()2222
812121822d c b d c b
++≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++，代入可得：(
)()2
2
581212112a a
-≥⎪⎭
⎫ ⎝
⎛++-解得：a 2≥，验证等号成立条件 答案：2
6.()原创设,,...,2,1,n i R x i =∈+
求证：∑∑=-=+≥+n
i i n
n i i i x x x x x 1201211
11
21
思路：从所求出发，由02
1119≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++i i i i x x x x 可得 ()1191
2
192++-≥i i i i i i
x x x x x x ，对i 进行累次相加可以证明所求不等式.
证明：()
1191
1
1191120
1211
112122x x x x x x x x x x n n n i i i n i i n n i i i -+-≥+∑∑∑-=+-=-=+ 11911
1
191
20
1
20x x x x x x
n i n i i n i i n
i i
--+≥
+-===∑∑∑
∑=≥
n
i i
x
1
20.
7.()
汇编设,,0,,abc c b a c b a =++>证明：
zx
yz xy z y x +++++≥+++++11
1111111111222 证明：先通分，再差值比较
因为()()()()yz
z x y x xyz z x y x x x z y x xyz x ++=++=+++=
+22
1 ()()x
z
y x xyz z y x yz z y x z y x yz xyz yz z y x xyz yz ++=++=+++++=+++=
+221.
()()∑∑++≥++cyc cyc z y x x
z x y x yz 2.
()()()()∑∑
++≥++++⇔cyc cyc z
y x x
x z z y y x z y yz 2
()()()()()()∑++≥+++-+++cyc
z y x x
x z z y y x xyz x z z y y x 22
()()()∑
++++++≥
cyc z y x x
x z z y y x xyz 221①
①式正确因为下列2式成立.
()()()4
1
2≤+++x z z y y x xyz ,AM-GM 可得
432≤++∑cyc z y x x ，⇐43
1142∑∑≤⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++≤++cyc cyc z x y x x z y x x 8.设,
0,,>c b a 2
1
8
212≤
++
+∑cyc
a a ，证明： .3≥++c
b a
思路：分析结构，代换字母式子.
证明：设,42.082
x
x a a a x -=
⇒>++= z
z c y y b 42,42-=-=
2
2421212121+++≥+++≥+-z y z y x x
z y 1684+
≥++ 相加得.
12424≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑cyc x x
9.()
汇编题已知正数,,x y z 满足221x y z ++=
（1）求3xy yz zx ++的最大值
（2）证明：
31112511126
xy yz zx ++≥+++
（1）思路：所求表达式为多元表达式，所以考虑减少变量个数，由221x y z ++=得
()21x y z +=-，则()13332
z
xy yz zx xy z x y xy z -++=++=+⋅
，下面考虑将xy 进行转化，向x y + 靠拢，利用基本不等式()
2
4
x y xy +≤
进行放缩，可得：
()()()2
2
11313342442
z z z z xy yz zx x y z ---++≤++⋅=⋅+
，再求关于z 的表达式的最大值即可。

解：
221x y z ++=
()21x y z ∴+=-
()()13332
z z xy yz zx xy z x y xy -∴++=++=+
()
()
2
2
14
16
x y z xy +-≤
=
()
()2
2
115111
3316
2
16555
z z z xy yz zx z --⎛⎫∴++≤⋅
+
=--+≤ ⎪⎝⎭
3xy yz zx ∴++的最大值为15，此时1155221
x y z x y z x y z =⎧⎪⎪
=
⇒===⎨⎪++=⎪⎩ （2）思路：由（1）可知3xy yz zx ++的最大值为
1
5
，且所证不等式的左边分母含有,,xy yz zx 项，所以考虑向3xy yz zx ++的形式进行靠拢，联想到柯西不等式的一个变形公式：
()2
1212
12
1122n n n n n
a a a a a a
b b b a b a b a b ++++++≥+++，可得： 31125
11153xy yz zx xy yz zx
++≥++++++，进而结合第（1）问的结果再进行放缩即可
证明不等式
解：由柯西不等式可得：
()()2
31131125
111311153xy yz zx xy yz zx xy yz zx
++++≥=+++++++++++
由（1）知135
xy yz zx ++≤
3112525125
=
11115326
55
xy yz zx xy yz zx ∴
++≥≥+++++++ 等号成立条件：15
x y z ===
10. 设0>c b a ，，是三角形三边，m>0，求证：
m
c c
m b b m a a +>+++ 证明：差值比较法：应用三角形边长定理c b a >+
m c c
m b b m a a +-+++ ()()()()()
()()()
m c m b m a m b m a c m c m a b m b a +++++-++++=
][
()()()()
()()()
m c m b m a m b m a c bm am ab m c bm am ab +++++-+++++=
22
()()()()()
m c m b m a bm am ab m c m ab ++++++-=
22
()()()()()
m c m b m a cm ab m c m ab +++++->
22
0>
四、习题演练
1. 设,1->a 求证：604000
2
≥+
a
a 2.设
b
c a c c b a >>>,,0，，是钝角三角形三边，m>0，求证：
m
c c m b b m a a +>+++22
2222
3.()
改编题已知正实数,,,a b c d 满足,9543,42
222=+++=+++d c b a d c b a 则a 的最小值是____________
4.正实数,,,a b c d 满足d c b a d c b a +++++++=+++1111,4的最大值是____________
5.证明：对任意4
1,,2
4
->+∈ab b a R b a 答案提示： 1.差值比较法
2.应用平方边长比较大小
3.改写b,c,d 应用柯西不等式
4.24
5.差值比较法。