2012年高三年级十三校第一次联考数学(理科)试卷

2012年高三年级十三校第一次联考数学(理科)试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分.
1. 已知*n N ∈
，则n = . 2. 如图，U 是全集，A U B U ⊆⊆，，用集合运算符号
表示图中阴影部分的集合是 .
3. 函数21()sin cos 22
f x x x =+-的最小正周期是 . 4. 若2i +是方程20( )x bx c b c R ++=∈、
的根，其中i 是 虚数单位，则b c += . 5. 若函数12()log a f x x -=在(0 )+∞，上单调递减， 则实数a 的取值范围是 .
6. 图中是一个算法流程图，则输出的 正整数n 的值是 ．
7. 设函数2
12() 0
()2log (2) 0x x f x x x ⎧⎪-≤=⎨+>⎪⎩的反函数 为1()y f x -=，若1()4f a -≥，则实数a 的取值范围是 . 8. 对于任意的实数k ，如果关于x 的方程()f x k =最多有2个不同的实数解，则|()|f x m =(m 为实常数)的不同的实数解的个数最多为 .
9. 设函数1
31()()2x f x x =-的零点*011
( )()1x n N n n
∈∈+，，则n = .
10. 已知数列{}n a 的前n 项和2
7211n S n pn a =+=，，若112k k a a ++>，则正整数k 的最小值
为 .
11. 如图，在ABC ∆中，90 6 BAC AB D ∠==，
，在斜 边BC 上，且2CD DB =，则AB CD ⋅的值为 . 12. 设不等式2
1log (0 1)a x x a a -<>≠且，的解集为M ，若(1 2)M ⊆，，则实数a 的取值范围是 .
13. 已知函数()2arctan x
f x x =+，数列{}n a 满足*111
()()()402312n n n
a a f a f n N a +==∈，－， 则2012()f a = .
14. 设 a b c ，，
是平面内互不平行的三个向量，x R ∈，有下列命题： ①方程2
0(0)ax bx c a ++=≠不可能有两个不同的实数解；
②方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有实数解的充要条件是2
40b a c -⋅≥；
③方程222
20a x a bx b +⋅+=有唯一的实数解b x a
=-
； ④方程2
2
2
20a x a bx b +⋅+=没有实数解.
其中真命题有 .(写出所有真命题的序号) 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分. 15. 已知a R ∈，不等式31x x a
-≥+的解集为P
，且2P -∉，则a 的取值范围是 ( )
A.3a >-
B.32a -<<
C.2a >或3a <-
D.2a ≥或3a <-
(第2题图)
D
A B C
(第11题图)
M B
A
图1 图2
16.设角()
2
k k Z
π
αβπ
≠+∈
、，则“()
4
n n Z
π
αβπ
+=+∈”是“(1tan)(1tan)2
αβ
++=”成立的( )
17.对于复数a b c d
、、、，若集合{}
S a b c d
=，，，具有性质：“对任意x y S
∈
，，都有xy S
∈”，则当2
2
1
1
a
b
c b
=
⎧⎪
=
⎨
=
⎪⎩
时，b c d
++的值是 ( )
A.1
B.1
- C.i D.i-
18.下图展示了一个由区间(0 1)
，到实数集R的对应过程：区间(0 1)
，中的实数m对应数轴上(线段AB)的点M(如图1)；将线段AB围成一个圆，使两端点A B
、恰好重合(如图2)；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上；点A的坐标为(0 1)
，(如图3)，当点M从A到B是逆时针运动时，图3中直线AM与x轴交于点( 0)
N n，，按此对应法则确定的函数使得m与n对应，即()
f m n
=．对于这个函数()
y f x
=，有下列命题：①
1()1
4
f=-；②()
f x的图像关于1( 0)
2
，对称；③若()
f x=，
则
5
6
x=；④()
f x在(0 1)
，上单调递增.其中正确的命题个数是( )
A．1 B．2 C．3 D
．4
三、解答题(本大题共
5小题，满分74分)
19.(本题满分12分)
已知矩阵
||5
||1
x
x
+
⎛⎫
⎪
+
⎝
的某个列向量的模不大于行列式
211
203
423
-
--
-
中元素0的代数余子式的值，求实数x的取值范围.
20.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)
8
(2)若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.
21. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
已知()3cos (0)f x x x ωωω=+>.
(1)若()(0)2y f x π
θθ=+<<
是周期为π的偶函数，求ω和θ的值； (2)()(3)g x f x =在( )23
ππ
-，上是增函数，求ω的最大值；并求此时()g x 在[0 ]π，
上的取值范围.
22. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知*122()n n a S n N +=+∈. (1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列(如：在1a 与2a 之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为1d ；在2a 与3a 之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为2d ，…以此类推)，设第n 个等差数列的和是n A . 是否存在一个关于n 的多项式()g n ，使得()n n A g n d =对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；
(3)对于(2)中的数列123n d d d d ，，，，，，这个数列中是否存在不同的三项m k p d d d ，，(其中正整数
m k p ，，成等差数列)成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.
23. (本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分)
已知函数22()(1)(1)(0 )x
b f x x a x
=-+-∈+∞，，
，其中0a b <<. (1)当12a b ==，时，求)(x f 的最小值；
(2)若()21m f a ≥-对任意0a b <<恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)设0k c >、，当22()a k b k c ==+，时，记1()()f x f x =；当22()(2)a k c b k c =+=+，时，记
2()()f x f x =. 求证：2124()()()
c f x f x k k c +>
+.
2012年高三年级十三校第一次联考数学(理科)答案
考试时间：120分钟 满分：150分
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分.
24. 已知*n N ∈
，则n = .13
25. 如图，U 是全集，A U B U ⊆⊆，，用集合运算符号 表示图中阴影部分的集合是 .U A B
26. 函数21()sin cos 22
f x x x =+-的最小正周期是 .π
27. 若2i +是方程20( )x bx c b c R ++=∈、
的根，其中i 是虚数单位，则b c += .1 28. 若函数12()log a f x x -=在(0 )+∞，上单调递减，
则实数a 的取值范围是 .102
a << 29. 图中是一个算法流程图，则输出的 正整数n 的值是 ．11
30. 设函数212() 0()2
log (2) 0
x x f x x x ⎧⎪-≤=⎨+>⎪⎩的反函数 为1()y f x -=，若1()4f a -≥，则实数a 的取值范围是 .2[log 6 )+∞，
31. 对于任意的实数k ，如果关于x 的方程()f x k =最多有2个不同的实数解，则|()|f x m =(m 为实常数)的不同的实数解的个数最多为 .4
32. 设函数1
31()()2x f x x =-的零点*011
( )()1x n N n n
∈∈+，，则n = .2
33. 已知数列{}n a 的前n 项和2
7211n S n pn a =+=，，若112k k a a ++>，则正整数k 的最小值
为 .6
34. 如图，在ABC ∆中，90 6 BAC AB D ∠==，
，在斜 边BC 上，且2CD DB =，则AB CD ⋅的值为_____.24
35. 设不等式2
1log (0 1)a x x a a -<>≠且，的解集为M ，若(1 2)M ⊆，，则实数a 的取值范围是 .(1
36. 已知函数()2arctan x
f x x =+，数列{}n a 满足*111
()()()402312n n n
a a f a f n N a +=
=∈，－，则2012()f a = .24
π
+
37. 设 a b c ，，
是平面内互不平行的三个向量，x R ∈，有下列命题： ①方程2
0(0)ax bx c a ++=≠不可能有两个不同的实数解；
②方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有实数解的充要条件是2
40b a c -⋅≥；
③方程222
20a x a bx b +⋅+=有唯一的实数解b x a
=-
； ④方程2
2
2
20a x a bx b +⋅+=没有实数解.
其中真命题有 .(写出所有真命题的序号) ①④
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分. 38. 已知a R ∈，不等式
31x x a
-≥+的解集为P
，且2P -∉，则a 的取值范围是 ( D )
A.3a >-
B.32a -<<
C.2a >或3a <-
D.2a ≥或3a <-
(第2题图)
D
A B C
(第11题图)
1
M B
A
图1 图2
39.设角()
2
k k Z
π
αβπ
≠+∈
、，则“()
4
n n Z
π
αβπ
+=+∈”是“(1tan)(1tan)2
αβ
++=”成立的( C )
40.对于复数a b c d
、、、，若集合{}
S a b c d
=，，，具有性质：“对任意x y S
∈
，，都有xy S
∈”，则当2
2
1
1
a
b
c b
=
⎧⎪
=
⎨
=
⎪⎩
时，b c d
++的值是 ( B )
A.1
B.1
- C.i D.i-
41.下图展示了一个由区间(0 1)
，到实数集R的对应过程：区间(0 1)
，中的实数m对应数轴上(线段AB)的点M(如图1)；将线段AB围成一个圆，使两端点A B
、恰好重合(如图2)；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上；点A的坐标为(0 1)
，(如图3)，当点M从A到B是逆时针运动时，图3中直线AM与x轴交于点( 0)
N n，，按此对应法则确定的函数使得m与n对应，即()
f m n
=．对于这个函数()
y f x
=，有下列命题：①
1()1
4
f=-；②()
f x的图像关于1( 0)
2
，对称；③若()
f x=，
则
5
6
x=；④()
f x在(0 1)
，上单调递增.其中正确的命题个数是( D )
A．1 B．2 C．3 D
．4
三、解答题(
本大题共5小题，满分74分)
42.(本题满分12分)
已知矩阵
||5
||1
x
x
+
⎛⎫
⎪
+
⎝
的某个列向量的模不大于行列式
211
203
423
-
--
-
中元素0的代数余子式的值，求实数x的取值范围.
解：行列式
211
203
423
-
--
-
中元素0的代数余子式是
21
2
43
=……………………………4分
依题意，显然列向量
||5
||1
x
x
a
+
⎛⎫
⎪
+
= ⎪
⎪
⎝⎭
的模不大于2，即
||5
2
||1
x
x
+
≤
+
,………………………8分
解得3
x≥或3
x≤-
∴满足条件的实数x的取值范围是(3][3)
-∞-+∞
，，…………………………………12分
43.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)
8
(1)要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？(精确到1天) (2)若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.
解：(1)依题意，18210t -≤……………………………………………………………………2分 ∴82log 10127.58t ≤+≈………………………………………………………………………5分 即第一次最迟应在第27天注射该种药物. ……………………………………………………7分
(2)设第n 次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为n a ， 则912(198%)a =-，且1012(198%)n n a a +=-，∴1012(198%)n n n a -=-……………………10分
于是10313
32(198%)a ⨯-=-，即第3次注射后小白鼠体内的这种癌细胞个数为323
2100，……12分 到第38天小白鼠体内的这种癌细胞个数为32878
322 1.11010100
⨯≈⨯<……………………14分 ∴第38天小白鼠仍然存活.（注：列举法求解的也行，请按步骤评分） 44. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
已知()3cos (0)f x x x ωωω=+>.
(1)若()(0)2y f x π
θθ=+<<
是周期为π的偶函数，求ω和θ的值； (2)()(3)g x f x =在( )23
ππ
-，上是增函数，求ω的最大值；并求此时()g x 在[0 ]π，
上的取值范围. 解：(1)
∵())(0)3f x x πωω=+>
，∴())3
f x x π
θωωθ+=++…………1分
又()y f x θ=+是最小正周期为π的偶函数 ∴2ππω
=，即2ω=，……………………3分
且23
2
k π
π
θπ+
=+
，即()212
k k Z ππ
θ=
+∈ 注意到02π
θ<<
，∴1 312
π
ωθ==，为所求；…………………………………………………6分 (2)
因为()(3))(0)3g x f x x π
ωω==+
>在( )23
ππ
-，上是增函数， ∴453()223239()13223326
k k k Z k k πππωπωπππωπω⎧⎧⨯-+≥-≤-+⎪⎪⇒∈⎨⎨⨯+≤+≤+⎪⎪⎩⎩，…………………………………9分 又0ω>，∴45015391212
1206
k k k ⎧-+>⎪⇒-<<⎨+>⎪⎩，∴0k =
于是1
06ω<≤，即ω的最大值为6
1，…………………………………………………………12分
此时，()3sin()23
x g x π
=+，
510sin()1()3236223
x x x g x ππππ
π≤≤⇒≤+≤⇒≤+≤⇒∈……………………14分
45. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知*122()n n a S n N +=+∈. (1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列(如：在1a 与2a 之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为1d ；在2a 与3a 之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为2d ，…
以此类推)，设第n 个等差数列的和是n A . 是否存在一个关于n 的多项式()g n ，使得()n n A g n d =对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；
(3)对于(2)中的数列123n d d d d ，，，，，，这个数列中是否存在不同的三项m k p d d d ，，(其中正整数
m k p ，，成等差数列)成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.
解：(1)设11n n a a q -=，由)(22*
1N n S a n n ∈+=+知，112111222()2
a q a a q a a q =+⎧⎨=++⎩，………2分
解得{
123
a q ==， ∴1
23n n a -=⨯…………………………………………………………………4分
(2)依题意，1123234311n n n n d n n --⨯-⨯⨯==++；11(2323)(2)
4(2)32
n n n n n A n --⨯+⨯+=
=+⨯ 要使()n n A g n d =，则11
434(2)3()1
n n n g n n --⨯+⨯=⨯+，…………………………………8分
∴2()(2)(1)32g n n n n n =+⨯+=++，即存在2
()32g n n n =++满足条件；………10分
(3)对于(2)中的数列{}n d ，若存在不同的三项m k p d d d ，，(其中正整数m k p ，，成等差数列)成等比数
列，则2k
m p d d d =，即111
2434343()111k m p k m p ---⨯⨯⨯=⋅+++ ∵2k m p
=+①， ∴2111()111
k m p =⋅+++，即2
k mp
=②…………………………………………14分 由①②可得m k p ==，与m k p d d d ，，是不同的三项矛盾，
∴不存在不同的三项m k p d d d ，，(其中正整数m k p ，，成等差数列)成等比数列. ……16分
46. (本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分)
已知函数22()(1)(1)(0 )x
b f x x a x
=-+-∈+∞，，
，其中0a b <<. (1)当12a b ==，时，求)(x f 的最小值；
(2)若()21m f a ≥-对任意0a b <<恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)设0k c >、，当22()a k b k c ==+，时，记1()()f x f x =；当22()(2)a k c b k c =+=+，时，记
2()()f x f x =. 求证：2124()()()
c f x f x k k c +>+. 解：(1)当12a b ==，时，22222()(1)(1)(1)3f x x x x x
=-+-=+--………………………1分
令2(0)t x x x
=+>，则t ≥2=x 时，22=t ，…3分
此时函数2()(1)3g t t =--在)t ∈+∞上单调递增，
∴2min ()1)36f x f ==-=-……………………………………………………5分
(2)∵0a b <<，∴1b a
>，2()21(1)12m m b f a a ≥-⇔-+≥对任意0a b <<恒成立，…6分
令b t a
=，则1t >，函数2(1)1y t =-+在(1 )+∞，上单调递增，∴2(1)11y t =-+>，……8分 ∴12m ≥，解得0m ≤………………………………………………………………………………10分
(3)先证：对于(0 )x ∈+∞，，()f x f ≥
2222()(1)(1)(1)1(0)x b x b b f x x a x a x a =-+-=+--+>，………………………………………11分
令x
b
a x t +=，则t ≥a
b x =时取等号，且1>
函数22()(1)1b g t t a =--+，在)+∞上单调递增，∴()f x g f ≥=……14分 ∴当22()a k b k c ==+，时，2
122()()[()]c f x f x f k k c k
=≥+=
当22()(2)a k c b k c =+=+，时，222
2()()[()(2)]()c f x f x f k c k c k c =≥++=
+
显然上述两个等号不同时成立, ∴2221222224()()()()
c c c f x f x k k c k k c +>
+>++………………………………………………………18分。