河南省正阳县第二高级中学高三数学下学期周练(十二)理

河南省正阳县第二高级中学
2017-2018学年下期高三理科数学周练十二
一.选择题：
1. 若复数z 满足2
2(1)1z i i =-=-,则z = ( ) A ．1 B ．-11 C ．i D ．i - 2. 若函数()sin cos f x a x =-,则()f a '= ( )
A ．sin a
B ．cos a
C ．sin cos a a +
D ．2sin a
3. 若双曲线2
218
x y -=的左焦点在抛物线22y px =(0)p >的准线上,则p 的值为( ) A
B ．3 C
．． 6 4. 已知p ：
11
22
a ≥-成立,函数()(1)x f x a =-- (1a >且2a ≠)是减函数,则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件
5. 直线4y x =与曲线3
y x =围成图形的面积为( ) A ．0 B ．4 C. 8 D ．16 6. 若1x ，2x ，3(0,)x ∈+∞，则3个数
12x x ,23x x ,3
1
x x 的值( ) A ．至多有一个不大于1 B ．至少有一个不大于1 C.都大于1 D ．都小于1
7. 若随机变量2
~(,)(0)X N μσσ>,则有如下结论: ()0.6856P X μσμσ-<≤+=,
(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=，~(120,100)
X N 高二(1)班有40名同学,一次数学考试的成绩,理论上说在130分~140分之间的人数约为( )
A ．8
B ．9 C. 6 D ．10
8. 如果把一个多边形的所有便中的任意一条边向两方无限延长称为一直线时,其他个边都在此直线的同旁,那么这个多边形就叫凸多边形.平行内凸四边形由2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸16变形的对角线条为( ) A ．65 B ．96 C.104 D ．112 9. 函数2
()sin ()f x x x x R π
=
-∈的部分图象是( )
A B C D
10. 某学校高三年级有2个文科班,3个理科班,现每个班指定1人对各班的卫生进行检查,若没办只安排一人检查,且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班,则不同安排方法的种数是( )
A ．24
B ．48 C. 72 D ．144
11.已知双曲线:C 22
22(0)x y a b a b ->>右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ,F
为其右焦点,若0AF BF •=u u u r u u u r ,设BAF θ∠=,且5(,)412
ππ
θ∈,则双曲线C 离心率的取值范围
是 ( )
A ．2,2]
B ．[2,)+∞ C. 2,)+∞ D ．(2,)+∞ 12. 已知函数()x a
f x x e
-=+ ，()214a x
g x x -=+ (其中e 为自然对数的底数),若存
在实数0x ,使00()()4f x g x -=成立,则实数a 的值为( ) A ．ln21- B ．1ln2- C. ln 2 D ．ln 2-
二、填空题：
13.若直线y kx =与曲线x
y x e -=+相切,则k = ． 14.若2
41(1)()()n y x n N x y
*
+-
∈的展开式中存在常数项,则常数项为 ． 15.五一假期间,小明参加由某电视台推出的大型户外竞技类活动,该活动共有四关,若四关都闯过,则闯关成功,否则落水失败.小明闯关一至四关的概率一次是78,57,23,3
10
,则小明闯关失败的概率为 ． 16.已知1x 、2x 、3x 是函数()ln ()x kx
f x x x k R e
=
-+∈的三个极值点,且1230x x x <<<,有下列四个关于函数()f x 的结论:①2
k e >；②21x =；③13()()f x f x =；④()2f x >恒成立,
其中正确的序号为 ．
三、解答题 ：
17. 已知命题p ：方程
22
167x y m m +=+-表示双曲线，命题q ：x R ∃∈，22210mx mx m ++-≤.
（Ⅰ）若命题q 为真，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）若p q ∨为真，q ⌝为真，求实数m 的取值范围.
18. 如图所示ABCD 中，//AD BC ，AD DC AB ==，60ABC ∠=︒，将三角形ABD 沿BD 折起，使点A 在平面BCD 上的投影G 落在BD 上.
（Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面ABD ；
（Ⅱ）求二面角G AC D --的平面角的余弦值.
19. 为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系.某重点高中数学教师对高三年级的50名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有22人，余下的人中，在高三年级模拟考试中数学平均成绩不足120分钟的占4
7
，统计成绩后，
分数大于等于120分钟 分数不足120分
合计 周做题时间不少于15小时
4 22 周做题时间不足15小时 合计
50
（Ⅰ）请完成上面的列联表，并判断能否有99%以上的把握认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”； （Ⅱ）（ⅰ）按照分层抽样，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；
（ii ） 若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
20. 已知椭圆C ：22
213
x y a +
=的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足113e
OF OA AF
+=，其中O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点（0,1）的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求OMN ∆面积的最大值.
21. 已知函数1
()ln sin f x x x θ
=
+在[1,]+∞上为增函数，且(0,)θπ∈.
（Ⅰ）求函数()f x 在其定义域内的极值；
（Ⅱ）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得000
2()e
kx f x x ->成立，求实数k 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t α
α=+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数，0απ<<），曲线C 的极坐标方程为
4
tan sin ρθθ
=
•.
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P 的直角坐标为(2,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且28PA PB •=，求tan α的值.
23.选修4-5：不等式选讲 已知()f x x a =-，a R ∈.
（Ⅰ）当2a =时，求不等式()276f x x +-≥的解集；
（Ⅱ）若函数()()5g x f x x =--的值域为A ，且[1,2]A -⊆，求a 的取值范围.
参考答案：
一、选择题
1-5: CADAC 6-10: BBCDA 11、12：BD 二、填空题
13. 1e - 14. 45 15.
7
8
16.②③④ 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵命题q 为真，
当0m >时，2
(2)4(21)0m m m ∆=--≥，∴01m ≤≤，故01m <≤； 当0m =时，10-≤，符合题意；
当0m <时，22210mx mx m ++-≤恒成立. 综上，1m ≤.
（Ⅱ）若p 为真，则(7)(6)0m m +-<，即76m -<<. ∵若p q ∨为真，q ⌝为真，∴p 真q 假， ∴1
67
m m >⎧⎨
-<<⎩，解得17m <<.
18. 解：（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD 中，可设2AD CD AB ===，可求出23BD =，
4BC =，
在BCD ∆中，222BC BD DC =+，∴BD DC ⊥， ∵点A 在平面BCD 上的投影G 落在BD 上， ∴AG ⊥平面BCD ，∴AG CD ⊥，
又BD DC ⊥，AG BD G =I ∴CD ⊥平面ABD ， 而CD ⊂平面ACD ，∴CD ⊥平面ABD .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD CD ⊥，AG BD ⊥，G 为BD 中点，建立如图所示的空间坐标系，设
2AD CD AB ===，
结合（Ⅰ）计算可得：(0,0,0)D ，(0,2,0)C ，3,0,0)G ，3,0,1)A ，(0,0,1)GA =u u u r ，(3,2,1)GC =-u u u r
，
设1111(,,)n x y z =u r 是平面AGC 的法向量，则111
0320z x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取
13,0)n =u r .(0,2,0)DC =u u u r
，设2222(,,)n x y z =u u r 是平面ACD 的法向量，则
2
22
y
z
=
⎧⎪
+=
，
取
2
n=
u u r
.
设二面角G AC D
--
的平面角为，则
12
cos cos,n n
θ=<>==
19. 解：（Ⅰ）
∵
2
2
50(1816124)
7.792 6.635
30202228
K
⨯-⨯
=≈>
⨯⨯⨯
∴有99%以上的把握认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”
（Ⅱ）（ⅰ）由分层抽样知大于等于120分的有3人，不足120分的有2人.
X的可能取值为0,1,2，
2
16
2
20
12
(0)
19
C
P X
C
===，
11
416
2
20
32
(1)
95
C C
P X
C
•
===，
2
4
2
20
3
(2)
95
C
P X
C
===，
（ⅱ）设从全校大于等于120分钟的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不到好于15小时的人数为随机变量，
由题意可知~
Y B（25,0.6），
故()15
E Y=，()6
D Y=.
20. 解：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则OF c
=，OA a
=，AF a c
=-.
所以
113e
c a a c
+=
-
，其中
c
e
a
=，又222
3
b a c
==-，联立解得2
a=，1
c=.
所以椭圆C的方程是
22
1
43
x y
+=.
（Ⅱ）由题意直线不能与x轴垂直，否则将无法构成三角形.
当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，那么l的方程为1
y kx
=+.
联立l与椭圆C的方程，消去y，得22
(43)880
k x kx
++-=.
于是直线与椭圆由两个交点的充要条件是22
(8)32(43)0
k k
∆=++>，这显然成立.
设点
11
(,)
M x y，
22
(,)
N x y.
由根与系数的关系得122843k x x k +=-
+，12
28
43
x x k =-+.
所以12MN x =
-243k =+，又O 到l
的距离d =所以OMN ∆
的面21243S d MN k ==
+=令2433t k =+≥
，那么S =
=3
≤，当且仅当3t =时取等号. 所以OMN ∆
面积的最大值是3
. 21. 解：（Ⅰ）211()0sin f x x x θ'=-
+≥•在[1,)-+∞上恒成立，即2
sin 1
0sin x x θθ•-≥•.
∵(0,)θπ∈，∴sin 0θ>.故sin 10x θ•-≥在[1,)-+∞上恒成立 只须sin 110θ•-≥，即sin 1θ≥，又0sin 1θ<≤只有sin 1θ=，得2
π
θ=.
由22111
()0x f x x x x
-'=-
+==，解得1x =. ∴当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 故()f x 在1x =处取得极小值1，无极大值. （Ⅱ）构造1212()ln ln e e
F x kx x kx x x x x
+=-
--=--，则转化为；若在[1,]e 上存在0x ，使得0()0F x >，求实数k 的取值范围.
当0k ≤时，[1,]x e ∈，()0F x <在[1,]e 恒成立，所以在[1,]e 上不存在0x ，使得
000
2()e
kx f x x ->
成立. ②当0k >时，2121()e F x k x x
+'=+-2222121()
kx e x kx e e e x x x ++-+++-=
=. 因为[1,]x e ∈，所以0e x ->，所以()0F x '>在[1,]x e ∈恒成立. 故()F x 在[1,]e 上单调递增，max 1()()3F x F e ke e ==--，只要1
30ke e
-->， 解得2
31
e k e
+>
.
∴综上，k 的取值范围是2
31
(
,)e e ++∞. 22. 解：（Ⅰ）当0ρ>时，2
sin 4cos ρθθ=可化为2
2
sin 4cos ρθρθ=， 由sin cos x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩，得2
4y x =.经检验，极点的直角坐标（0,0）也满足此式.
所以曲线C 的直角坐标方程为2
4y x =.
（Ⅱ）将2cos 1sin x t y t αα
=+⎧⎨=+⎩代入24y x =，得22
sin 92sin 4cos )70t t ααα+--=，
所以1227
28sin t t α
=
=，
所以23sin 4α=
，6πα=或56
π
α=，即tan α=或tan α=.
23. 解：（Ⅰ）当2a =时，不等式可化为2276x x -+-≥. 当1x ≤时，不等式可化为(2)(27)6x x ----≥，∴1x ≤； 当7
12
x <<时，不等式可化为(2)(27)6x x ---≥，∴x ∈∅； 当7
2
x ≥
时，不等式可化为(1)(25)6x x -+-≥，∴5x ≥； 综上所述，原不等式的解集为{
1x x ≤或}5x ≥. （Ⅱ）∵5x a x ---≤(5)5x a x a ---=-， ∴()5f x x --=55x a x a ---=-[5,5]a a ∈---.
∵[1,2]A -⊆，51
52a a ⎧--≤-⎪⎨-≥⎪⎩
.
解得1a ≤或7a ≥.
∴a 的取值范围是(,3][7,)-∞+∞U .。