高考数学函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)及答案

高考数学函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)及答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．设函数(){}2
2,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说
法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数
B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤
C ．当x ∈R 时，()()()f
f x f x ≤
D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】
画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可． 【详解】
解：画出()f x 的图象如图所示：
对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确； 对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=； 当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；
当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=； 当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；
对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故
()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；
对D ，取3
2x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31
22
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】
方法点睛：一般地，若()()(){}
min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．
2．下列说法中，正确的有（ ） A ．若0a b >>，则
b a a b
> B ．若0a >，0b >，1a b +=，则11
a b
+的最小值为4 C ．己知()11212
x
f x =
-+，且()()2
110f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为()2,1- D ．已知函数()()
2
2log 38f x x ax =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是
(]11,6--
【答案】BCD 【分析】
利用不等式的基本性质可判断A 选项的正误；将+a b 与
11
a b
+相乘，展开后利用基本不等式可判断B 选项的正误；判断函数()f x 的单调性与奇偶性，解不等式
()()2110f a f a -+-<可判断C 选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a 的不等
式组，解出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，0a b >>，则1a b
b a
>>，A 选项错误； 对于B 选项，
0a >，0b >，1a b +=，
()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫
∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当12a b ==
时，等号成立，所以，11
a b
+的最小值为4，B 选项正确； 对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ， 任取1x 、2x R ∈且12x x <，则21220x x >>， 所以，
()()()()
2112121
2121
1111122021221221212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，
即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，
()()()()
2211112212221212x
x
x x
x f x -+-=-==+++， 则()()()()()
()2121221
2122212221x x x x x x x x f x f x --------=
===-+⋅++， 所以，函数()f x 为R 上的奇函数，且为减函数， 由()(
)2
110f a f a
-+-<可得()()()2
2
111f a f a f a
-<--=-，
所以，211a a -<-，即220a a +-<，解得21a -<<，C 选项正确； 对于D 选项，对于函数()()
2
2log 38f x x ax =-+，令238u x ax =-+，
由于外层函数2log y u =为增函数，则内层函数238u x ax =-+在[)1,-+∞上为增函数，
所以min 16380
a
u a ⎧≤-⎪⎨⎪=++>⎩，解得116a -<≤-，D 选项正确.
故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；
（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
3．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（ ） A ．634z x y << B ．
121
x y z
+= C ．4x y z +> D ．24xy z <
【答案】AC 【分析】
令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：
111
log 3log 4log 12m m m x y z
===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】
由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：
111
,,log 3log 4log 12
m m m x y z ===，
由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111
x y z
+=，故选项B 错误； 对于选项A ，
124
log 12log 9log 03
m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064
m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；
对于选项C ､D ，因为111x y z +=，所以xy
z x y =+，所以()
()
()
()
2
2
2222
2
440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--=
=-
<++，
所以2
4xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；
故选：AC. 【点睛】
本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本
题解题的关键在于令34121x
y
z
m ===>，进而得
111
,,log 3log 4log 12
m m m x y z ===，再根据题意求解.
4．定义在R 上的函数()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--,若()f x 在区间
[1,)-+∞上为增函数,且存在20t -<<,使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式一定成立的是( )
A ．2
1
(1)()2
f t t f ++> B ．(2)0()f f t ->> C ．(2)(1)f t f t +>+
D ．(1)()f t f t +>
【答案】ABC 【分析】
先由()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--推出()f x 关于1x =-对称，然后可得出B 答案成立，对于答案ACD ，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可 【详解】
因为()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--
所以(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= 所以()f x 关于1x =-对称，所以(0)(2)f f =- 又因为()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数，20t -<< 所以(0)(2)()f f f t =-> 因为(0)()0f f t ⋅<
所以()0,(2)(0)0f t f f <-=>
所以选项B 成立
因为2
2311
20224
t t t ⎛⎫++-=++> ⎪⎝⎭
所以21t t ++比
1
2
离对称轴远 所以2
1(1)()2
f t t f ++>，所以选项A 成立 因为()()2
2
32250t t t +-+=+>
所以32t t +>+，所以2t +比1t +离对称轴远 所以(2)(1)f t f t +>+，即C 答案成立
因为20t -<<，所以()()2
2
2123t t t +-+=+符号不定 所以2t +，1t +无法比较大小，所以(1)()f t f t +>不一定成立 所以D 答案不一定成立 故选：ABC 【点睛】
本题考查的是函数的性质，由条件得出()f x 关于1x =-对称是解题的关键.
5．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]
a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数
()21f x x =-，则（ ）
A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”
B ．1122⎡-⎢⎣⎦
是()f x 的一个“完美区间”
C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+
D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+【答案】AC 【分析】
根据定义，当[]
0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项. 【详解】
对于A ，当[]
0,1x ∈时，()2
2
11f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的
范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；
对于B ，因为函数()210f x x =-≥，所以其值域为[
)0,+∞
，而
102
-<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；
对于C ，由定义域为[
]
a b ，，可知0a b ≤<， 当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()22
11f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递
减，
则满足()()2
2
11f a a b f b b a
⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，
解得a b =（舍）或1a b +=， 由2
1
1
a b a b +=⎧⎨
+=⎩解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为
()22b a -=；
当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]
a b ，的值域为[]
a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()2
1f b b b =-=，即满足
2
10b b --=
，解得b =
b =.
所以此时完美区间为⎡⎢⎣⎦
，则“复区间长度”为(
)12212
b a +-=⨯
=+ ②若1a ≤，则()2
1f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]
a b ，内单调递增，若()
f x 的值域为[]a b ，，则()()2
2
11f a a a
f b b b
⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，
解得112x =
，2x =，
所以a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美
区间.
综上可知，函数()2
1f x x =-的“复区间长度”
的和为213++=C 正确，
D 错误； 故选：AC.
【点睛】
本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.
6．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5π
ω
个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A ．f (x )的图象关于直线2
x π=
对称
B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点
C ．f (x )在(0,
)10
π
上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510
) 【答案】CD 【分析】
利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10π
ω
上递增，且
31010π
π
ω
<
，可知C 正确. 【详解】
依题意得()()5f x g x πω=+
sin[()]5x πωω=+sin()5
x πω=+， 2T πω=，如图：
对于A ，令5
2
x k π
π
ωπ+=+
，k Z ∈，得310k x π
π
ω
ω
=
+
，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x π
π
ω
ω
=
+
(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω
=-
+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω
≤<，解得1229
510ω≤<，所以D 正确；
对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω
上递增，因为29310ω<
<，所以33
(1)0101010πππωω
-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；
故选：CD. 【点睛】
本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.
7．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22
,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪
=-⎨⎪-+<≤⎩
，下列叙述正确的
是（ ）
A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根
B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >
C ．若当(0,]x a ∈时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2
a ∈ D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32
m =- 【答案】AC 【分析】
根据奇函数()()f x f x -=-，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案 【详解】
函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：
2
22
,22322,20()0,022,022
,223
x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪
==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩
绘制该函数的图象如所示：
对A ：如下图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确；
对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误； 对C ：如下图直线2:1l y =，与函数图交于5(1,1),(,1)2
， 故当()f x 的最小值为1时有5[1,]2
a ∈，故C 正确
对D ：3()2f x =
时，函数的零点有136x =、212x =+、2
12
x =-； 若使得其与()f x m =的所有零点之和为0，
则32
m =-
或3
8m =-，如图直线4l 、5l ，故D 错误
故选：AC 【点睛】
本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立
8．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得
()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确
的命题是（ ）
A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；
B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；
C ．函数2()f x x =不是回旋函数；
D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，
上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】
A.利用回旋函数的定义即可判断；
B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；
C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；
D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】
A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；
B.若指数函数()01x
y a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，
故B 不正确；
C.若函数()2
f x x =是回旋函数，则()2
20x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则
必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；
D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有
()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间()
,2x x +
上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]
0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】
本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.
9．已知函数()22,21
ln 1,1x x f x x x e +-≤≤⎧=⎨-<≤⎩
，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解
()1212,x x x x <，则
()212)x x f x -（的取值可能是（ ） A ．3- B ．1-
C ．0
D ．2
【答案】BC 【分析】
利用函数的单调性以及已知条件得到1122
,e ,(1,0]2
m m x x m +-=
=∈-，代入()212)x x f x -（，令12
1(),(1,0]2
x g x xe x x x +=-
+∈-，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围. 【详解】
因为()f x m =的两根为()1212,x x x x <， 所以1122
,e ,(1,0]2
m m x x m +-=
=∈-， 从而()()2
11
212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪
⎝⎭
． 令1
21
(),(1,0]2
x g x xe
x x x +=-+∈-， 则1
()(1)1x g x x e x +'=+-+，(1,0]x ∈-．
因为(1,0]x ∈-，
所以1010,1,10x x e e x ++>>=-+>， 所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立， 从而()g x 在(1,0]-上单调递增． 又5(0)0,(1)2
g g =-=-， 所以5(),02g x ⎛⎤
∈-
⎥⎝⎦
，
即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤
- ⎥⎝⎦
， 故选：BC ． 【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数
121
(),(1,0]2
x g x xe x x x +=-+∈-，利用导数求取值范围是解决本题的关键.
10．已知函数22,0
()(2),0
x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 在区间[2,4]上是减函数
B ．(2020)(2021)1f f +=
C ．若方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根，则11,46m ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭
D ．若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点(
)*
8,i x i i N ≤∈，则8
1
16i i x ==∑
【答案】BCD 【分析】
对于A ，画出函数的图象即可判断；对于B ，由函数的周期性可计算求解；对于C ，方程
()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5
个交点，画出图形即可判断求解；对于D ，函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，由对称性可求解. 【详解】
由题可知当0x ≥时，()f x 是以2为周期的函数，则可画出()f x 的函数图象，
对于A ，根据函数图象可得，()f x 在()2,3单调递增，在()3,4单调递减，故A 错误； 对于B ，()()()2020020f f f ==-=，()()()2021111f f f ==-=，则
(2020)(2021)1f f +=，故B 正确；
对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线
1y mx =+有5个交点，如图，直线1y mx =+过定点()0,1A ，观察图形可知
AB AC k m k <<，其中()()4,0,6,0B C ，则11,46AB AC k k =-=-，故11,46m ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭
，故
C 正确；
对于D ，若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，如图，可知这八个零点关于2x =对称，则
8
1
4416i
i x
==⨯=∑，故D 正确.
故选：BCD. 【点睛】
关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想可快捷解决问题.
11．已知()()()52
log 1,1
22,1
x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程12f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
()1a <的实根
个数可能为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】ABC 【分析】
画出()f x 的图像，由1a <，可分类讨论01a <<，0a =，0a <三种情况，令
1
2t x x =+
-，并画出图像，结合两个函数图像以及12f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
，判断出实根个数
构成的集合. 【详解】
画出()f x 的图像如图所示，令1
2t x x
=+
-，画出图像如图所示. 由()5log 11t -=，解得：4544,5
t t =-=
，由()2
221t --+=，解得671,3t t ==.. 由()5log 10t -=，解得：80t =，由()()2
2201t t --+=≥，解得922t = （1）当01a <<时，()f t a =，有3解，且40t -<<或4
05
t <<或322t <<+合12t x x =+
-的图像可知，40t -<<时没有x 与其对应，4
05
t <<或322t <<
每个t 都有2个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
有4个实数根. （2）当0a =时，()f t a =，有2解，且0t =或22t =+，0t =有一个1x =与其对应，22t =+有两个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
有3个实数根. （3）当0a <时，()f t a =，有1解，且22t >+，结合1
2t x x
=+
-的图像可知，每个t 有两个x 与其对应，故此时1
2f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
有2个实数根.
综上所述，关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-=
⎪⎝⎭
的实根个数构成的集合为{2,3,4}. 故选：ABC
【点睛】
方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后
在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
12．对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正实数a ，b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ）
A ．()x
f x e =
B ．()f x =
C ．()()2
sin f x x
=
D ．()sin f x x x =⋅
【答案】BCD 【分析】
假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 恒成立的条件，并判断,a b 的存在性，即可得出结论. 【详解】
对于A. ()()f x a f x b +≤+可化为
22()()11x a x a x x b ++++≤+++，22ax a a b ≤--+
0a >，不等式在x ∈R 上不恒成立，
所以2
()1f x x x =++不是“控制增长函数”； 对于B. ()()f x a f x b +≤+可化为，
b ≤，即2||||2x a x b +≤++恒成立.
又||||x a x a +≤+，故只需保证2||||2x a x b +≤++.
2
0,2a b b b
->≥ ，当220a b -≤时，
b ≤恒成立，
()f x ∴=“控制增长函数”；
对于C.
()21()sin 1,()()2f x x f x a f x -≤=≤∴+-≤，
2b ∴≥时，a 为任意正数，()()f x a f x b +≤+恒成立， ()2()sin f x x ∴=是“控制增长函数”；
对于D. ()()f x a f x b +≤+化为，
()sin()sin x a x a x x b ++≤+，令2a π= ，
则(2)sin sin ,2sin x x x x b x b ππ+≤+≤，
当2b π≥时，不等式()sin()sin x a x a x x b ++≤+恒成立，
()sin f x x x ∴=⋅是“控制增长函数”.
故选：BCD 【点睛】
本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再
不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.
13．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2a
b +=
C ．223a b +>
D ．01ab <<
【答案】ABD 【分析】
在同一坐标系中分别作出函数2x
y =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函
数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】
由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，
函数2x
y =与2log y x =互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数2x
y =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，
则(
),2
a
A a ，()2
,log B b b .
由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，
则2a b +=，22log 2a
b +=.因为0a >，0b >，且a
b ，
所以2
012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭
，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且13
2022
f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭
，(1)10f =>， 所以
1
12
a <<.
因为22222
1(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<
⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】
方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.
14．对于函数()9
f x x x
=+
，则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内是奇函数
B ．函数()f x 的值域是(][
),66,-∞-⋃+∞ C ．()12,0,3x x ∀∈，12x x ≠，有
()()1212
0f x f x x x ->-
D ．对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()12121
22
x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
【答案】ABD 【分析】
根据函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，利用基本不等式求()f x 的值域，设
1203x x <<<，根据解析式判断()()12,f x f x 的大小，进而确定
()()1212
,0f x f x x x --的大
小关系，应用作差、作商法判断12122,2()()f x f x x x f +⎛⎫
⎪+⎝⎭
大小关系，进而确定各项的正误. 【详解】
A ：由解析式知：定义域为0x ≠，99
()()()f x x x f x x x
-=-+=-+=--，即()f x 在定义域内是奇函数，正确； B ：当0x >时，(
)96f x x x =+
≥=当且仅当3x =时等号成立；当0x <时有0x ->，(
)9[()()]6f x x x
=--+-≤-=-当且仅当3x =-时等号成立；
故其值域(][
),66,-∞-⋃+∞，正确；
C ：当1203x x <<<时，()()1212121212
999()(1)f x f x x x x x x x x x -=-+
-=--，而
120x x -<，12910x x -
<，则()()120f x f x ->，所以()()1212
0f x f x x x -<-，错误； D ：若120x x >>，1212
123622x x f x x x x +⎛⎫
=++
⎪+⎝⎭
，121212
99
()()f x f x x x x x +=++
+，所以121212123699()()]2[()2f x f x x x x x x x f +⎛⎫
- ⎪⎝+=-++⎭，而12122
121236
4199()x x x x x x x x +=<++，即()()1212122
x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，正确； 故选：ABD 【点睛】
关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大小，判断各选项的正误.
15．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（ ） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅
B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+
C ．1212
()()f x f x x x --＞0
D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
【答案】BC 【分析】
由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ． 【详解】 对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误； 对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确； 对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()
1212
0f x f x x x -∴
->，故C 正确；
对于D ，
()1212,0x x x x >≠
，利用基本不等式知
1122lg 22x x x x f +⎛⎫
> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭
()()
(
)221121lg lg lg 222
f x f x x x x x +=
==+()()12122
2f x f x x x f ++⎛⎫>
⎪⎝⎭
，故D 错误； 故选：BC 【点睛】
关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，
解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即
2
1lg lg 2
x x =+合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
16．设函数2,0()1
2,0
2x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩
，对关于x 的方程2
()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（ ）．
A
．当2b =-+1个实根 B ．当3
2
b =
时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则
17
210
b <≤ D ．若方程有6
个不等实根，则322
b -+<< 【答案】BD 【分析】
先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】
函数()2
2,0,0()132,01,022x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪
==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩
，作图如下：
由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦，令()f x t =，则3,2
t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦
，则方程转化为
2
20b bt t +-=-，即2
2
2()22204b b t t b t t b b ϕ⎛
⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭
选项A 中，223b =-+时方程为(2
2234230t t -+-=+，即(2
310t +=，
故31t =，即131,12()f x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A
错误； 选项B 中，32b =
，方程即2
31022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12
t =，当()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1
()2
f x t ==
时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；
选项C 中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）122
b
t t ==
，则31,22b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或
10,22b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2
204
b b +--=，即2480b b -+=，解得223b =-±，132b =-2）12t t ≠时，即(]123
,,02
t t =∈-∞或(]12,,0t t ∈-∞.①当(]123,,02t t =∈-∞时132t =，代入方程得2
220332b b +⎛⎫-⋅ ⎪⎝-=⎭
，解得1710b =
，由123210t t b =-=，得(]21
,05
t =∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t ∈-∞时220b bt t +-=-，则()2420b b ∆=-->，1220t t b =-≥，
120t t b +=<，解得223t <--，故C 错误；
选项D 中，方程有6个不等实根，则1211,1,,122t t ⎛⎤⎛⎤
∈∈
⎥⎥⎝⎦⎝⎦
且12t t ≠，
2
2
2
()
2422b b
t t b
t t b b ϕ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
+-=+-图象如下：
需满足：()2
193
024*********b b b b b ϕϕϕ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪
=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-< ⎪⎪⎝⎭
⎩，解得：32232b -+<<，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】 关键点点睛：
本题解题关键在于对方程2
()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次
方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.
17．定义域和值域均为[]
,a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中
0a c b >>>，下列四个结论中正确有（ ）
A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解
B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解
C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解
D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解
【答案】ABD 【分析】
通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.
【详解】
由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；
当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，
方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，
方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，2
0t =，3t b =，
方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；
对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】
思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；
（3）确定直线()1,2,3,
,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、
2a 、3a 、
、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a +++
+.
18．已知函数22(2)log (1),1()2,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根
1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）
A ．12m <≤
B ．11sin cos 0x x ->
C ．3441x x +>- D
．22
12log m
x x ++10
【答案】ACD 【分析】
画出()f x 的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x 的取值范围，利用特殊值确定B 选项错误，利用基本不等式确定CD 选项正确. 【详解】
画出()f x 的图象如下图所示，
由于关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<， 由图可知12m <≤，故A 选项正确. 由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12
122,42
x x x x +=-+=-， 由(
)
()2
2221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，
所以1232,21x x -≤<--<≤-，
3324π-<-
<-，当134x π=-
时，1212sin cos ,sin cos 02
x x x x ==--=，所以B 选项错误. 令()()2
22
1x m x +=≤-，()2
2log 2log 1x m m m +==，()2
2log 21m x +=，
(
)2
22log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，
所以()
2
11log 22m x =
+
，或()2
21log 22m x =
+，
故()()
2
222
12112
11
log 422m x x x x x ++=+--+
+
()()
2
12
1122881022x x =++
+≥=+，
当且仅当()()
2
112
11
522,222x x x +=
=-+时等号成立，故D 选项正确. 由图象可知()()2324log 1log 1x x +=-+，
()()2324log 1log 10x x +++=，()()34111x x +⋅+=，4433111,111
x x x x +=
=-++， 由()()2log 111x x +=>-，解得1x =或1
2
x =-，
由()()2log 121x x +=>-，解得3x =或3
4
x =-， 所以3431
,1342
x x -
≤<-<≤， ()34333311
44145111
x x x x x x +=+
-+=-+++
()3321511
41
x x +≥+⋅
-=-①. 令()()21134,1,142
1x x x x +=
==-++或12x =-，
所以①的等号不成立，即3441x x +>-，故C 选项正确. 故选：ACD
【点睛】
求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.
19．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()001
12
f x f x =+=-
，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）
A ．0112f x ⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．()f x 的最小正周期为3
D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为
1346个 【答案】AC 【分析】
根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得
052,6
x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6
x k k Z π
ωϕπ++=-
∈，两式相减可求出ω，进而求得
周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】
解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫
+
=- ⎪⎝⎭
，所以A 正确； 因为()()001
12
f x f x =+=-
， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令05
2,6
k k Z ωϕππ+=-
∈， ()012,6
x k k Z π
ωϕπ++=-∈，
两式相减得，23
πω=， 所以23T π
ω
=
=，即B 错误，C 正确；
因为3T =，
所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，
()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.
故选:AC . 【点睛】
本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．
20．已知函数1(),f x x x =+
221
()g x x x
=+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ⋅的最小值为2
【答案】BC 【分析】
利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】
2211()()f x g x x x x x
+=+
++ ()
22
221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-+
+-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错；
221(1)()x x x
f x x
g x ⎛
⎫+
⋅+ ⎪⎝
⋅=⎭
()()22221
111()()f x x x x x
g x x x x x ⎛⎫⎛
⎫-+
⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭-⎝∴-⋅-=⎭
()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅ ()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对；
2211()()224f x g x x x x x +=+
++≥+=，当且仅当1
x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对；
221
(1)()x x x
f x x
g x ⎛
⎫+
⋅+ ⎪⎝
⋅=⎭
令1
t x x
=+
()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅= []232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t ->
，得t >
t <2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增
∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错
故选：BC. 【点睛】
本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.。