函数连续极限测试题

函数极限与连续测验题
姓名 学号 计分
一、 填空题（每小题3分，共18分）
1
．(lim sin x →+∞= 。

2．已知21lim 31
x x bx c x →++=-，则常数b = ，c = 。

3．已知cos ,||1()2|1|,||1
x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，则x = 为()f x 的间断点，且为第 类间断点。

4．已知函数sin ,0(),0x e x f x x x βα⎧+>⎪=⎨⎪≤⎩
连续，则常数α= ，β= 。

5．当0x +→
是x 的 阶无穷小。

6．236
34(21)(34)lim (61)
x x x x →∞--=+ 。

二、选择题（每小题2分，共20分）
1、在区间(,)-∞+∞内方程1142
||||cos 0x x x +-=（ ）
（A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根
（C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 2．设数列的通项为*1,21(),2n n k x k N n n n k
⎧=+⎪=∈⎨⎪=⎩，则当n →+∞时，n x 为（ ）
（A ）无穷小量 （B ）无穷大量 （C ）有界量 （D ）无界量
3．当0x →时，tan sin x x -是3x 的（ ）
（A ）低阶无穷小 （B ）高阶无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）同阶无穷小
4．已知()f x 与()g x 在()x -∞<<+∞上连续，且()()f x g x <，则有（ ）
（A ）()()f x g x ->- （B ）lim ()lim ()x x f x g x →∞→∞
<
（C ）00lim ()lim ()x x x x f x g x →→< （D ）lim ()lim ()x x f x g x →∞→∞
≤ 5．当1x →时，函数1211()1
x x f x e x --=-的极限（ ） （A ）为∞ （B ）不存在 （C ）等于2 （D ）等于0
6．下列说法正确的是（ ）
（A ）两个无穷大量之和一定是无穷大
（B ）有界函数与无穷大量的乘积一定是无穷大
（C ）初等函数在定义域内连续
（D ）一个函数的极限为A ，则表示函数值越来越接近于A
（E ）同一过程的无穷大与无穷大之积一定是无穷大
（F ）不是无穷大量的一定是有界量
（G ）无界一定是无穷大
（H ）无穷大一定无界
7．设()f x 则0
,lim ()x f x →=（ ） （A ）1 （B ）不存在 （C ）2e - （D ）2e
8． 函数1
22(1)()2
x x f x e x x --=+-的第一类间断点的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ） 3 （D ） 0
9. 已知0lim 2(3)
x x f x →=，则0(2)lim x f x x →=（ ） （A ）16 （B ）13 （C ）12
（D ） 4 10. 一下几种叙述能否作为函数极限0
lim ()x x f x A →=的定义（ ） （A ）0,0,εδ∀>∃>当00||x x δ<-<时，恒有|()|f x A ε-<
（B ）0,0,εδ∀>∃>当00||x x δ<-<时，恒有|()|(0)f x A k k ε-<>为常数
（C ）+,0,n δ∀∈∃>N 当00||x x δ<-<时，恒有1|()|f x A n -<
（D ）+0,,n ε∀>∃∈N 当010||x x n
<-<时，恒有|()|f x A ε-< （E ）0,0,δε∃>∀>当00||x x δ<-<时，恒有|()|f x A ε-<
（F ）0,0,δε∀>∃>当00||x x δ<-<时，恒有|()|f x A ε-<
（G ）当x 充分靠近0x 时，()f x 越来越接近A
三、 计算题（每小题5分，共25分）
1
．10lim x
x +→； 2．sin 22sin 20lim ln(1)
x x
x e e x x →-+； 3．lim 2sin 2n n
n x →+∞； 4. 试确定常数,λμ
使下面等式成立)
lim
0.x x λμ→+∞-= 5. 11042|sin |lim .1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭ 四、已知函数()lim n n
n n
n x x f x x x --→+∞-=+，讨论函数()f x 的连续性，并作出函数()f x 的图形。

（8分）
五、已知函数()f x 在(,]a b 上连续，且lim ()x a
f x +→存在。

证明()f x 在(,]a b 上有界。

（6分）
六、设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =，试证对任何自然数n ，必存在一点
1[0,1]c n ∈-，使1()()f c f c n
=+。

（8分） 七、设0(,)x a b ∈，在[,]a b 上恒有0()()f x f x ≤，且极限000
()()lim x x f x f x x x →--存在，证明：000
()()lim 0x x f x f x x x →-=-。

（7分） 八、设()f x 在[0,]n 上连续，且分(0)()f f n =（n 为正整数）。

证明：必存在[0,)n ξ∈使得(1)()f f ξξ+=。

（8分）
附加题：有兴趣的同学可以做
设有复合函数[()]y f x ϕ=，其中()u x ϕ=在0x 的去心邻域00U ()x 内有定义，0()x u ϕ≠，且00lim ()x x x u ϕ→=．又()y f u =在0u 的去心邻域00U ()u 内有定义，且0lim ()u u f u A →=．则极限0lim [()]x x f x ϕ→存在，且00
lim [()]lim ()x x u u f x f u A ϕ→→==．。