2006年第47届国际数学奥林匹克竞赛试题及答案

ACB)=∠IBC+∠
四点共圆．但由内外角平分线相垂直知
的中点O为圆心．由于
，PO=IO，故
与圆周的交点即P=I时成立．
的一条对角线称为好的，如果它的两端点将
1
-+，其中
2x
mε
()(((())))Q x P P P x =，其中 P 出现k 次．证明，最多存在 n 个整数t ，使得()Q t t =．
证：若Q 的每个整数不动点都是 P 的不动点，结论显然成立．
设有整数0x 使得00()Q x x =，00()P x x ≠．作递推数列 1()(012)i i x P x i +==，，．它
以 k 为周期．差分数列1(12)i i i x x i -∆=-=，
，的每一项整除后一项．由周期性及10∆≠，所有||i ∆ 为同一个正整数u ．令
121111min{}m k m m m m m m x x x x u x x x x x x -++-==-=-=，，，，，．
数列的周期为 2．即0x 是 P 的2-周期点．
设 a 是P 的另一个2-周期点，() b P a =(允许b =a )．则0a x -与1b x -互相整除，故01||||a x b x -=-，同理01||||b x a x -=-．展开绝对值号，若二者同取正号，推出01x x =，矛盾．
故必有一个取负号而得到01a b x x +=+．记01x x C +=，我们得到：Q 的每个整数不动点都是方程 ()P x x C +=的根．由于P 的次数n 大于 1，这个方程为n 次．故得本题结论．。