青岛版七年级下册数学-完全平方公式素养提升练习(含解析)

第12章　乘法公式与因式分解
12.2　完全平方公式
基础过关全练
知识点　完全平方公式
1.运用完全平方公式计算89.82的最佳选择是( )
A.(89+0.8)2
B.(80+9.8)2
C.(90-0.2)2
D.(100-10.2)2
2.下列各式中计算正确的是( )
A.(5a+3b)2=25a2+9b2
B.(7x-2y)2=49x2-14xy+4y2
C.(4y-3)2=16y2-24y+9
m+1
2n
2
=1
9
m2+1
6
mn+1
4
n2
3.(2023江西中考)化简:(a+1)2-a2= .
4.【新独家原创】若4a2+(m+2)ab+16b2是一个完全平方式,那么m= .
5.计算:(1)(4x+3n)2.
(2)(-3x+y)2.　(3)
.
6.【教材变式·P116T2】(2023湖南邵阳中考)先化简,再求值:(a-
.
3b)(a+3b)+(a-3b)2.其中a=-3,b=1
3
能力提升全练
7.(2023内蒙古赤峰中考,7,★☆☆)已知2a2-a-3=0,则(2a+3)(2a-3)+(2a-
1)2的值是( )
A.6
B.-5
C.-3
D.4
8.【新考法】(2022河北邢台信都期中,9,★★☆)将四个如图1所示的小正方形按图2所示的方式放置在一个边长为a的大正方形中,大正方形的中间恰好空出两条互相垂直,且宽都为b的长方形,根据图2中阴影部分的面积可以验证的公式为( )
A.(a+b)(a-b)=a2-b2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.(a-b)2=(a+b)2-4ab
9.(2023广东汕头潮南一模,7,★★☆)若a+2b=7,ab=6,则(a-2b)2的值是( )
A.3
B.2
C.1
D.0
10.(2023四川凉山州中考,14,★☆☆)已知y2-my+1是完全平方式,则m的值是 .
11.(2023山东济南期中,15,★★☆)如图所示,正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a、b,如果a+b=17,ab=60,那么图中阴影部分的面积是 .
12.(2023陕西师大附中期中,18,)有两个正方形A,B,现将B放在A
的内部得到图①,将A,B并列放置后构造新的正方形得到图②.若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12,则正方形A,B的面积之和为 .
13.【跨学科·美术】(2022浙江温州瓯海期中改编,17,)某中学开展
“筑梦冰雪,相约冬奥”的学科活动,设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福.小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形,设计出“中”字图案,如图所示.若四个正方形的周长之和为48,面积之和为52,则长方形ABCD的面积为 .
14.(2023内蒙古包头中考,17,★☆☆)先化简,再求值:(a+2b)2+(a+2b)(a-
.
2b).其中a=-1,b=1
4
15.(2022山东济南十二中月考,20,★★☆)已知x+y=7,xy=-8,求:
(1)x2+y2的值;
(2)(x-y)2的值.
素养探究全练
16.【推理能力】发现:两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.如(2+1)2+(2-1)2=10,10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和,并验证发现中的结论.
17.【推理能力】(2023山东淄博张店期中)几何图形是一种重要的数学语言,它直观形象,能帮助我们理解代数中的数量关系,而运用代数思想也能巧妙解决几何图形问题.
(1)【观察】图①是一个长为4a,宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形,然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形(如图②).请你写出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系: .
(2)【应用】若m+n=7,m-n=5,求mn的值.
(3)【拓展】如图③,四边形ABCD、四边形NGDH和四边形MEDQ 都是正方形,四边形EFGD和四边形PQDH都是长方形,若
AE=5,CG=10,长方形EFGD的面积是150,设DE=m,DG=n.
(i)填空:mn= ,m-n= .
(ii)求图③中阴影部分的面积.
答案全解全析
基础过关全练
1.C 89.82=(90-0.2)2=902-2×90×0.2+0.22,对90与0.2进行平方运算、乘法运算与加减运算比其他选项更简便.
2.C (5a+3b)2=25a 2+30ab+9b 2,
(7x-2y)2=49x 2-28xy+4y 2,
(4y-3)2=16y 2-24y+9,
m +12n 2=19m2+13mn +14n 2.故选C.
3.2a+1
解析　原式=a 2+2a+1-a 2=2a+1,故答案为2a+1.
4.14或-18
解析　4a 2+(m+2)ab+16b 2=(2a)2+(m+2)ab+(4b)2,因为
4a 2+(m+2)ab+16b 2是一个完全平方式,所以m+2=±2×2×4=±16,所以m=14或-18.
5.解析　(1)(4x+3n)2=(4x)2+2×4x·3n+(3n)2=16x 2+24nx+9n 2.
(2)(-3x+y)2=(-3x)2+2×(-3x)·y+y 2=9x 2-6xy+y 2.
(3)
=(3y)2+2×3y
×-
+-=9y2−2y +1
9.6.解析　(a-3b)(a+3b)+(a-3b)2
=a 2-(3b)2+(a 2-6ab+9b 2)
=a 2-9b 2+a 2-6ab+9b 2
=2a 2-6ab,当a=-3,b=13时,原式=2×(-3)2-6×(-3)×13=2×9−6×(−3)×1
3=18+6=24.
能力提升全练
7.D 原式=(2a)2-32+(2a)2-4a+1
=2×(2a)2-4a-32+1
=8a 2-4a-9+1
=8a 2-4a-8
=4(2a 2-a)-8.
∵2a 2-a-3=0,∴2a 2-a=3,
∴原式=4×3-8=4.
故选D.
8.C 根据题图2可得(a-b)2=a 2-2ab+b 2,故选C.
9.C (a-2b)2
=a 2+4b 2-4ab
=a 2+4b 2+4ab-8ab
=(a+2b)2-8ab,
∵a+2b=7,ab=6,
∴原式=72-8×6=49-48=1.
故选C.
10.±2
解析　∵y 2-my+1是完全平方式,y 2-2y+1=(y-1)2,y 2-(-2)y+1=(y+1)2,∴-m=-2或-m=2,∴m=±2.
11.54.5
解析　根据题意得S 阴影=a 2+b 2-12a2−12b(a+b)
=a 2+b 2-
12a2−12ab−12b 2=12(a 2+b 2-ab)=12[(a+b)2-3ab],
当a+b=17,ab=60时,S 阴影=12×(289-180)=54.5.
12.13
解析　设正方形A 的边长为a,正方形B 的边长为b,由题图①得a 2-b 2-2b(a-b)=1,即a 2+b 2-2ab=1,由题图②得(a+b)2-a 2-b 2=12,即2ab=12,所以a 2+b 2=13.故正方形A,B 的面积之和为13.
13.5
解析　设AB=a,BC=b,由四个正方形的周长之和为48,面积之和为52,可得4a×2+4b×2=48,2a 2+2b 2=52,故a+b=6,a 2+b 2=26,
所以(a+b)2=a 2+2ab+b 2=36,
所以2ab=36-26=10,所以ab=5.
故长方形ABCD 的面积为5.
14.解析　原式=a 2+4b 2+4ab+a 2-4b 2
=2a 2+4ab,
当a=-1,b=14时,
原式=2×(-1)2+4×(-1)×14=2-1=1.
15.解析　(1)x 2+y 2=(x+y)2-2xy =72-2×(-8)=65.
(2)(x-y)2=(x+y)2-4xy=72-4×(-8)=81.
素养探究全练
16.解析　10的一半为5,5=1+4=12+22.
验证结论如下:
设两个已知正整数分别为m,n.
因为(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2),所以(m+n)2+(m-n)2为偶数,且该偶数的一半可以表示为m2+n2,故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
17.解析　(1)由题图②知,大正方形的面积为(a+b)2,中间小正方形的面积为(b-a)2,
大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长、宽分别为b,a的长方形的面积和,
∴(a+b)2-(a-b)2=4ab.
故答案为(a+b)2-(a-b)2=4ab.
(2)已知(a+b)2-(a-b)2=4ab,
故由m+n=7,m-n=5可得72-52=4mn,
∴mn=6.
(3)(i)设正方形ABCD的边长为x,
∴DE=x-5,DG=x-10,
∴(x-5)(x-10)=150,
由题意知m=x-5,n=x-10,
∴m-n=5,mn=150,
故答案为150;5.
(ii)S阴影=(m+n)2=(m-n)2+4mn
=52+4×150
=625,
∴题图③中阴影部分的面积为625.。