2与三角形有关的线段
与三角形有关的线段
与三角形有关的线段
三角形是最简单的几何图形之一，在这种多边形中，有许多与之相关的线段：
1. 三角形的腰线：它是三角形中心点到其任意顶点所确定的线段，也就是两条腰线将三角形分割成两部分。
2. 三角形的角线：它是三角形的内角所对应的三条边的线段，可以用来计算三角形的内角度数。
3. 三角形的直径线：它是三角形的三角边连线的半径线，可以用它来计算三角形的面积。
4. 三角形的三边线：它们连接三角形的三个顶点，是三角形的基本元素。
5. 三角形的角平分线：它从三角形的内角出发，连接该角的对边点，可以用它将三角形分割为两个等边三角形。
6. 三角形的外心线：它是三角形三条内角线所连接的线段，用来确定三角形的外心位置。
7. 三角形的垂直线：它是三角形内接圆的半径线，可以使用它来求出三角形的外接圆半径。
8. 三角形的对边线：用来连接三角形的两条对边，可以用它来求出三角形的内角边长。
9. 三角形的角边线：用来连接三角形的三角边，可以用它来求出三角形的内角度数。
以上就是与三角形有关的线段。
通过弄清楚这些线段及其特征，我们就能够推导出更多三角形的性质，从而更好地描述三角形。
《与三角形有关的线段》优质教案教学设计
本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。
在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。
但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。
对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。
对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。
而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。
本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。
2.1.2 与三角形有关的线段预设目标1、掌握三角形的角平分线、中线、高线的概念，2、会画出任意三角形的角平分线、中线、高线，特别注意钝角三角形高的画法。
让学生从实践中得到三角形的三条中线、角平分线、高分别交于一点，直角三角形三条高的交点就是直角顶点，钝角三角形有两条高位于三角形的外部。
教学重难点 1．重点：三角形角平分线、中线、高的概念及其画法。
2．难点：钝角三角形高的画法。
教具准备三角尺、纸片教法学法讲授、讨论、练习教学过程一、复习提问1．什么叫角平分线?如何画一个角的平分线?2．已知A、B分别是直线l上和直线l外一点，分别过点A、点B 画直线l的垂线。
·B·lA二、新授今天我们要学习三角形中的三种重要线段——中线、角平分线和高。
1．三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线。
如图，点D是BC边的中点，即AD是△ABC的中线。
AB D C问：三角形有几条中线?若已知AD是三角形的中线，你可得到什么结论?2．三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线。
如图，∠1=∠2，那么CE是△ABC的角平分线。
AE ∠2B C∠1问：三角形有几条角平分线?三角形的角平分线和角平分线有什么不同?3．三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高。
八年级数学三角形与全等三角形知识点大全
八年级数学三角形知识点归纳一、与三角形有关的线段1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形2、等边三角形：三边都相等的三角形3、等腰三角形：有两条边相等的三角形4、不等边三角形：三边都不相等的三角形5、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角6、三角形分类：不等边三角形等腰三角形：底边与腰不等的等腰三角形等边三角形7、三角形两边之与大于第三边，两边之差小于第三边注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之与大于第三边，则可说明能组成三角形2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之与3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A与它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线11、三角形的稳定性，四边形没有稳定性二、与三角形有关的角1、三角形内角与定理：三角形三个内角的与等于180度。
证明方法：利用平行线性质2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的与4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角5、三角形的外角与为360度6、等腰三角形两个底角相等三、多边形及其内角与1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。
3、内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角4、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角5、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线6、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形7、多边形的内角与：n边形内角与等于（n-2）*1808、多边形的外角与：360度注：有些题，利用外角与，能提升解题速度9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n 边形分成n-2个△注：探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案10、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，n边形共有对角线23)-n(n条。
人教版初二数学上册：与三角形有关的线段(提高)知识讲解
与三角形有关的线段（提高）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类 】 2．三角形的分类 (1)按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的的差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线 1．三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC＝90°.注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)； 要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2．三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔA BC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3．三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝21∠B AC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC 为公共边的“共边三角形”有（ ）.A ．2对；B ．3对；C ．4对；D ．6对；EDC BA【答案】B.【解析】以BC 为公共边的“共边三角形”有：△BDC 与△BEC 、△BDC 与△BAC 、△BEC 与 △BAC 三对．【总结升华】根据新定义和已学过的知识，全面准确的识图．举一反三：【变式】根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n 个图中的三角形的个数是( ).(1) (2)(3)A ．6(n-1)B ．6nC ．6(n+1)D ．12n 【答案】C.类型二、三角形的三边关系2.（2016春•丹阳市期末）若三角形的三边长分别为a 、b 、5，其中a 、b 为正整数，且a ≤b ≤5，则所有满足条件的三角形共有 个．【思路点拨】根据已知条件，得a 的可能值是1，2，3，4，5，再结合三角形的三边关系，对应求得b 的值即可．【答案与解析】解：∵三角形的三边a 、b 、5的长都是整数，且a ≤b ≤5，c 最大为5， ∴a=1，b=5，c=5； a=2，b=4，或5，c=5；a=3，b=3，或4，或5，c=5； a=4，b=4，或5，c=5； a=5，b=5，c=5．故存在以a 、b 、5为三边长的三角形的个数为9个．【总结升华】考查了三角形三边关系，此题要注意根据“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析计算．举一反三：【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成 个不同的三角形.当x 为 时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因为x 为整数，故x 可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11).3.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】三角形边的关系经常用来证明线段之间的不等关系．举一反三：【变式】（2015春•邗江区校级月考）已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b ﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|=．【答案】0.解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，=（a+b+c）﹣（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c），=a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c，=0.类型三、三角形中的重要线段4.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．【高清课堂：与三角形有关的线段例5、】举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、AF．方案2：如答图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如答图(3)，取BC中点D、再取AD的中点E，连接AD、DE、BE、CE．方案2：如答图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离.它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了.【总结升华】要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等.举一反三：【变式】（2014秋•仙桃校级月考）（1）下列图中具有稳定性是（填序号）（2）对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个．（2）如图所示：附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案． 【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ， ∴第三边长的取值范围是：4＜x ＜16， ∴它的第三边长不可能为：17cm ． 故选：D ．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°，（1）求∠BAE 的度数；（2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°．∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°．（2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°．∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．【高清课堂：与三角形有关的角 例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
2020年中考数学教案人教版专题复习：与三角形有关的线段
2020年中考数学人教版专题复习：与三角形有关的线段一、学习目标：1. 了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）；2. 理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形．3. 会画出任意三角形的高、中线、角平分线．4. 了解三角形的稳定性．二、重点、难点：重点：三角形的有关概念和性质． 难点：三角形两边的和大于第三边．三、考点分析：本讲内容在中考中非常重要，但难度不大，要求理解三角形、三角形的高、中线和角平分线的概念，掌握三边关系及按边分类，认识三角形的稳定性并能灵活应用于实际，主要以填空题、选择题、计算题的形式出现． 知识梳理1. 三角形的边（1）三角形的概念和表示方法由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的图形叫做三角形的内角，简称三角形的角．三角形有六个元素：三条边和三个角．ABCabc（2）三角形的分类三角形⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎨⎧底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形AB C AB C AB C（3）三角形三边之间的关系：三角形两边的和大于第三边． 2. 三角形的高、中线和角平分线 （1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．画三角形的高时，只需向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高；三角形的高是线段；三角形的高线（高所在的直线）交于一点．ABC DEF ABC D EFA BCD EF(1)(2)(3)（2）三角形的中线在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．一个三角形有三条中线，且都在三角形的内部，并相交于一点．三角形的中线是一条线段．（3）三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，相交于一点．三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．3. 三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性在生活和生产中应用很广，有很多需要稳定的东西都制成三角形的形状，四边形等其他的多边形不具有稳定性．典例精析知识点一：三角形的有关概念例1. 如图所示，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于E ．F 为AB 上一点，CF ⊥AD 于H ，下列判断正确的有（ ）①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 边AD 上的中线；③CH 是△ACD 边AD 上的高．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个A BCDEFGH12思路分析：题意分析：本题考查对三角形的高、中线和角平分线定义的理解．解题思路：由∠1＝∠2知AD 平分∠BAE ，但AD 不是△ABE 内的线段，所以①错；同理，BE 经过△ABD 边AD 的中点G ，但BE 不是△ABD 中的线段，故②不正确；③符合三角形的高的定义，是正确的． 解答过程：B解题后的思考：解答本题的关键是正确理解三角形的高、中线和角平分线的定义，三角形的高、中线和角平分线是线段，是三角形的一个顶点与这个顶点对边上某点所连的线段．例2. 如图所示，在△ABC 中，AD 、CE 是△ABC 的两条高，且BC ＝5cm ，AD ＝3cm ，CE ＝4cm ，求AB 的长．A BCE思路分析：题意分析：本题考查对三角形的高的定义的理解．解题思路：在解答时，首先要弄清三角形的边与边上的高的对应关系，然后利用三角形面积公式建立等式求解即可．解答过程：在△ABC 中，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，所以S △ABC ＝12AB ·CE ＝12BC ·AD ， 即12AB ×4＝12×5×3，AB ＝154（cm ）．解题后的思考：利用面积相等来求线段的长度是一种特殊方法，这种方法可用于已知三角形的两边和这两边上的高（四条线段中的三条）求第四条线段的长度．例3. 如图，是一个正五边形木架，那么至少需要加钉几根木条才能固定该正五边形木架？思路分析：题意分析：此题考查三角形稳定性的应用．解题思路：这是一个五边形，要把它的各边都分割到三角形中才能将其固定，这样的木条至少需要2根．解答过程：至少需要加钉2根木条．解题后的思考：由于三角形具有稳定性，而其他图形不具有稳定性．因此要确定至少需要几根木条才能固定多边形木架，只需确定该多边形至少能分割成几个互不重叠的三角形．例4. 解答下列问题：（1）△ABC 的中线AD ，把△ABC 分成△ABD 和△ACD ，这两个三角形的面积有什么关系？证明你的结论．（2）你能把一块三角形的土地分成面积相等的四部分分别种西红柿、黄瓜、茄子和土豆吗？画出你的设计图． 思路分析：题意分析：本题考查三角形中线的性质．解题思路：被中线AD 分成的两个三角形△ABD 和△ACD 的边BD ＝DC ，且这两个三角形中，BD 、DC 边上的高相同，所以这两个三角形面积相等．应用这一结论可将一个三角形分成面积相等的四部分，但应注意分法可能有多种． 解答过程：（1）如图所示，因为AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝DC ．过点A 作AE ⊥BC 于E ， 则AE 是△ABD 的高，也是△ADC 的高． 所以S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ． 所以S △ABD ＝S △ADC ．ABCD E（2）方法不唯一，如下图所示．在图①中BE ＝DE ＝DF ＝FC ；在图②中BD ＝DC ，AE ＝BE ，AF ＝FC ；在图③中BD ＝DC ，AE ＝DE ．还有一些其他分法，原理是一样的．AAABBBC C CD D D EFEFE①②③解题后的思考：三角形的中线把一边平分，并且把这个三角形的面积平分．我们常用这个结论来说明两个三角形面积相等．小结：在三角形的有关概念中，应重点掌握三角形的角平分线、中线和高的定义与性质．如：三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，三角形的边与该边上的高的积相等．知识点二：三角形的三边关系例5.已知三角形的三边长分别为3、8、x，若x的值为偶数，则x的值有（）A．6个B．5个C．4个D．3个思路分析：题意分析：本题考查三角形的三边关系．解题思路：x的取值不能太大，因为有3＋8＞x，即x＜11．x的取值也不能太小，因为有3＋x＞8，即x＞5，在这个范围内的偶数有6、8、10，共3个．解答过程：D解题后的思考：解答这个问题要注意两点：①对于x的取值要保证3、8、x能组成三角形，也就是要满足任意两边之和大于第三边．②x的值为偶数．学了不等式的知识后解答本题会更容易一些．例6.以下列长度的三条线段为边，哪些可以构成一个三角形，哪些不能构成三角形？（1）6cm，8cm，10cm；（2）3cm，8cm，11cm；（3）3cm，4cm，10cm；（4）三条线段之比为4∶6∶7．思路分析：题意分析：前三个小题所给线段长度是确定的数值，容易进行决断，第（4）小题的三条线段是比例关系，可以设其长度分别为4x、6x、7x，其中x是任意大于0的常数，再进行判断.解题思路：要构成一个三角形，必须满足任意两边之和大于第三边，在运用时，习惯于检查较小的两边之和是否大于第三边．解答过程：（1）因为6cm＋8cm＞10cm，所以6cm、8cm、10cm能构成三角形．（2）因为3cm＋8cm＝11cm，所以3cm、8cm、11cm不能构成三角形．（3）因为3cm＋4cm＜10cm，所以3cm、4cm、10cm不能构成三角形．（4）设三条线段之比为4x、6x、7x，因为：4x＋6x＞7x，所以三条线段之比为4∶6∶7时，此三条线段能构成三角形．解题后的思考：判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：（1）判断出较长的一边；（2）看较短的两边之和是否大于较长的一边，若是，则能构成三角形，若不是，则不能构成三角形．例7. 在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为12cm 和15cm 两部分，求三角形的各边长． 思路分析：题意分析：△ABC 是一个等腰三角形，它的周长被BD 分成AB ＋AD 和BC ＋DC 两部分，这两部分的长度分别12cm 和15cm ．解题思路：因为中线BD 的端点D 是AC 边的中点，所以AD ＝CD ，造成两部分周长不等的原因是BC 边与AB 、AC 边不等，故应分类讨论．ABCDABC D(1)(2)① ②解答过程：如图①所示，设AB ＝x ，AD ＝CD ＝12x ．（1）若AB ＋AD ＝12，即x ＋12x ＝12，所以x ＝8， 即AB ＝AC ＝8，则CD ＝4． 故BC ＝15－4＝11．此时AB ＋AC ＞BC ，所以三边长为8、8、11．（2）如图②所示，若AB ＋AD ＝15，即x ＋12x ＝15，所以x ＝10． 即AB ＝AC ＝10，则CD ＝5． 故BC ＝12－5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10、10、7．综上所述，此三角形的三边长分别为8、8、11或10、10、7．解题后的思考：由于等腰三角形的腰和底边的长度不相等，所以在求其边长或周长的时候，常要分类讨论．例8. 如图所示，草原上有四口油井，位于四边形ABCD 的四个顶点，现要建一个维修站O ，为了使维修站到四口油井的距离之和最小，试问这个维修站O 建在AC 、BD 的交点处的理由是什么？ABC DO思路分析：题意分析：本题中到A 、B 、C 、D 四个点的距离之和的最小的位置已经给出，要求说出理由． 解题思路：说明这个维修站O 建在AC 、BD 的交点处的理由，就是说明交点O 到A 、B 、C 、D 四点的距离之和最小．可以用举反例的方法说明，取不同于点O 的任意一点O’，说明O’到四个点的距离之和不是最小的就可以了．解答过程：取异于点O 的点O’，根据三角形的两边之和大于第三边有：O’D ＋O’B ＞OD ＋OB ，O’A ＋O’C ＞OA ＋OC ． 所以O’D ＋O’B ＋O’A ＋O’C ＞OD ＋OB ＋OA ＋OC ． 即OD ＋OB ＋OA ＋OC 为最小．ABC DOO'解题后的思考：解答实际应用问题的关键是如何将其转化成所学的数学问题．另外，本题还可从另外一个角度思考，因为两点之间，线段最短，所以对于点A 和点C 来说，只有点O 在线段AC 上时，OA ＋OC 才是最小的，同理，点O 也必须在线段BD 上，所以维修站O 一定要建在AC 和BD 的交点处．小结：三角形的三边关系是三角形的重要性质，也是构成三角形的必要条件，它与不等式的知识是紧密联系在一起的，以后学不等式的时候，同学们要注意记得将它们进行综合学习．提分技巧1.在运用“三角形任意两边的和大于第三边”时，一般情况下，找出较短的两边和最长的边，只判断较短两边的和大于最长的边就可以了，不必一一验证．2.对于三角形的角平分线、中线和高，我们探究出了一些重要性质．如三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；三角形中如果有两条高，在求高或边长时常用等积法．。
与三角形有关的线段(课件)八年级数学上册(人教版)
1
AD×BC＝ BP×AC.
2
2
24
代入数值，可解得BP＝ .
5
【点睛】面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出
面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
（11.1.1-11.1.3）
情景引入
在我们日常生活中经常能看到三角形的影子.
减速慢行
注意儿童
前方村庄
11.1.1 三角形的边
三角形的概念
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三
角形?
A
定义：由不在同一条直线上的三条
线段首尾顺次相接所组成的图形叫
解：
1
2
1
2
（1）由题意得：△ = AB×CE= ×6×9=27cm2 ．
1
2
（2）∵△ = BC×AD，
∴
1
27=
2
×12×AD
解得AD=4.5cm．
思考 已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何
关系？
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的
中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC
把一条线段分成两条相等的线段的点.
3.角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角
的平分线.
思考 你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？
A
B
思考 如何求△ABC的面积？
D
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所
八年级上册数学与三角形有关的线段
八年级上册数学与三角形有关的线段与三角形有关的线段（人教版八年级上册）一、三角形的边。
1. 三角形的定义。
- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 例如，在△ABC中，线段AB、BC、AC是三角形的三条边，点A、B、C是三角形的三个顶点，∠A、∠B、∠C是三角形的三个内角。
2. 三角形的分类。
- 按边分类：- 三边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
- 特别地，三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
3. 三角形三边关系。
- 三角形两边的和大于第三边。
- 三角形两边的差小于第三边。
- 例如，已知一个三角形的三条边分别为a、b、c，则a + b>c，a - c < b等。
- 应用：判断三条线段能否组成三角形。
例如，三条线段的长分别为5、8、3，因为3+5 = 8，不满足两边之和大于第三边，所以这三条线段不能组成三角形。
二、三角形的高、中线与角平分线。
1. 三角形的高。
- 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
- 三角形的三条高所在的直线相交于一点。
- 锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即两条直角边，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。
2. 三角形的中线。
- 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
- 三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。
- 三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形。
因为等底同高的三角形面积相等，中线将对边平分，所以这两个三角形面积相等。
11.1与三角形有关的线段(重难点同步特训)教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示三角形特殊线段的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的积极性。他们能够围绕三角形在实际生活中的应用展开讨论，并提出自己的观点和想法。但在讨论过程中，我也发现部分学生表达不够清晰，逻辑思维能力有待提高。因此，在今后的教学中，我将更加注重培养学生的表达能力和逻辑思维。
另外，今天的课堂氛围较为活跃，学生们积极参与，教学效果较好。但我也注意到，在课堂纪律方面还需加强管理，确保教学活动有序进行。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形的基本概念、三边关系、内角和定理以及特殊线段的性质和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对三角形知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：给出具体的三边长度，让学生判断是否可以构成一个三角形。
与三角形有关的线段教案(教学设计)
与三角形有关的线段【教学目标】1．亲历认识与三角形有关的线段的探索过程，体验分析归纳得出三角形的定义与分类，三角形三边之间的大小关系，三角形的高、中线与角平分线的定义，以及三角形的稳定性，进一步发展学生的探究、交流能力。
2．掌握三角形三边之间的大小关系。
3．熟练运用三角形三边之间的大小关系，三角形的高、中线与角平分线。
【教学重难点】重点：掌握三角形边的性质。
难点：熟练运用三角形三边之间的大小关系，三角形的高、中线与角平分线。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习与三角形有关的线段，这节课的主要内容有：三角形的的定义与分类，三角形三边之间的大小关系，三角形的高、中线与角平分线的定义，以及三角形的稳定性，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解三角形的定义，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习三角形三边之间的大小关系，它的具体内容是三角形两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例1．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长是的等腰三角形吗？为什么？解：（1）设底边长为，则腰长为。
解得所以，三边长分别为。
（2）因为长为的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论。
18cm 4cm xcm 2xcm 2218x x x ++=3.6x = 3.67.27.2cm cm cm ，，4cm如果长的边为底边，设腰长为，则解得如果长的边为腰，设底边长为，则解得因为，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是的等腰三角形。
由上讨论可知，可以围成底边边长是的等腰三角形。
（3）接着，我们再来看下三角形的高、中线与角平分线的定义内容，它的具体内容是从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高。
专题11 三角形(解析版)
专题11 三角形知识点1：与三角形有关的线段1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
知识点2：与三角形有关的角1.三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°2.有两个角互余的三角形是直角三角形。
3.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
4.三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
知识点3：多边形与内角和1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
7.多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°8.多边形的外角和：多边形的内角和为360°。
9.多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
（2）n边形共有23)-n(n条对角线。
三角形是初中数学中几何部分的基础图形，定义、概念、定理、性质比较多，要想深刻理解和吃透知识点很难，所以要有方法和策略。
与三角形有关的线段知识点总结
与三角形有关的线段知识点总结
知识点总结：
1、线段的概念：线段是指两端都有端点，不可延伸的直线。
线段可以用两个大写字母表示，如线段AB。
2、线段的基本性质：
(1)线段是有限长的，可以进行度量。
(2)线段有两个端点，分别是A和B。
(3)线段具有对称性，对称轴为线段的中垂线。
3、线段的中垂线：线段的中垂线是指经过线段两端点，且距离相等的点的集合。
中垂线是线段的对称轴。
4、线段的基本作图：可以作出线段的垂直平分线和线段的中点。
重难点精析：
1、线段的交点问题：两条线段相交，会形成一个交点。
这个交点可以用来进行几何证明和作图。
需要注意的是，交点的位置是唯一的，不会因为不同的作图而产生变化。
2、线段的垂直平分线问题：线段的垂直平分线是指经过线段两端点，且垂直于这条线段的直线。
垂直平分线的性质是解决线段问题的重要工具。
例如，可以利用垂直平分线的性质证明两个三角形全等。
3、线段的中垂线问题：线段的中垂线是线段的对称轴，也是线段上所有点的均匀分布。
可以利用中垂线的性质证明三角形全等、求线段长度等。
与三角形有关的线段
11.1与三角形有关的线段一、三角形 (1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． (2)构成：如图所示，三角形 ABC 有三条边，三个内角，三个顶点．①边：组成三角形的线段叫做三角形的边． ②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． ③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点． (3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形 ABC 用符号表示为△ABC. 注：顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示，顶点 B 所对的边 AC 用 b 表示，顶点 C 所对的边 AB 用 c 表示． (4)分类： ①三角形按角分类如下： ②三角形按边的相等关系分类如下：破疑点等边三角形和等腰三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形， 即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形． 1、 如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角． 解：图中有三个三角形，分别是： △ABC 的三边是： △ABD 的三边是： △ADC 的三边是： ，三个内角分别是： ，三个内角分别是： ，三个内角分别是：1 题图12 题图2、如图中有个 三角形,用符号表示这些三角形为:________ _____________；_____；其中以 AD 为边的三角形有_____________ADE 是_______________________ ______的一个内角.二、三角形的三边关系 (1)三边关系： (2)三角形三边关系的运用主要有两方面， 一是在已知两边的情况下确定第三边的取值范围； 二是根据所给三条线段的长度判断这三条线段能否构成三角形． 解技巧 三角形三边关系的应用 ①当线段 a，b，c 满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；②已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这 两边之和，来确定第三条线段的取值范围． 1、下列长度的三条线段，能组成三角形的是( A．1cm，2 cm，3cm C．4cm，6 cm，8cm )B．2cm，3 cm，6 cm D．5cm，6 cm，12cm2、已知三条线段的比是:①1:3:4;②1:4:6;③3:3:6;④6:6:10;⑤3:4:5.其中可构成三角 形的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 C.4 个3、有四根长度分别为 6cm,5cm,4cm,1cm 的木棒，选择其中的三根组成三角形，则可选择 的种数有（ A. 4 ） B.3 C.2 D.14、以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？ (1)6 cm,8 cm,10 cm； (2)三条线段长之比为 4∶5∶6； (3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)． 5、 三角形的两边长分别为 5 cm 和 8 cm， 则此三角形的第三边的长 x 的取值范围是________ 6、一个三角形的三条边长分别为 1、2、x，则 x 的取值范围是（ A．1≤x≤3 B．1＜x≤3 C．1≤x＜3 D．1＜x＜3 ）7、一个三角形的两 边长分别为 3cm 和 7cm,则此三角形第三边长可能是（ ） A．3cm B.4 cm C. 7 cm D.11cm ）8、如果三角形的两边长分别为 3 和 5，则周长 L 的取值范围是（ A. 6＜L＜15 B. 6＜L＜16 C.11＜L＜13 D.10＜L＜169、一个三角形的两边长分别为 3 和 5,第三边长是偶数，则第三边长可以是（ ）2A．2B.3C.4D.810、若三角形 的两边长分别是 2 和 7,则第三边长 c 的取值范围是__________；当周长为 奇数时,第三边长为 三、三角形的高 (1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 叫做三角形的高,如图（1） ____ ；当周长是 5 的倍数时,第三边长为 .(1)(2)(2)性质特点： ①高是通过作垂线得出的， 因而有高一定有垂直和直角． 常用关系式为： AD 是 BC 边上的高， ∠ADB＝∠ADC＝90°点在三角形 点在三角形 破疑点AD BC②“三角形的三条高不相交但三角形的三条高所在直线交于一点”， 当是锐角三角形时， 这 ；当是直角三角形时，这点在三角形 上；当是钝角三角形时，这三角形的高线的理解 三角形的高是线段， 不是直线， 它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上． 1、 三角形的三条高在( A．三角形的内部 C．三角形的边上 四．三角形的中线 (1)定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线如图（2） (2)性质特点： ①由三角形中线定义可知，有中线就有相等的线段，如图(2)， )． B．三角形的外部 D．三角形的内部、外部或边上 AD 是 BC 边上的中线 BD＝CD(或 BD＝2BC，DC＝2BC)．②一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．不论是锐 角三角形 、直角三角形，还是钝角三角形，三角形的三条中线都交于三角形内部一点． 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 破疑点 三角形的中线的理解 三角形的中线也是线段， 它是一个顶点和对边中点的连 1 1线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点．31、如图，AE 是△ABC 的中线，EC＝6，DE＝2，则 BD 的长为1 题图 五、三角形的角平分线（3）(1)定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 线段叫做三角形的角平分线． (2)性质特点： ①由三角形角平分线的定义可知，有角平分线就有相等的角，如图（3） ， AD 是△ABC 的角平分线1 ∠1=∠2(或∠1=∠2= ∠BAC，或∠BAC=2∠1=2∠2)． 2②一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线交于一点，不论是锐角三角形、 直角三角形，还是钝角三角形，这个交点都在三角形内部一点． 破疑点 三角形的角平分线的理解 三角形的角平分线也是一条线段， 角的顶点是一个端点，另一个端点在对边上． 1、下列说法正确的是( )．①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线； ②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线； ③每个三角形都有三条中线、高和角平分线； ④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线． A．③④ B．③ C．②③ D．①④ )． B．三角形的高是一条垂线 D．三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部2、下列说法正确的是(A．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条中线相交于一点3、如图, ABC 中, AE 是中线, AD 是角平分线, AF 是高,填空: (1) BE ________ 1 __________； 2 (3) AFB _________ 90 ； (2) BAD _____ ___ 1 _________； 2 (4) SABC _________________. ,4 、如图 , ABC 中 , ACB 90 , AB 6, CD 为中线 , CE 平分 ACB , 则 DB ACE _______________43 题图4 题图5、如图，△ABC 的角平分线 AD、中线 BE 相交于点 O，则①AO 是△ABE 的角平分线； ②BO 是△ABD 的中线；③DE 是△ADC 的中线；④ED 是△EBC 的角平分线的结论中正确 的有_________5 题图6 题图6、△ABC 中，AD⊥ BC，AE 平分∠ BAC 交 BC 于点 E,∠ B= 30°，∠ C=70°，求∠ EAD六、三角形的稳定性 (1)定义：三角形的三边确定后，这个三角形的大小、形状就确定不变了，三角形的这 个性质叫做三角形的稳定性． (2)理解：三角形的稳定性指的是三角形的大小和形状不变，这说明一个三角形确定后 它的内角度数、边长不变，这不同于四边形，因而在实际生活中，都是 用三角形做支架的． 1、在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条 EF 固定矩形门框 ABCD 的情形．这种做 法根据( )．1 题图 A．两点之间线段最短52 题图 B．两点确定一条直线C．三角形的稳定性D．矩形的四个角都是直角 ）2、 用八根木条钉成如图所示的八边形木架， 要使它不变形， 至少要钉上木条的根数是 （ A．3 根 B．4 根 C．5 根 D．6 根 3、下列图中具有稳定性的是（ ）4、 下 列 图 形 中 ， 不 具 有 稳 定 性 的 是 （）A．B．C．D．5、为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是 （ ） B．垂线段最短 D．两直线平行，内错角相等 ） C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条A．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 6、不是利用三角形稳定性的是（ A．自行车的三角形车架B．三角形房架7、 人 站 在 晃 动 的 公 共 汽 车 上 ． 若 你 分 开 两 腿 站 立 ， 则 需 伸 出 一 只 手 去 抓 栏 杆 才 能站稳，这是利用了 .8、 空 调 安 装 在 墙 上 时 ， 一 般 都 会 象 如 图 所 示 的 方 法 固 定 在 墙 上 ， 这 种 方 法 应 用 的数学知识是 .9 题图10 题图9 、如 图 所 示 ，建 高 楼 常 需 要 用 塔 吊 来 吊 建 筑 材 料 ，而 塔 吊 的 上 部 是 三 角 形 结 构 ， 这是应用了三角形的哪个性质？答： ． （填“稳定性”或“不稳定性”）610、如图，是边长为25cm 的活动四边形衣帽架，它应用了四边形的．七、三角形的高、中线、角平分线 三角形是最基本的图形，也是应用最多的图形，因此画出它们高、中线、角平分线经常 用到，是必须掌握的基本技能． 高的画法：类似于垂线的画法，用三角板过某一顶点向对边或对边延长线画垂线，交对 边于一点，所得到的垂线段就是这条边上的高．1.三角形的角平分线、中线、高线都是（ A.线段 B.射线 C.直线） D.以上都有可能 ） D.都有可能2.至少有两条高在三角形内部的三角形是（ A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形 ）3. 不一定在三角形内部的线段是（ A．三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高 ）D.三角形的中位线4．可以把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是（ A．三角形的高 B．三角形的角平分线C．三角形的中线 D．无法确定 ） ④三6． 在 三 角 形 中 ， 交 点 一 定 在 三 角 形 内 部 的 有 （ ①三角形的三条高线 角形的外角平分线．7②三角形的三条中线③三角形的三条角平分线A．①②③④B．①②③C．①④D．②③ ）7.如果一个三角形三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 （ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C.钝角三角形 八、三角形高的应用 D.不能确定高的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是 求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直 角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向． 解技巧 巧证直角背景下两锐角相等 图形中含有高时， 经常用“同角(或等角)的余角相等”来证明角相等，这既是一种方法，也是一个规律． 1、如图,在△ABC 中，∠ACB=900,CD 是 AB 边上的高，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm, 求(1) △ABC 的面积；(2)CD 的长. CADB2、如图，CM 是的 AB 边上的中线， （1）作出△AMC 的边 AM 上的高；若△AMC 的面积 为 1 2，且边 AM 上的高为 4，求 AB 的长。
三角形中的重要线段
一、角平分线1、定义：从一个角的顶点引出一条射线（线在角内），把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
三角形三个角平分线的交点叫做三角形的内心。
2、性质：三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（逆定理）在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。
二、中线1、定义：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
2、性质：任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。
由定义可知，三角形的中线是一条线段。
由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。
且三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
三、垂线（也叫高线）1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。
2、性质：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短。
简称垂线段最短。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直四、垂直平分线1、定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
（逆定理）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上五、中位线1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
三角形的中位线所构成的小三角形（中点三角形）面积是原三角形面积的四分之一。
与三角形有关的线段教学教案
与三角形有关的线段教学教案这是与三角形有关的线段教学教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。
与三角形有关的线段教学教案第 1 篇一、设计思路本课程的教学设计思路:激发内驱力，激发兴趣，让学生享受自由呼吸的课堂，感受三角形的特点引发思考。
感知三角形的本质属性并表达出来。
理解三角形的高和底之间的相互依赖关系。
这节课的教学内容是人教版小学数学四年级第五单元的第一节课内容，是本单元的开始，也是三角形理解的第二个学习时段。
内容包括三角形各部分的名称，特点，定义，以及高和底的含义。
三角形是平面图形中最简单、最基本的多边形。
学好这一课，为以后学习平面几何和立体几何打下基础。
数学课标解读中说：图形与几何的学习有助于学生更好地认识和理解人类的生存空间；有助于培养学生的创新精神；初步发展空间观念，学会推理；有助于学生全面、持续、和谐的发展。
所以在教学时我善于强调现实背景，联系生活经验和活动经验,经常运用观察、操作、推理想象（猜想）、作图设计等手段。
培养学生的符号意识，和应用意识。
二、教学目标1.知识与能力:通过观察、运算、测量、联想等学习活动，了解三角形的基本特征，初步形成三角形的概念，初步认识三角形的底和高，认识三角形的底和高的相互依存关系。
2.方法和途径:在认识三角形的基本特征和底与高的活动中，了解认识多边形特征的基本方法，发展我们的观察能力和比较、抽象、概括的思维能力。
3、情感与评价：认识到三角形是日常生活中的常见图形，在学习活动中进一步产生学习图形的兴趣和积极性。
4、现代教学手段：多媒体辅助教学。
三、教学重点与难点教学重点:知道三角形的基本特征，知道三角形的底和高。
教学难点:知道了底和高的对应关系，我可以画一个三角形来指定边上的高度。
四、教学准备教学准备:棍、三角、教程、多媒体课件等。
五、教学过程一、猜谜引入，激发兴趣。
对话:同学们，我们来玩猜谜游戏好吗？四条边一样长，四个角一样大。
正方形的形状是什么？没有角，像个车轮转转转，像个钟面圆又圆什么形？三个角尖尖的，三条边直直的，三角三边紧相连什么形？问题:你在生活中哪里见过三角形？出示：关于三角形的图片并欣赏。
与三角形有关的线段
与三角形有关的线段11、什么是三角形？由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形、其中构成三角线的三条线段称为三角线的边，任意两条边的公共端点称之为三角线的顶点，相邻两条边所构成的角称为三角形的内角，简称三角形的角。
表示三角形，△ABC任何一个三角形都是有三条边、三个角、三个顶点。
会表述，例如边AB也可以记为c即顶点对应的小写字母，∠A我们将会重点讨论有关三角形的三条边和三个角之间的关系，今天我们先讨论与三角形有关的线段——三角形三条边的关系说道三角形，是不是所有的三角形都具有相应的特点呢？所以自然而然的，我们是否可以根据一定的准则给三角形分类呢？选择不同的标准分得的三角形也是不一样的，通常有两类基本的标准——边、角2、三角形分类角：以三角形最大的内角与90度的关系进行分类、钝角三角形、直角三角形、锐角三角形边：不等边三角形、等腰三角形（一般的等腰三角形、等边三角形）：相等的边叫腰，不相等的叫底3、三边关系两点之间直线最短。
所以三角形的任意两边之和大于第三边。
也是以后判断三条线段等否构成三角形的基本依据。
——经验——只要两条较短的线段之和大于第三条线段，就说明这三条线段可以构成三角形等价写出三角形的任意两边之差小于第三边等边三角形：腰长大于底边的一半，底边大于0小于腰长的两倍【例1】用一条长18cm的细绳围成一个等腰三角形（1）若腰长是底边长的2倍，则各边是多少？（2）能围成一边长4cm的等腰三角形吗，为什么？答案：（1）底边：3.6 腰：7.2 （2）讨论：4为底边，则腰长7，能围成三角形；4为腰，则底10，不能围成三角形【例2】在△ABC中，AB=12，AC=8，BC=X（1）x的范围是：（2）化简|x-4|-|x-24|答案：（1） 4 ＜X＜20 （2）X-4+X-24=2X-28【例3】已知a、b、c为△ABC的三边，且a=4.b=6，若三角形的周长L为小于18的偶数（1）求c的长（2）判断三角形的形状答案：（1）确定c的范围，确定L的范围从而确定L=14或16，对应c=4或6 （2）c=4时，腰长为4的等腰三角形c=6时腰长为6的等腰三角形三角形的三边问题还可以证明三角形中的一些结论【例4】如图，P是△ABC内任意一点，求证：PA+PB＜CA+CB证明：把BP延长交AC于M在△BCM，BC+CM>BM在△AMP，AM+PM>AP两式相加BC+CM+ AM+PM >BM+ APBC+AC+PM>BM+AP BM-PM=BPBC+AC>PB+PA三角形的高、中线、角平分线。
《与三角形有关的线段》教学设计
《与三角形有关的线段》教学设计兴农镇中学：于海波一、教材分析本节课是人教版八年级第一学期第十一章第一课时的内容。
教材首先借助于三角形在生活中的实例来引入本章内容，学生在小学阶段对三角形已有直观认识，会求三角形的面积。
本节课是初中第一次系统学习三角形，先让学生回忆旧知，对三角形有了进一步的认识后，学习掌握三角形的三边关系，为接下来学习等腰三角形、全等三角形的相关知识打下了基础。
二、教学目标A、知识目标（1）理解三角形的有关概念，会表示三角形的三个顶点、三条边、三个角，会用符号表示三角形。
B、能力目标：（1）理解掌握三角形的三边关系定理，并会运用此定理判段三条线段能否构成三角形。
C、情感态度：（1）通过师生的共同活动，促使学生在学习活动中培养良好的情感、合作交流、主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。
（2）通过对三角形的三边关系定理的探究活动，使学生初步认识数学与现实生活的密切联系。
3.教学重难点（1）重点：三角形的概念及其三边关系定理（2）难点：探究三角形的两边之和大于第三边的理由。
二、教法学法（1）教法：本节课主要采用自学辅导的教学方法，让学生理解掌握三角形的有关概念，并用猜想证明的数学方法，引导得出三角形的三边关系。
（2）学法：充分发挥学生的主体作用，让学生通过生活中的实例得出定理，激起学生学习数学的欲望，达到学习新知识的目的。
三、教学过程(一)激发兴趣，提出问题。
本节课的教学重点与难点是三角形的三边关系的探究，基于此我设计了场景，小红家到学校有三条路线，一条是走线段，一条是经过公园形成三角形，一条是经过超市和图书馆的两折线，依据两点之间，线段最短，选线段路线。
再让学生比较三角形路线与线段路线，引出了课题三角形，而且为证明三角形的任意两边之和大于第三边作了铺垫。
简洁的开场，利用学生已有的知识，提出问题引发学生深入思考，营造宽松的学习气氛，可以激发学生学习新知识的兴趣，架起了生活和学习的桥梁。
初中数学知识点总结：与三角形有关的线段、角
初中数学知识点总结：与三角形有关的线段、角 知识点总结 【一】三角形的有关概念 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。
三角形的特征：①不在同一直线上;②三条线段;③首尾顺次相接;④三角形具有稳定性。
2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高 (1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段; ②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。
【二】三角形的边和角 三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边。
由三边关系可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。
【三】三角形内、外角的关系 1.三角形的内角和等于180°。
2.直角三角形的两个锐角互余。
3.三角形的一外角等于和它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4.三角形的外角和为360°。
【四】等腰三角形与直角三角形: 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)。
说明：等边三角形是等腰三角形的特殊情况。
2.直角三角形：有一个角是直角的三角形是直角三角形，它的两个锐角互余。
【五】三角形的分类： 六、三角形的面积： 1.一般计算公式 2.性质：等底等高的三角形面积相等。
常见考法 (1)考查三角形的性质和概念;(2)根据三角形内角和以及内、外角关系，给出两角，来求第三个角;(3)根据三角形内、外角的关系，比较两角大小的;(4)利用三边关系判断三条线段能否组成三角形或给出三角形的两边长，来确定第三边长的取值范围，亦或证明线段之间的不等关系。
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《与三角形有关的角》教学设计河南河师大附中薛卫忠人教版七下（人教版数学七年级下册 7.2）【教学设想】本节课是对与三角形有关的角的结论进行学习，主要是通过对三角形的内角和以及外角的性质定理的研究，培养学生探索、证明、运用以及转化的能力，并且给了学生更多自主学习、自我表达的机会。
本节课主要培养学生自主探索、合作交流、解决问题的能力，并且要学生学会及时对自己的猜测进行验证，并在验证过程中进行回顾与思考.最终达到灵活运用的目的.【教学目标分析】1.知识与能力：(1)掌握三角形内角和定理的证明及其简单运用..(2)掌握三角形的外角的定义,三角形外角性质定理及其推论的证明和灵活运用.(3)体会几何中关于角不等关系的简单证明..2.过程与方法：通过动手操作探索三角形三个内角的和，运用三角形内角和定理解决实际问题；探究三角形外角的性质定理,能够运用三角形的外角性质定理解决实际问题；经历小组协作讨论，进一步发展合作交流的能力和数学表达能力.3.情感、态度、价值观：养成独立观察思考的习惯，感受数学学习中转化的巧妙，体验利用手持式图形计算设备充当数学认知工具的乐趣。
【重、难点分析】教学重点：(1)三角形内角和定理..(2)三角形的外角的定义,三角形外角性质定理及其推论.教学难点：(1)三角形内角和定理的证明..(2)三角形外角性质定理和推论及其应用.【学习者特征分析】学生的知识技能基础：在本章前面几节课中，学生已经认识了三角形，学习了与三角形有关的线段，加强了对三角形的理解和认识，需要进一步探索与三角形有关的角及其性质，为接下来的学习奠定知识和技能基础.学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了利用数学画板探索验证数学结论的活动，解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.【教学媒体】多媒体投影、数码学习机、《数学画板》软件.【教学过程】（一）情境引入，发现问题：教师活动：1、提出作图任务：用纸片做出三角形.2、用剪刀剪下三角形的两个角，在桌面上把两个角拼到第三个顶点上，要求三个角的顶点和边重合.3、让学生猜测：三个角拼成的角的度数是多少？4、引导学生表达结论：三角形三个内角的和等于180°.学生活动：根据问题逐步操作,猜测三角形三个内角的和，并表达结论.设计意图：通过自己拼图创设实验情境，让学生发现三角形中三个角之间的规律，吸引学生注意，激发学生兴趣,使高高兴兴的进行到下面的学习.（二）合作探究，证明结论：教师活动：1、利用数码学习机画不同的三角形,并求出三角形三个角的和,验证三角形内角和的猜想.2、让学生分组探究三角形内角和定理的证明方法，并提醒学生可以从实验中得到证明的方法（把三角形的三个角通过作辅助线移到一个顶点上）.3、引导学生写出完整的证明过程.学生活动：利用数码学习机验证三角形内角和定理,理解怎样把命题转化为数学语言，设计意图：利用数码学习机验证三角形内角和定理,探求三角形内角和定理的证明方法。
本节课中学生第一次运用辅助线，难度较大。
教学时要认真、细致地引导学生学会把命题转化为数学语言，体会作辅助线的方法，学会小组合作，能够完整的把自己的想法转化为数学推理过程。
根据学生的技术熟练程度，适当提供操作帮助；小组合作学习，所有问题都需小组成员独立思考得出结论性内容并书写清晰，然后小组共同探索讨论最后达成一致意见。
此问题的证明方法很多，可引导学生探究多合作探究，得出证明方法，写出证明过程。
关键作图步骤：1．选择两点线段，顺次单击点A、B,B、C和C、A。
2．选择测量，顺次逆时针单击点B，A，C；C，B，A；A，C，B。
测量出三个角α，β，γ的大小。
3．选择属性中的计算，在参量中选择α，然后确定就可得到α的度数d的显示；同样的操作就可得到β，γ，α+β+γ的度数的显示。
4．选择移动点，拉着A、B、C进行移动就可得到不同的三角形，可以发现三个角的度数改变了，但三个角的和永远是180°（三）理解新知，拓展研究：教师活动：（1）作一个三角形，延长一条边，得到一个这边的延长线与另一边构成的角，根据所得角与三角形内角的关系，思考这个角的名称：三角形的外角。
（2）利用数码学习机探究三角形的外角与三角形不相邻的一个内角、两个内角的和的关系，得出三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
（3）小组合作，探究怎样证明三角形的外角性质定理及其推论（可利用三角形的内角和定理）。
学生活动：作图，利用数码学习机发现三角形的外角的性质定理,合作探究其证明方法。
设计意图：在已经学过三角形内角的前提下，根据位置关系探求外角的名称。
利用数码学习机发现三角形外角的性质定理,探求其证明方法，让学生借助数学画板作为认知工具，经历猜想、实验、验证的过程。
通过利用三角形的内角和定理证明三角形的外角的性质定理，使学生学会把新问题转化为老问题的数学思想。
也可以思考其它的证明方法。
关键作图步骤：1． 选择两点线段，顺次单击点A 、B 和A 、C 。
2． 选择两点射线，顺次单击点B 、C ，选择新点在射线BC 上找点D 。
3． 选择测量，顺次逆时针单击点B ，A ，C ；C ，B ，A ；D ，C ，A 。
测量出三个角α，β，γ的大小。
4． 选择属性中的计算，在参量中选择α，然后确定就可得到α的度数d 的显示；同样的操作就可得到β，γ的度数的显示。
（四）知识检测，练习反馈：教师活动：屏幕呈现问题，引导学生正确求解。
题目如下：1．判断：（1） 三角形中最大的角是70°，那么这个三角形是锐角三角形。
（ √ ）（2） 一个三角形中最多只有一个钝角或直角。
（ √ ）（3） 一个等腰三角形一定是锐角三角形。
（ × ）（4） 一个三角形最少有一个角不大于60°。
（ √ ）2．如图，3,2,1∠∠∠是三角形ABC 的不同三个外角，则=∠+∠+∠321 360º .3．三角形的三个外角中最多有 1 锐角，最多有 3 个钝角，最多有 1 个直角.4．如图,两条平行线被第三条直线所截,交点为A 、B,CA 平分∠DAB, CB 平分∠ABE ． 填空: ∵AD ∥BE,∴∠DAB+∠EBA=180º(_两直线平行，同旁内角互补)∵∠CAB=21∠DAB, ∠CBA=21∠EBA, ∴∠CAB+∠CBA=_90º (等式的性质).∴∠C=90º(三角形三个内角的和是180º).5． 如图，从A 处观测到C 处的仰角∠CAD=30º，从B 处观测到C 处的仰角 ∠CBD=45º，从C 处观测A 、B 两处时视角∠ACB 是多少？（∠ACB=15º） 6． 如图，AB//CD ，点E 是AB 、CD 外一点，连接AE 、CE 。
已知∠EAB=27º， A BC ED A B D CAB C DE∠ECD=63º，求∠AEC 的度数。
（36º）学生活动：小组思考交流，达成共识，回答问题。
（五）例题分析，拓展思维：教师活动：呈现复杂问题，分析问题，启发学生解题思路，问题如下：如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角ACB 是多少度？（90°）2．如图，五角星ABCDE ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
3．如图，CE 为△ABC 的外角∠ACD 的平分线，交BA的延长线于点E 。
试判断∠ABC 与∠BAC 的大小关系， 并说明理由。
（∠ABC ＜∠BAC ）学生活动：体会问题情境，思考解题思路，讨论回答问题。
（六）应用新知，解决问题：教师活动：提出问题，指导、鼓励学生运用新知解决问题。
设计意图：检验所学，发现问题及时反馈，促进知识目标的达成。
这些问题都是比较基础的，一定要理解掌握。
设计意图：通过例题讲解，启发学生思路，为后面其它问题以及实际问题的解决打好铺垫。
A B C D E E DABC1． 某机器零件如图，要求∠BAC=90°，∠B=21°, ∠C=27°.技术工人量得 ∠BDC=133°. 他就判断这个零件不合格,请运用有关知识说明理由.（延长CD 后，利用外角的性质定理可说明不合格。
）2.如图，已知△ABC ，BO 、CO 相交于点O 。
（1）试问∠BAC 与∠BOC 的大小关系，并说明理由。
（∠BAC ＜∠BOC ） （2）若BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，且∠BAC=50°，试求∠BOC 的度数；若 ∠BAC=m °时，试求∠BOC 的度数。
(115°, 29000m + ) （3）如图，若BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB 的外角∠ACD ，且∠BAC=50°，试求∠BOC的度数；若∠BAC=m °时，试求∠BOC 的度数。
(25°, 2m )（4）如图，若BO 、CO 分别平分与∠ABC 、∠ACB 相邻的外角∠CBD 、∠BCE ，且 ∠BAC=50°，试求∠BOC 的度数；若∠BAC=m °时，试求∠BOC 的度数。
(65°, 29000m -) 学生活动：小组讨论，联系本节所学内容，解决问题；注意适应题目的变化，可先利用手持式图形计算设备实验出结果，再考虑求解过程。
关键作图步骤：1． 选择两点线段，顺次单击点A 、B 和A 、C 。
设计意图：通过探讨实际生活中的问题和一题多变，调动学生的积极性，训练学生解决问题的能力，促进学生高阶思维能力的发展；发挥手持式图形计算设备作为认知工具的作用，辅助学生解决问题；通过合作讨论，让学生体验与人合作的问题解决方式。
B DC A A B C O A B C OD AB CO E D2． 选择两点射线，顺次单击点B 、C ，选择新点在射线BC 上找点D 。
3． 选择两点线段，顺次单击点B 、O 和C 、O 。
4． 选择测量，顺次逆时针单击点B ，A ，C ；B ，O ，C 。
测量出三个角α，β的大小。
5． 选择属性中的计算，在参量中选择α，然后确定就可得到α的度数d 的显示；同样的操作就可得到β的度数的显示。
（七）课堂小结：学生互相交流总结这节课的体会，重新回顾这节课的知识点以及新知识点应用方面的一些技巧。