4.1 切线方程(精讲)(提升版)(原卷版)

4.1 切线方程（精讲）（提升版）思维导图
考点呈现
考点一 斜率和倾斜角
【例1-1】（2022·江苏淮安）已知函数()cos2(0,πf x x x =∈，）在0x x =
处的切线斜率为8
5
，
则00co sin s x x -=（ ） A ．3
5 B ．35
C ．35
5
-
D ．
35
5
【例1-2】（2022·重庆一中）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()2
12f x x f x '=-+，则()
f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（ ） A ．3- B ．3 C ．5- D ．5
【一隅三反】
1．（2022·辽宁）已知曲线()3
cos1f x x =-在点()()1,1f 处的切线与直线:30l ax y --=垂直，
则实数a 的值为______．
2．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．3
10
B ．±
310 C ．35
D ．±35
例题剖析
3．（2022·湖南）已知P 是曲线)
2
:ln C y x x a x =++
上的一动点，曲线C 在P 点处的切
线的倾斜角为θ，若3
2
π
π
θ≤<
，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．)
⎡⎣
B ．)
⎡⎣
C ．(
,-∞ D ．(
-∞
考点二 “在型”的切线方程
【例2-1】（2022·广西）曲线31y x =+在点()1,a -处的切线方程为（ ） A ．33y x =+ B ．31y x C ．31y x =-- D ．33y x =--
【例2-2】（2022·广西·贵港市）已知曲线e ln x y ax x =+在点()1,e a 处的切线方程为3y x b =+，则（ ） A ．e a =，2b =- B ．e a =，2b = C ．1e a -=，2b =- D ．1e a -=，2b =
【一隅三反】
1．（2022·河南）已知函数()()4
23f x x m =++的图象经过坐标原点，则曲线()y f x =在点
()()1,1f --处的切线方程是（ ）
A ．872y x =-
B ．476y x =-
C ．872y x =+
D ．476y x =+
2．（2022·安徽）已知()f x 为奇函数，且当0x >时()211
e x
f x x
-=+
，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线方程为（ ） A ．240x y ++= B ．240x y -+= C ．220x y -+= D ．220x y ++=
3．（2022·安徽·巢湖市）曲线22
x a
y x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（ ） A ．1- B ．2
3
-
C ．1
2
D ．1
4．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）已知函数()1
ln f x x x
=-，直线y mx n =+是曲线()y f x =的一条切线，则2m n +的取值范围是（ ） A ．[)3,∞-+ B ．2e 3,e -⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．[)2ln 24,--+∞
D ．5ln 2,4⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
考点三 “过型”的切线方程
【例3】（2022·河南洛阳）已知函数()32
21f x x x x =-++，则曲线()y f x =过坐标原点的切
线方程为（ ） A ．y x = B ．2y x =
C ．3y x =
D ．4y x =
【一隅三反】
1．（2022·广东·新会陈经纶中学）（多选）已知曲线3()21f x x =+.则曲线过点P （1，3）的切线方程为.（ ） A ．630x y --= B ．3230x y -+=
C ．690x y +-=
D ．3290x y +-=
2（2022·北京·汇文中学）228y x =+过点()1
2P ，的切线方程是__________.
3．（2022·四川·广安二中）函数()2e x f x x =过点()0,0的切线方程为
考点四 切线或切点数量问题
【例4-1】（2022·河南洛阳）若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（ ） A ．0条 B ．1条
C ．2条
D ．3条
【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A ．ln a b < B ．ln b a <
C ．ln b a <
D ．ln a b <
【一隅三反】
1．（2022·河南洛阳）若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条
2．（2022·湖北·宜城市第一中学）若过点(),a b 可以作曲线()1
0y x x x
=->的两条切线，则（ ） A ．0b a >> B ．1
0a b a a
-
<<< C ．1
0a b a a
<-<< D ．1
a b a a
>>-
且0a >
3．（2022·河南洛阳）若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．()0,∞+ C ．()0,1 D ．{}0,1
4．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．
考点五 公切线
【例5-1】（2022·安徽省舒城中学）已知直线l 是曲线e 1x y =-与ln 1y x =+的公共切线，则l 的方程为_____.
【例5-2】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(]0,2e B ．(]0,e C ．[)2,e +∞ D ．(],2e e
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）若直线l 与曲线2y x 和224
9
x y +=
都相切，则l 的斜率为______．
2．（2022·河北保定·二模）（多选）若直线3y x m =+是曲线()30y x x =>与曲线
()260y x nx x =-+->的公切线，则（ ） A ．2m =-
B ．1m =-
C ．6n =
D ．7n =
3．（2022·安徽·合肥一六八中学）若直线y kx m =+是曲线ln(1)y x =-的切线，也是曲线3e x y -=的切线，则k =__________.
考点六 切线与其他知识的运用
【例6-1】（2022·湖北·黄冈中学）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则14
a b
+的最小值为（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．13
【例6-2】（2022·广东·深圳市光明区高级中学）已知函数()()2
ln f x x x ax x a =-+∈R ，则
曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 恒过定点_____________.
【一隅三反】
1．（2022·河北衡水）已知函数2ln ()2x
f x x x
=-在1x =处的切线为l ，第一象限内的点(,)P a b 在切线l 上，则
1111
a b +++的最小值为（ ）
A B C D 2．（2022·安徽）对于三次函数()f x ，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f '=（ ）
A ．34-
B ．14-
C ．4-
D ．14
3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中）若曲线e x y =过点(2,0)-的切线恒在函数
212()e 31e e x f x a x x ⎛⎫
=-+-+- ⎪⎝⎭
的图象的上方，则实数a 的取值范围是__________．
考点七 切线方程的运用
【例7-1】（2022·全国·高三专题练习）设点P 在曲线y x =上，点Q 在曲线()ln 2y x =上，则
PQ 的最小值为（ ）
A ．1ln 2
2
- B )1ln 2- C ．
1ln 2
2
+ D ．
)1ln 22
+
【例7-2】（2022·山东烟台·三模）已知函数()2ln ,0
21,0x x f x x x x ⎧>=⎨+-≤⎩，若方程()1f x ax =-有
且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．01a << B ．02a << C ．1a > D ．2a >
【一隅三反】
1．（2022·江苏徐州）过平面内一点P 作曲线|ln |y x =的两条互相垂直的切线12,l l ，切点分别为12,P P （12,P P 不重合），设直线12,l l 分别与y 轴交于点A ，B ，则ABP △面积的取值范围为（ ） A ．10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．()0,1
C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．(0,2]
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()e ln x
f x x a x x =-+有两个零点，则实数a 的取
值范围是______．
3．（2022·云南曲靖·二模）设()'f x 是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()'f x 的导函数，若对任意R ()0,()0x f x f x '''∈><，恒成立，则下列选项正确的是（ ） A ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-< B ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<< C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<- D ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-
4．（2022·江西·新余市）若点A 在曲线ln 1y x =-上运动，点B 在直线2y x =+上运动，,A B 两点距离的最小值为______。