高中数学 第1部分 第二章 §6 平面向量数量积的坐标表

[一点通] 1．向量数量积的坐标表示，可把向量的夹角问 题转化为向量坐标的计算问题．但要注意a·b>0(<0)与 夹角为锐(钝)角不是等价关系． 2．利用公式：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0来 判断两向量垂直，使向量问题代数化，判断方法简捷、 明了．
4．已知直线l1：x＋3y＋1＝0和l2：2x＋y＋3＝0，则直线l1 与l2的夹角为________．
1．平面向量数量积的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 . 2．几个重要结论
(1)向量模的坐标表示：若 a＝(x，y)， 则|a|＝ x2＋y2 .
(2)向量垂直的坐标表示：若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
理解教材新知
第 二
§6
把握热点考向
考点一 考点二
章
考点三
应用创新演练
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 问题1：你能用a，b的坐标表示a·b吗？ 提示：能．a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， 而i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝ x1x2＋y1y2. 问题2：与数量积有关的性质可以用坐标表示吗？ 提示：可以．
解析：任取 l1 和 l2 的方向向量 m＝(1，－13)和 n＝
(1，－2)．
设 m 与 n 的夹角为 θ，
cos θ＝
1＋23 1＋19×
＝ 1＋4
5 3 310×
＝ 22，θ＝45°. 5
答案：45°
5．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂 直，求k的值． 解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵ka＋b与a－3b垂直，∴(ka＋b)·(a－3b)＝0， 即(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0，解得k＝19.
(3)向量夹角的坐标表示：若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝ xx21＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22.
3．直线的方向向量 给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)l的方向向量．
[例2] 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ 的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角； (2)a与b的夹角为钝角； (3)a与b的夹角为锐角． [思路点拨] 利用向量的数量积及夹角公式求解．
[精解详析] 设 a 与 b 的夹角为 θ， a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ. (1)因为 a 与 b 的夹角为直角，所以 cos θ＝0， 所以 a·b＝0，即 1＋2λ＝0，所以 λ＝－21. (2)因为 a 与 b 的夹角为钝角， 所以 cos θ<0 且 cos θ≠－1， 所以 a·b<0，且 a 与 b 不反向．
1．若 a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且 3a·b＝4，则 x 等于( )
A．3
B.13
C．－13
D．－3
解析：3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，∴x＝－13.
答案：C
2．在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0,0)，B(1,1)，则 AB·AC ＝______. 解析：如图，由题意得 A(0,1)， C(1，0)． 又 B(1,1)，所以 AB＝(1,0)， AC ＝(1，－1)． 故 AB·AC ＝1. 答案：1
由 a·b<0，得 1＋2λ<0，故 λ<－12， 由 a 与 b 共线得 λ＝2，故 a 与 b 不可能反向． 所以 λ 的取值范围为－∞，－12. (3)因为 a 与 b 的夹角为锐角， 所以 cos θ>0，且 cos θ≠1， 所以 a·b>0 且 a，b 不同向． 由 a·b>0，得 λ>－12，由 a 与 b 同向得 λ＝2. 所以 λ 的取值范围为－12，2∪(2，＋∞)．
1．数量积的坐标运算可以简单记为：“对应坐标相乘 再求和”．在解题过程中要注意坐标的顺序．
2．向量垂直条件的坐标表示x1x2＋y1y2＝0和向量平行 条件的表示x1y2－x2y1＝0，有许多相似性，要注意区别．
3．注意直线l的方向向量m必须为非零向量．
[例1] 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： (1)向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a＋c)·b. [思路点拨] 根据a与b共线设出a的坐标，再利用数 量坐标运算公式构建方程求得a的坐标，进而求(a＋c)·b.
[精解详析] (1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)． (2)法一：a＋c＝(4,3)，∴(a＋c)·b＝4＋6＝10.
法二：(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝10＋0＝10. [一点通] 进行向量的数量积运算，前提是牢记有 关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是 先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二 是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
3．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求： (1)(a＋b)2； (2)(a＋b)·(a－b)． 解：a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， (1)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， ∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25.
(2)法一：∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， ∴a2＝32＋(－1)2＝10，b2＝12＋(－2)2＝5， ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝10－5＝5. 法二：∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， ∴a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)， ∴(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1) ＝4×2＋(－3)×1＝5.