江西省赣州市石城第一中学2019-2020学年高三数学文模拟试卷含解析

江西省赣州市石城第一中学2019-2020学年高三数学文
模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知定义在上的函数满足，且，
，若有穷数列（）的前项和等于，则等于( ) A．4 B．5 C．6 D． 7
参考答案：
B
略
2. 下列各式错误的是（）.
A.
B.
C.
D.
参考答案：
C
3. 已知函数，则的图像大致为
参考答案：
A
4. 已知双曲线的离心率为2，若抛物线
的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）
参考答案：
【知识点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．L4
【答案解析】D 解析：双曲线的离心率为2．
所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：
抛物线的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，
所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为．
故选D．
【思路点拨】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．
，则下列不等式成立的是（
．C
C
略
6. 已知命题p1：函数在R上为增函数，p2：函数在R上为减函数，则在命题和中，真命题是（）
A. B. C.
D.
参考答案：
C
7. 在中，若，且，则的周长为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
8. 执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0，1，则输出的（）
A．4 B．16 C．27 D．36
参考答案：
D
【知识点】算法和程序框图
【试题解析】A=0，S=1，k=1，A=1，S=1，否；k=3，A=4，S=4，否；k=5，A=9，S=36，是，
则输出的36。

故答案为：D
9. 若集合 ,则
A. B. C.
D.
参考答案：
B
10. （理）曲线在点处的切线为，则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是（）．
A. 1
B.
C.
D.
参考答案：
B
：曲线在点处的切线为，
与x轴的交点为，所以由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且
当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是 .
参考答案：
12. 在面积为9的正方形内部随机取一点，则能使的面积大于的概率是_________．
参考答案：
13. 已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．
参考答案：
分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.
详解：由可知，
且：，因为对于任意x，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
14. 若是偶函数,则有序实数对()可以是 . (写出你认为正确的一组数即可).
参考答案：
（1，-1）(a+b=0)皆可
15. 平面向量与的夹角为，，，则。

参考答案：
16. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．
参考答案：
4
【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．
【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．
【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．
故答案为：4
17. 已知向量，．若向量，则m=．
参考答案：
解：向量，，
，
，，
．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，﹣4），P（2，t）（t＜0）在抛物线
y2=2px（p＞0）上．
（1）求p，t的值；
（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）运用代入法，即可求得p，t；
（2）求得M（2，0），求出直线AM的方程，代入抛物线方程，可得B的坐标，运用正弦
的斜率公式，可得k1=﹣，k2=﹣2，代入k1+k2=2k3得k3，进而得到直线PC方程，再联立直线AM的方程，即可得到C的坐标．
【解答】解：（1）将点A（8，﹣4）代入y2=2px，
得p=1，
将点P（2，t）代入y2=2x，得t=±2，
因为t＜0，所以t=﹣2．
（2）依题意，M的坐标为（2，0），
直线AM的方程为y=﹣x+，
联立抛物线方程y2=2x，并解得B（，1），
所以k1=﹣，k2=﹣2，
代入k1+k2=2k3得，k3=﹣，
从而直线PC的方程为y=﹣x+，
联立直线AM：y=﹣x+，
并解得C（﹣2，）．
19. 某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：
（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率．
参考答案：
考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题：概率与统计．
分析：（1）根据两组数据求出两组数据的方差，比较可得哪组学生成绩更稳定；
（2）分别计算在甲、乙两班中各抽出一名同学及甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案．
解答：解：（1）两个班数据的平均值都为7，..…
甲班的方差==2，..…
乙班的方差==，..…
因为＜，甲班的方差较小，所以甲班的投篮水平比较稳定…
（Ⅱ）甲班1到5号记作a，b，c，d，e，乙班1到5号记作1，2，3，4，5，
从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为
Ω={a1，a2，a3，a4，a5，b1，b2，b3，b4，b5，c1，c2，c3，c4，c5，d1，d2，d3，d4，d5，e1，e2，e3，e4，e5}，
共25个基本事件组成，这25个是等可能的；..…
将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A，
则A={a1，b1，c1，d1，d2，d4，e1，e4，e5}，A由10个基本事件组成，..…
所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为=…
点评：本题考查了方差的计算，古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
20. （14分）
设等差数列的各项均为整数，其公差，.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，且成等比数列，求；
（Ⅲ）若成等比数列，求的取值集合.
参考答案：
解析：（Ⅰ）因为等差数列的各项均为整数，所以. …….. 1分
由，得，即，解得. 注意到，且，所以或 . 3分
（Ⅱ）解：
由，，得，
从而，故. ….. 5分
由成等比数列，得此等比数列的公比为，
从而
由，解得，. …….. 7分
（Ⅲ）解：
由，得.
由成等比数列，得.
由，化简整理得…….. 9分
因为，从而，
又且，从而是的非的正约数，故………….. 10分
①当或时，，
这与的各项均为整数相矛盾，所以，且. …….. 11分
②当时，由，
但此时，这与的各项均为整数相矛盾，所以，. ….. 12分
③当时，同理可检验，所以，. …….. 13分
当时，由（Ⅱ）知符合题意.
综上，的取值只能是，即的取值集合是. …….. 14分
21. 已知集合，若
，，
（1）用列举法表示集合和集合
（2）试求的值。

参考答案：
（1）由题意：
（2）∵，由
∴代入得：
略
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．M是曲线C1上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转90°得到线段ON，设点N的轨迹为曲线C2．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（2）在（1）的条件下，若射线与曲线C1，C2分别交于A，B两点（除极点外），且有定点T(4，0)，求△TAB的面积．
参考答案：
解：（1）由题设，得C1的直角坐标方程为x2+(y-5)2＝25，即x2+y2-10y＝0，
故C1的极坐标方程为ρ2-10ρsinθ＝0，即ρ＝10sinθ．
设点N(ρ，θ)(ρ≠0)，则由已知得，代入C1的极坐标方程得，即ρ＝10cosθ(ρ≠0)．
（2）将代入C1，C2的极坐标方程得，，
又因为T(4，0)，所以，
，
所以．。