导数与函数的单调性课件高三数学一轮复习
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证明（判断）函数的单调性
【例1】
（1）（2022·北京高考·节选） 已知函数f（x）＝exln（1＋x），设g
（x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性；
目录
解
（1）g（x）＝f'（x）＝ex
则g'（x）＝ex
ln(1 + ) +
2
1+
ln(1 + ) +
1
−
(1+)2
1
（2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划
分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间；
（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图
象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间.
提醒 若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”
2≤0恒成立，
1
2
即a≥ 2 － 恒成立.
1
所以a≥G（x）max，而G（x）＝
1
因为x∈[1，4]，所以
∈
1
,1
4
2
− 1 －1，
，
7
所以G（x）max＝－ （此时x＝4），
16
7
所以a≥－ ，即a的取值范围是
16
7
− , +∞
16
.
目录
｜解题技法｜
已知单调性求解参数范围的步骤
（1）对含参数的函数f（x）求导，得到f'（x）；
（x）＝x－sin x在R上单调递增，故B满足题意；由f（x）＝xex得f'（x）＝（1＋
x）ex，当x＞－1时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增；当x＜－1时，f'（x）＜0，
则f（x）单调递减，故C不满足题意；由f（x）＝ex－e－x－2x得f'（x）＝ex＋e－x
－2≥2 e · e− －2＝0，当且仅当x＝0时等号成立，显然f'（x）不恒为零，由
（a，b）上成立”是“f（x）在（a，b）上单调递增”的充分不必要条件.
2.可导函数f（x）在（a，b）上单调递增（减）的充要条件是∀x∈（a，b），f'
（x）≥0（f'（x）≤0）且f'（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零.
1.（多选）（2023·贵阳一模）下列选项中，在R上是增函数的有
数f（x）的单调区间.
解 由题可得函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝aex－1，
当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上单调递减；
当a＞0时，f'（x）＝a
e
−
1
，令f'（x）＝0，可得x＝－ln a，
当x＜－ln a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞－ln a时，f'（x）＞0，f
A.f（x）＝x4
B.f（x）＝x－sin x
C.f（x）＝xex
D.f（x）＝ex－e－x－2x
（
目录
）
解析：BD 由f（x）＝x4得f'（x）＝4x3，当x＞0时，f'（x）＝4x3＞0，则f（x）
单调递增；当x＜0时，f'（x）＝4x3＜0，则f（x）单调递减，故A不满足题意；
由f（x）＝x－sin x得f'（x）＝1－cos x≥0，显然f'（x）不恒为零，由结论2知f
（x）的单调性.
2 +(−2)+1−
[−(1−)](−1)
解：由题得f'（x）＝－
＝－
，
e
e
(−1) 2
当m＝0，即1－m＝1时，f'（x）＝－ ≤0，f（x）在R上单调递减；
e
当m＞0，即1－m＜1时，令f'（x）＜0得x＜1－m或x＞1，令f'（x）＞0得1
－m＜x＜1，
（x）单调递增.
综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调递减区间为R，无单调递增区间；当a
＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（－∞，－ln a），单调递增区间为（－ln
a，＋∞）.
目录
｜解题技法｜
利用导数求函数单调区间的方法
（1）当导函数不等式可解时，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0求出单调区间；
单调递增.因为g（x）在R上为奇函数且在R上具有导函数，所以g（x）在R内单
调递增.因为f（2）＝1，所以g（2）＝2f（2）＝2，又（x2－x）f（x2－x）＞2
等价于g（x2－x）＞g（2），所以x2－x＞2，解得x＜－1或x＞2.综上所述，x的
取值范围为（－∞，－1）∪（2，＋∞）.
答案 C
目录
1 2
x－ ax －2x（a≠0）.
2
（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
目录
解 （1）f（x）＝ln
1 2
x－ ax －2x，x∈（0，＋∞），
2
1
所以f'（x）＝ －ax－2，由于f（x）在（0，＋∞）上存在单调递减区间，
1
所以当x∈（0，＋∞）时， －ax－2＜0有解.
（
A.（－∞，－2）∪（1，＋∞）
B.（2，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（2，＋∞）
D.（－1，2）
目录
）
解析 令g（x）＝xf（x），由于f（x）为偶函数，则g（x）为奇函数，所以g'
()
()+′()
（x）＝f（x）＋xf'（x）.因为当x＞0时，
＞－f'（x），即
＞0，所
以f（x）＋xf'（x）＞0，即g'（x）＞0.所以当x＞0时，g（x）在（0，＋∞）上
解析
1
1
2
2
设g（x）＝ [（f（x）） －x ]，则g'（x）＝ [2f（x）f'（x）－2x]＝f
2
2
（x）f'（x）－x＞0恒成立，所以g（x）在定义域内单调递增，所以g（1）＞g
1
1
2
（－1），即 [（f（1）） －1]＞ [（f（－1））2－1]，解得（f（1））2＞（f
2
2
（－1））2，即｜f（1）｜＞｜f（－1）｜，故选D.
2
2
和
π
0,
2
答案：
π
−π, −
2
.
π
−π, −
2
和
π
0,
2
目录
函数单调性的简单应用
考向1 比较大小
【例3】 设定义在R上的函数f（x）的导函数是f'（x），且f（x）·f'（x）＞x恒
成立，则
（
）
A.f（1）＜f（－1）
B.f（1）＞f（－1）
C.｜f（1）｜＜｜f（－1）｜
D.｜f（1）｜＞｜f（－1）｜
目录
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0.
（
）
答案：（1）×
（2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调
性.
（
）
答案：（2）√
（3）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一定单调递
1+
，
，
2
1
设h（x）＝ln（1＋x）＋ －
，x∈[0，＋∞），
1+ (1+)2
1
2
2
2 +1
则h'（x）＝ －
＋
＝
＞0，
1+ (1+)2 (1+)3 (1+)3
故h（x）在[0，＋∞）上单调递增，
故h（x）≥h（0）＝1＞0，
因此g'（x）＞0对任意的x∈[0，＋∞）恒成立，
故g（x）在[0，＋∞）上单调递增.
（1）若 f'（x）＞0 ，则f（x）在区间（a，b）内是单调递增函数；
（2）若 f'（x）＜0 ，则f（x）在区间（a，b）内是单调递减函数；
（3）若恒有 f'（x）＝0 ，则f（x）在区间（a，b）内是常数函数.
提醒 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要
坚持“定义域优先”原则.
∴f（x）在
1
0,
上单调递增，在
1
, +∞
上单调递减.
综上，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在
上单调递增，在
1
, +∞
上单调递减.
目录
1
0,
｜解题技法｜
讨论函数f（x）单调性的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；
（3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上
讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性.
提醒 研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进
行分类讨论.
目录
2 ++1
已知函数f（x）＝
（m≥0），其中
e
e为自然对数的底数，讨论函数f
目录
（2）已知函数f（x）＝ln x－a（x＋1），讨论函数f（x）的单调性.
解
1
1−
（2）由题意得，f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ －a＝
.
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
1
1
当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜ ；令f'（x）＜0，解得x＞ .
连接，只能用“，”“和”隔开.
目录
3
1.函数f（x）＝x＋ ＋2ln
x的单调递减区间是（
A.（－3，1）
B.（0，1）
C.（－1，3）
D.（0，3）
解析：B
）
3
2
法一：令f'（x）＝1－ 2 ＋ ＜0（x＞0），得0＜x＜1，故所求函数的
单调递减区间为（0，1）.故选B.
7
法二：由题意知x＞0，故排除A、C选项；又f（1）＝4＜f（2）＝ ＋2ln
调递增.
目录
1
2
3.函数y＝4x ＋ 的单调递增区间为
.
1
1
2
解析：由y＝4x ＋ （x≠0），得y'＝8x－
1
，令y'＞0，即8x－ 2 ＞0，解得x＞
2
1
1
1
2
，∴函数y＝4x ＋ 的单调递增区间为 , +∞
2
2
答案：
.
1
, +∞
2
目录
1.若函数f（x）在区间（a，b）上递增，则f'（x）≥0，所以“f'（x）＞0在
｜解题技法｜
与抽象函数有关的不等式问题，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数.一般
地，在不等式中如果同时含有f（x）与f'（x），常需要通过构造含f（x）与另一
函数的积（或商）的新函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单
调性，从而求解不等式.
考向3 已知函数单调性求参数
【例5】 已知函数f（x）＝ln
1
2
即a＞ 2 － 有解，
1
2
设G（x）＝ 2 － ，
所以只要a＞G（x）min即可.
而G（x）＝
1
2
− 1 －1，
所以G（x）min＝－1.
所以a＞－1.
即a的取值范围是（－1，＋∞）.
目录
（2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.
解
1
（2）由f（x）在[1，4]上单调递减得，当x∈[1，4]时，f'（x）＝ －ax－
答案 D
目录
｜解题技法｜
利用导数比较大小的策略
利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小
的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.
目录
考向2 解不等式
【例4】
()
已知偶函数f（x）在R上存在导函数f'（x），当x＞0时，
＞－f'
（x），且f（2）＝1，则不等式（x2－x）f（x2－x）＞2的解集为
增.
（
）
答案：（3）×
目录
2.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则下列判断正确的是
（
）
A.在区）单调递减
C.在区间（4，5）上f（x）单调递增
D.在区间（3，5）上f（x）单调递增
解析：C 在（4，5）上f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在区间（4，5）上单
（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f'（x）≥0恒成立；若函数f
（x）在[a，b]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，得到关于参数的不等
式，解出参数范围；
（3）验证参数范围中取等号时，是否恒有f'（x）＝0.若f'（x）＝0恒成立，则
∴f（x）在（－∞，1－m）和（1，＋∞）上单调递减，在（1－m，1）上单
调递增.
综上，当m＝0时，f（x）在R上单调递减，当m＞0时，f（x）在R上单调递
减；f（x）在（－∞，1－m）和（1，＋∞）上单调递减，在（1－m，1）上
单调递增.
目录
求函数的单调区间
【例2】 已知函数f（x）＝aex－2－x，其中a∈R，e为自然对数的底数，求函
2
2，故
排除D选项.故选B.
目录
2.已知定义在区间（－π，π）上的函数f（x）＝xsin x＋cos x，则f（x）的单调
递增区间是
.
解析：f'（x）＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.令f'（x）＝xcos x＞0（x∈（－π，
π
π
π）），解得－π＜x＜－ 或0＜x＜ ，故函数f（x）的单调递增区间是
结论2知f（x）＝ex－e－x－2x在R上单调递增，故D满足题意.故选B、D.
目录
2.已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是增函数，则a的最大值是
.
解析：f'（x）＝3x2－a，由结论1知f'（x）≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞），
∴a≤3，即a的最大值是3.
答案：3
目录
02
目录
第二节
导数与函数的单调性
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般
不超过三次）.
CONTENTS
【例1】
（1）（2022·北京高考·节选） 已知函数f（x）＝exln（1＋x），设g
（x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性；
目录
解
（1）g（x）＝f'（x）＝ex
则g'（x）＝ex
ln(1 + ) +
2
1+
ln(1 + ) +
1
−
(1+)2
1
（2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划
分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间；
（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图
象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间.
提醒 若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”
2≤0恒成立，
1
2
即a≥ 2 － 恒成立.
1
所以a≥G（x）max，而G（x）＝
1
因为x∈[1，4]，所以
∈
1
,1
4
2
− 1 －1，
，
7
所以G（x）max＝－ （此时x＝4），
16
7
所以a≥－ ，即a的取值范围是
16
7
− , +∞
16
.
目录
｜解题技法｜
已知单调性求解参数范围的步骤
（1）对含参数的函数f（x）求导，得到f'（x）；
（x）＝x－sin x在R上单调递增，故B满足题意；由f（x）＝xex得f'（x）＝（1＋
x）ex，当x＞－1时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增；当x＜－1时，f'（x）＜0，
则f（x）单调递减，故C不满足题意；由f（x）＝ex－e－x－2x得f'（x）＝ex＋e－x
－2≥2 e · e− －2＝0，当且仅当x＝0时等号成立，显然f'（x）不恒为零，由
（a，b）上成立”是“f（x）在（a，b）上单调递增”的充分不必要条件.
2.可导函数f（x）在（a，b）上单调递增（减）的充要条件是∀x∈（a，b），f'
（x）≥0（f'（x）≤0）且f'（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零.
1.（多选）（2023·贵阳一模）下列选项中，在R上是增函数的有
数f（x）的单调区间.
解 由题可得函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝aex－1，
当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上单调递减；
当a＞0时，f'（x）＝a
e
−
1
，令f'（x）＝0，可得x＝－ln a，
当x＜－ln a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞－ln a时，f'（x）＞0，f
A.f（x）＝x4
B.f（x）＝x－sin x
C.f（x）＝xex
D.f（x）＝ex－e－x－2x
（
目录
）
解析：BD 由f（x）＝x4得f'（x）＝4x3，当x＞0时，f'（x）＝4x3＞0，则f（x）
单调递增；当x＜0时，f'（x）＝4x3＜0，则f（x）单调递减，故A不满足题意；
由f（x）＝x－sin x得f'（x）＝1－cos x≥0，显然f'（x）不恒为零，由结论2知f
（x）的单调性.
2 +(−2)+1−
[−(1−)](−1)
解：由题得f'（x）＝－
＝－
，
e
e
(−1) 2
当m＝0，即1－m＝1时，f'（x）＝－ ≤0，f（x）在R上单调递减；
e
当m＞0，即1－m＜1时，令f'（x）＜0得x＜1－m或x＞1，令f'（x）＞0得1
－m＜x＜1，
（x）单调递增.
综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调递减区间为R，无单调递增区间；当a
＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（－∞，－ln a），单调递增区间为（－ln
a，＋∞）.
目录
｜解题技法｜
利用导数求函数单调区间的方法
（1）当导函数不等式可解时，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0求出单调区间；
单调递增.因为g（x）在R上为奇函数且在R上具有导函数，所以g（x）在R内单
调递增.因为f（2）＝1，所以g（2）＝2f（2）＝2，又（x2－x）f（x2－x）＞2
等价于g（x2－x）＞g（2），所以x2－x＞2，解得x＜－1或x＞2.综上所述，x的
取值范围为（－∞，－1）∪（2，＋∞）.
答案 C
目录
1 2
x－ ax －2x（a≠0）.
2
（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
目录
解 （1）f（x）＝ln
1 2
x－ ax －2x，x∈（0，＋∞），
2
1
所以f'（x）＝ －ax－2，由于f（x）在（0，＋∞）上存在单调递减区间，
1
所以当x∈（0，＋∞）时， －ax－2＜0有解.
（
A.（－∞，－2）∪（1，＋∞）
B.（2，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（2，＋∞）
D.（－1，2）
目录
）
解析 令g（x）＝xf（x），由于f（x）为偶函数，则g（x）为奇函数，所以g'
()
()+′()
（x）＝f（x）＋xf'（x）.因为当x＞0时，
＞－f'（x），即
＞0，所
以f（x）＋xf'（x）＞0，即g'（x）＞0.所以当x＞0时，g（x）在（0，＋∞）上
解析
1
1
2
2
设g（x）＝ [（f（x）） －x ]，则g'（x）＝ [2f（x）f'（x）－2x]＝f
2
2
（x）f'（x）－x＞0恒成立，所以g（x）在定义域内单调递增，所以g（1）＞g
1
1
2
（－1），即 [（f（1）） －1]＞ [（f（－1））2－1]，解得（f（1））2＞（f
2
2
（－1））2，即｜f（1）｜＞｜f（－1）｜，故选D.
2
2
和
π
0,
2
答案：
π
−π, −
2
.
π
−π, −
2
和
π
0,
2
目录
函数单调性的简单应用
考向1 比较大小
【例3】 设定义在R上的函数f（x）的导函数是f'（x），且f（x）·f'（x）＞x恒
成立，则
（
）
A.f（1）＜f（－1）
B.f（1）＞f（－1）
C.｜f（1）｜＜｜f（－1）｜
D.｜f（1）｜＞｜f（－1）｜
目录
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0.
（
）
答案：（1）×
（2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调
性.
（
）
答案：（2）√
（3）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一定单调递
1+
，
，
2
1
设h（x）＝ln（1＋x）＋ －
，x∈[0，＋∞），
1+ (1+)2
1
2
2
2 +1
则h'（x）＝ －
＋
＝
＞0，
1+ (1+)2 (1+)3 (1+)3
故h（x）在[0，＋∞）上单调递增，
故h（x）≥h（0）＝1＞0，
因此g'（x）＞0对任意的x∈[0，＋∞）恒成立，
故g（x）在[0，＋∞）上单调递增.
（1）若 f'（x）＞0 ，则f（x）在区间（a，b）内是单调递增函数；
（2）若 f'（x）＜0 ，则f（x）在区间（a，b）内是单调递减函数；
（3）若恒有 f'（x）＝0 ，则f（x）在区间（a，b）内是常数函数.
提醒 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要
坚持“定义域优先”原则.
∴f（x）在
1
0,
上单调递增，在
1
, +∞
上单调递减.
综上，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在
上单调递增，在
1
, +∞
上单调递减.
目录
1
0,
｜解题技法｜
讨论函数f（x）单调性的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；
（3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上
讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性.
提醒 研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进
行分类讨论.
目录
2 ++1
已知函数f（x）＝
（m≥0），其中
e
e为自然对数的底数，讨论函数f
目录
（2）已知函数f（x）＝ln x－a（x＋1），讨论函数f（x）的单调性.
解
1
1−
（2）由题意得，f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ －a＝
.
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
1
1
当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜ ；令f'（x）＜0，解得x＞ .
连接，只能用“，”“和”隔开.
目录
3
1.函数f（x）＝x＋ ＋2ln
x的单调递减区间是（
A.（－3，1）
B.（0，1）
C.（－1，3）
D.（0，3）
解析：B
）
3
2
法一：令f'（x）＝1－ 2 ＋ ＜0（x＞0），得0＜x＜1，故所求函数的
单调递减区间为（0，1）.故选B.
7
法二：由题意知x＞0，故排除A、C选项；又f（1）＝4＜f（2）＝ ＋2ln
调递增.
目录
1
2
3.函数y＝4x ＋ 的单调递增区间为
.
1
1
2
解析：由y＝4x ＋ （x≠0），得y'＝8x－
1
，令y'＞0，即8x－ 2 ＞0，解得x＞
2
1
1
1
2
，∴函数y＝4x ＋ 的单调递增区间为 , +∞
2
2
答案：
.
1
, +∞
2
目录
1.若函数f（x）在区间（a，b）上递增，则f'（x）≥0，所以“f'（x）＞0在
｜解题技法｜
与抽象函数有关的不等式问题，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数.一般
地，在不等式中如果同时含有f（x）与f'（x），常需要通过构造含f（x）与另一
函数的积（或商）的新函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单
调性，从而求解不等式.
考向3 已知函数单调性求参数
【例5】 已知函数f（x）＝ln
1
2
即a＞ 2 － 有解，
1
2
设G（x）＝ 2 － ，
所以只要a＞G（x）min即可.
而G（x）＝
1
2
− 1 －1，
所以G（x）min＝－1.
所以a＞－1.
即a的取值范围是（－1，＋∞）.
目录
（2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.
解
1
（2）由f（x）在[1，4]上单调递减得，当x∈[1，4]时，f'（x）＝ －ax－
答案 D
目录
｜解题技法｜
利用导数比较大小的策略
利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小
的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.
目录
考向2 解不等式
【例4】
()
已知偶函数f（x）在R上存在导函数f'（x），当x＞0时，
＞－f'
（x），且f（2）＝1，则不等式（x2－x）f（x2－x）＞2的解集为
增.
（
）
答案：（3）×
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2.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则下列判断正确的是
（
）
A.在区）单调递减
C.在区间（4，5）上f（x）单调递增
D.在区间（3，5）上f（x）单调递增
解析：C 在（4，5）上f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在区间（4，5）上单
（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f'（x）≥0恒成立；若函数f
（x）在[a，b]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，得到关于参数的不等
式，解出参数范围；
（3）验证参数范围中取等号时，是否恒有f'（x）＝0.若f'（x）＝0恒成立，则
∴f（x）在（－∞，1－m）和（1，＋∞）上单调递减，在（1－m，1）上单
调递增.
综上，当m＝0时，f（x）在R上单调递减，当m＞0时，f（x）在R上单调递
减；f（x）在（－∞，1－m）和（1，＋∞）上单调递减，在（1－m，1）上
单调递增.
目录
求函数的单调区间
【例2】 已知函数f（x）＝aex－2－x，其中a∈R，e为自然对数的底数，求函
2
2，故
排除D选项.故选B.
目录
2.已知定义在区间（－π，π）上的函数f（x）＝xsin x＋cos x，则f（x）的单调
递增区间是
.
解析：f'（x）＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.令f'（x）＝xcos x＞0（x∈（－π，
π
π
π）），解得－π＜x＜－ 或0＜x＜ ，故函数f（x）的单调递增区间是
结论2知f（x）＝ex－e－x－2x在R上单调递增，故D满足题意.故选B、D.
目录
2.已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是增函数，则a的最大值是
.
解析：f'（x）＝3x2－a，由结论1知f'（x）≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞），
∴a≤3，即a的最大值是3.
答案：3
目录
02
目录
第二节
导数与函数的单调性
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般
不超过三次）.
CONTENTS