高考数学最后一道题

高考数学最后一道题
高考数学最后一道题：
已知函数 $f(x)=\frac{(x-1)(x-a)}{(a-1)}$，其中 $a>1$。

（1）求函数 $f(x)$ 的定义域。

（2）若$f(x)$ 在定义域上单调递减，求实数$a$ 的取值范围。

（3）确定 $a$ 的取值范围后，求函数 $f(x)$ 的值域。

解析：
（1）首先，要使函数 $f(x)$ 有意义，分母 $a-1$ 不可以为
$0$。

因此，我们得到了 $a\neq1$。

另外，由分式的定义可知，分母不能为$0$。

则有$a-1\neq0$，即 $a\neq1$。

所以，函数 $f(x)$ 的定义域为 $x\in R$ 且 $a\neq1$。

（2）对于单调性的判断，可以求导数。

$$f'(x)=\frac{(2a-1)x-(a^2-a)}{(a-1)^2}$$
由于 $f(x)$ 在定义域上单调递减，即 $f'(x)<0$。

则有 $\frac{(2a-1)x-(a^2-a)}{(a-1)^2}<0$。

考虑 $a-1$ 的正负，可以分情况讨论：
当 $a>1$ 时，有 $a-1>0$，则不等式保持不变。

所以不需要讨论 $a-1$ 的正负。

我们只需讨论分子的符号：
当 $a>1$ 时，分子为 $(2a-1)x-(a^2-a)$。

由于 $f'(x)<0$，则分子必须小于 $0$。

即 $(2a-1)x-(a^2-a)<0$。

解这个不等式，可以得到 $\frac{a-1}{2a-1}<x<\frac{a^2-a}{2a-1}$。

左侧的分数为正，右侧的分数为负，所以不等式成立。

因此，当 $a>1$ 时，函数 $f(x)$ 的定义域为 $x\in R$，其中$\frac{a-1}{2a-1}<x<\frac{a^2-a}{2a-1}$。

（3）根据已知函数的定义，可以得到 $f(x)=\frac{(x-1)(x-a)}{(a-1)}$。

显然，当 $x=1$ 时，$f(x)=0$；当 $x=a$ 时，$f(x)=0$。

对于 $x\neq1$ 且 $x\neq a$ 的情况：
由于 $f'(x)<0$，所以函数 $f(x)$ 在定义域上是单调递减的。

当 $x<1$ 时，$f(x)>0$。

当 $1<x<a$ 时，$f(x)<0$。

当 $x>a$ 时，$f(x)>0$。

综上所述，当 $a>1$ 时，函数 $f(x)$ 的值域为 $(-
\infty,0)\cup(0,+\infty)$。

综合以上讨论，当 $a>1$ 时，函数 $f(x)$ 的定义域为 $x\in R$，且 $\frac{a-1}{2a-1}<x<\frac{a^2-a}{2a-1}$；值域为 $(-
\infty,0)\cup(0,+\infty)$。