2014年高考数学模拟新题分类汇编教案：专题六 平面解析几何

专题六 平面解析几何
平面的基本性质、异面直线
1.（ 浙江省温州市十校联合体2014届高三上学期期末考试) 若a 和b 是异面直线, b 和c 是异面直线, 则a 和c 的位置关系是( ) .
A.异面或平行
B.异面或相交
C.异面
D.相交、 平行或异面 【答案】D
【解析】通过演示可以判断三种位置关系都有
2. （南昌一中、南昌十中2014届高三两校上学期联考）
已知m 是平面α的一条斜线，点A α∈，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）
A.//,l m l α⊥
B.,l m l α⊥⊥
C.,//l m l α⊥
D.//,//l m l α 【答案】C
【解析】 3. (2014东北三校联考)已知a ，b ，c ，d 是空间四条直线，如果a ⊥c ，b ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥d ，那么( )．
A ．a ∥b 且c ∥d
B ．a ，b ，c ， d 中任意两条可能都不平行
C ．a ∥b 或c ∥d
D ．a ，b ，c ，d 中至多有一对直线互相平行 【答案】C 【解析】：若a 与b 不平行，则存在平面β，使得a ⊂β且b ⊂β，由a ⊥c ，b ⊥c ，知c ⊥β，同理d ⊥β，所以c ∥d .若a ∥b ，则c 与d 可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C. 4. （山东省济南市2014届高三数学上学期期末考试）
给出命题：
(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
(2)设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α；
(3)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的充要条件；
(4)a ，b 是两条异面直线，P 为空间一点，过P 总可以作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一个平行．
其中正确命题的个数是( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】B 【解析】：(1)中有可能互相垂直；(2)正确；(3)α⊥β，m ⊂α不一定有m ⊥β.而m ⊥β则α⊥β一定成立，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件；(4)只有两异面直线互相垂直时，才能有这样的平面．
5. （2014届江西省景德镇市高三第二次质检） 如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．给出以下四个结论：
①直线AM 与直线C 1C 相交； ②直线AM 与直线BN 平行； ③直线AM 与直线DD 1异面； ④直线BN 与直线MB 1异面．
其中正确结论的序号为__________．(注：把你认为正确的结论序号都填上) 【答案】 ③④ 【解析】：AM 与C 1C 异面，故①错；AM 与BN 异面，故②错；③，④正确．
平行关系与垂直关系（一） 1. （2014年福建宁德市普通高中毕业班单科质量检查） 直线m 在平面α内，直线n 在平面β内，下列命题正确的是
A ．m n αβ⊥⇒⊥
B ．////m αββ⇒
C ．m n m β⊥⇒⊥
D ．////m n αβ⇒ 【答案】B
【解析】由面面平行的性质定理可以判断B 正确 2（山东省青岛二中2014届高三12月月考）
已知直线m 、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m ∥n 的一个必要但不充分条件是( ) A ．m ∥α，n ∥α B ．m ⊥α，n ⊥α C ．m ∥α，n ⊂α D ．m 、n 与α所成的角相等
3. （2014届安徽省合肥市高三第一次质量检测）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：
①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确命题的序号是
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③
D. ②④
【答案】C
【解析】当//αβ时，有l β⊥，所以l m ⊥，所以①正确。

若//l m ，则m α⊥，又m ⊂平面β，所以//αβ，所以③正确，②④不正确，所以选C.
4.
设a ，b 表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥α B ．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β C ．若a ∥α且a ∥β，则α∥β D ．若γ∥α且γ∥β，则α∥β 【答案】D
【解析】A 中直线b 也可能在平面α内；B 中两个平面也可以相交；C 中两个平面也可以相交，只有D 正确 5. （云南省昆明三中2014高三高考适应性月考）若βα,是两个不同的平面，下列四个条
件：①存在一条直线a ，βα⊥⊥a a ,；②存在一个平面γ，βγαγ⊥⊥，
；③存在两条平行直线a b a b a ,,,,βα⊂⊂∥,b β∥α；④存在两条异面直线,,,α⊂a b a
a b ,β⊂∥,b β∥α
．那么可以是α
∥
β
的充分条件有
（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】C
【解析】①可以；②,αβ也有可能相交，所以不正确；③,αβ也有可能相交，所以不正确；
④根据异面直线的性质可知④可以，所以可以是α∥β的充分条件有2个，选C. 6. （2014年兰州市高三第一次诊断考试数学）
已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：
①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂； ③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂ 其中正确的命题是 （ ） A ．①② B ．②③
C ．③④
D ．①④
【答案】D
【解析】①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,，正确，此为面面垂直的判定定理；
②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂，错误，若m//n 就得不出//αβ； ③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交，错误，m 与n 还可能相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂，正确。

平行关系与垂直关系（二）
1. （宁夏银川一中2014届高三年级月考）
设,αβ为两个不同平面，m 、 n 为两条不同的直线，且,,βα⊂⊂n m 有两个命题：
P ：若m ∥n ,则α∥β；q ：若m ⊥β, 则α⊥β. 那么（ ）
A ．“p 或q ”是假命题
B ．“p 且q ”是真命题
C ．“非p 或q ”是假命题
D ．“非p 且q ”是真命题
【答案】D
【解析】若//m n ，则面,αβ也可能相交，故命题p 是假命题，因为,m m βα⊥⊂，故
αβ⊥，则命题q 是真命题，所以“非p 且q ”是真命题．
2. （吉林省实验中学2013—2014年度高三上学期第四次阶段检测）
设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则下列4组条件中：①,α⊂a b ∥β，βα⊥； ②βαβα⊥⊥⊥,,b a ；③,α⊂a β⊥b ，α∥β； ④α⊥a ，b ∥β，α∥β. 能推得b a ⊥的条件有（ ）组. A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】C
【解析】①不成立；②中由,a a a b ^^得a a b b ÌP 或，又b b ^，所以b a ⊥；③中由β⊥b ，α∥β得b a ^，又,α⊂a ，所以b a ⊥；同理④也正确
3. （天津市新华中学2014高三第三次月考）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则
b a ⊥的一个充分条件是 ( )
A. βαβα⊥⊥,//,b a
B. βαβα//,,⊥⊥b a
C. βαβα//,,⊥⊂b a
D. βαβα⊥⊂,//,b a
【答案】C
【解析】若b β⊥，//αβ，所以b α⊥，又a α⊂，所以b a ⊥，即a b ⊥，所以选C. 4.（河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是（ ）
A ． MN 与CC 1垂直
B ． MN 与A
C 垂直 C ． MN 与B
D 平行 D ． MN 与A 1B 1平行
【答案】D 【
解
析
】
5. （南昌一中、南昌十中2014届高三两校上学期联考） 已知直线l ⊥平面α，直线⊆m 平面β，则下列四个结论：
①若βα//，则m l ⊥ ②若βα⊥，则m l // ③若m l //，则βα⊥ ④若m l ⊥，则βα// 其中正确的结论的序号是：（ ）
A ．①④
B ．②④
C ．①③
D ．②③
6.（ 河北邯郸市2014届高三教学质量检测）
设a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题：
①若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α； ②若a ∥α，α⊥β则a ⊥β； ③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥β．
其中正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】Ａ
【解析】①若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α，是错误的，因为有可能b αÜ；②若a ∥α，α⊥β则a ⊥β，是错误的，因为有可能a βÜ，也可以a βP ，还可以a 与平面β相交；③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α，是错误的，因为有可能a αÜ；④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥β，显然是错误的．
直线及其方程 1. (2014届安徽省蚌埠市高三第一次质量检查考试)设点(2,3)A -，(3,2)B --，直线l 过点
(1,1)P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A ．34k ≥
或4k ≤- B ．3
44
k -≤≤ C ．3
44
k -≤≤
D ．4k ≥或34
k ≤-
【答案】A
【解析】如图：
当直线l 从PB 的位置旋转到PA 的位
置时，直线的斜率范围是3
4
k ≥或4k ≤- 2.
（广州市2014届高三年级调研测试）
若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条 【答案】C
【解析】如图
圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，则
与两个圆同时相切的直线符合题意，共有3条
3. (2014银川一中高三第六次月考) 若直线x k y l )1(2:1-=-和直线2l 关于直线
1+=x y 对称，那么直线2l 恒过定点( )
A ．（2，0）
B ．（1，－1）
C ．（1，1）
D ．（－2，0）
【答案】C
【解析】直线x k y l )1(2:1-=-恒过定点（0,2），该点关于直线1+=x y 的对称点是（1，1），故直线2l 恒过定点（1，1） 4.
使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0,2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值最多有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
【答案】：D
【解析】：要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可．
若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0平行，则m ＝4； 若4x ＋y ＝4与2x －3my ＝4平行，则m ＝－16；
若mx ＋y ＝0与2x －3my ＝4平行，则m 值不存在；
若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0及2x －3my ＝4共点，则m ＝－1或m ＝2
3.
综上可知，m 值最多有4个．
二、填空题
5. （2014杭州市第一次统测）与直线7x ＋24y －5＝0平行，并且距离等于
3的直线方程是________．
【答案】 7x ＋24y －80＝0或7x ＋24y ＋70＝0
【解析】 设所求的直线方程为7x ＋24y ＋b ＝0，由两条平行线间的距离为3，得|b ＋5|25＝3，则b ＝－80或b ＝70，故所求的直线方程为7x ＋24y －80＝0或7x
＋24y ＋70＝0.
6.（宁夏银川一中2014届高三年级月考）与直线x +3y -1=0垂直的直线的倾斜角为________． 【答案】
3
π 【解析】所求直线的斜率tan 3k α==，∴3
π
α=．
7.（ 河北邯郸市2014届高三教学质量检测） 直线210x y -+=的倾斜角为θ，则221
sin cos θθ
-的值为_________。

【答案】53
【解析】
8. （陕西省咸阳市2014年高考数学模拟考试试题）
已知实数x 、y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为
【答案】： 5
【解析】：x 2
＋y 2
表示点(x ，y )到原点的距离．根据数形结合得
x 2＋y 2的最小值为原
点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝
5
5
＝ 5.
圆
1. （四川省成都市2014届高三上学期第一次诊断性检测）若点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2
＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 ( )
A ．x －y －3＝0
B ．2x ＋y －3＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．2x －y －5＝0
【答案】：A
【解析】：设圆心为C ，则k PC ＝0－(－1)1－2＝－1，则AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝
0.
2. （河北邯郸市2014届高三教学质量检测）
若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2
－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为 ( )
A ．(－∞，－2)
B ．(－∞，－1)
C ．(1，＋∞)
D ．(2，＋∞)
【答案】：D
【解析】：曲线C 的方程可化为：(x ＋a )2
＋(y －2a )2
＝4，其圆心为(－a,2a )，要使圆C 的所
有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径，易知圆心到纵坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，故a >2.
3.（ 2014届江西省景德镇市高三第二次质检）圆心在曲线y ＝3
x
(x >0)上，且与直线3x ＋4y
＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为
( )
A ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2
B ．(x －3)2＋(y －1)2
＝(165)2
C ．(x －2)2＋(y －32)2＝9
D ．(x －3)2＋(y －3)2
＝9
【答案】：C
【解析】：设圆心(a ，3
a )(a >0)，则圆心到直线的距离d ＝|3a ＋12
a ＋3|
5，
而d ≥1
5
(2
3a ·12a ＋3)＝3，当且仅当3a ＝12
a
，即a ＝2时，取“＝”，此时圆心为(2，
32)，半径为3，圆的方程为(x －2)2
＋(y －32
)2＝9. 4.（2014届安徽省合肥市高三第一次质量检测）已知点A 是圆C ：x 2＋y 2＋
ax ＋4y ＋30＝0上任意一点，A 关于直线x ＋2y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a 的值
( ) A ．等于10 B ．等于－10 C ．等于－4 D ．不存在
【答案】 D
【解析】 依题意，直线x ＋2y －1＝0过圆心，∴－a
2
－4－1＝0，∴a ＝－10.
又∵x 2＋y 2＋ax ＋4y ＋30＝0表示圆C ，∴D 2＋E 2－4F ＝a 2＋16－120>0， 解得a 2>104，∴a 不存在．
5.（浙江省瑞安十校2014届高三上学期期末联考数学（文）试题）点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4
C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 【答案】 A
【解析】 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为
M (x ，y )，则⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4＋x 0
2，
y ＝－2＋y 0
2，
解得
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，又因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2
＝4，
即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.
二、填空题
6. （2014年福建宁德市普通高中毕业班单科质量检查）
已知两点(4,0)A -，(0,3)B ，若点P 是圆2220x y x +-=上的动点，则PAB ∆的面积的最大
值为 . 【答案】10
【解析】如图：当点P 与圆心的连线垂直于AB 时，三角形
的，面积最大。

5,AB =圆心到直线AB 的距离为3，圆半径为1，所以三角形的最大
面积为()1531102
创
+=
7.（湖北省黄冈中学2014届高三数学（文）期末考试）
已知圆的方程为2
2
680x y x y +--=，设该圆过点()3,5的最长弦和最短弦分别为AC 和
BD ，则四边形ABCD 的面积为___________
【答案】206
【解析】过点()3,5的最长弦为直径，所以AC =10，最短弦为与AC 垂直的弦，所以
BD =46，所以四边形ABCD 的面积为1
2062
AC BD
?
8.
已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1
x －2
的最大值为________；最小值为________．
【答案】
33 －33
【解析】
y －1x －2
的几何意义表示圆上的动点与(2,1)连线的斜率，所以设
y －1x －2
＝k ，即kx －y ＋1－2k ＝0，当直线与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|－1＋1－2k |k 2＋1
＝1，解得k ＝±33.所以y －1x －2的最大值为33，最小值为－33.
直线与圆,圆与圆的位置关系
1. （福建周宁一中、政和一中2014届高三第四次联考）
若直线(1)10a x y +++=与圆2
2
20x y x +-=相切，则a 的值是( ) A ．1- B ．2，2- C ．1 D ．1- ,1 【答案】A
【解析】圆半径为1，由圆心到直线的距离()()2
11111
a d a ++=
=++得1a =-
2. （广东省百所高中2014届高三11月联合考试）
若点P （1,1）为圆（x －3）2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的斜率为 A 、
12 B 、－1
2
C 、2
D 、－2 【答案】C
【解析】设圆心为O ，则弦MN 所在直线与直线OP 垂直，因为直线OP 的斜率为101
132
-=--，所以弦MN 所在直线的斜率为2
3.（河南安阳市2014届高三年级第一次调研考试）
已知圆2
2
4x y +=和圆2
2
4440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ）
A ．20x y -+= B. 20x y --= C. 20x y +-= D. 20x y ++=
【答案】A
【解析】方程2
2
4440x y x y ++-+=经配方，得()()22
224x y ++-=圆心坐标是
(2,2)C -，半径长是2.圆224x y +=的圆心坐标是(0,0)O ，半径长是2.因为两圆关于直
线l 对称，所以直线l 是线段OC 的垂直平分线.线段OC 的中点坐标是(1,1)M - ，直线OC 的斜率1k =- ,所以直线l 的斜率1l k =，方程是11y x -=+ ，即20x y -+=. 4. （湖北省黄冈中学2014届高三数学（文）期末考试）
若圆(x -3)2 +(y +5) 2=r 2上有且只有两个点到直线4x -3y -2=0的距离等于1，则半径r 的取值是( ) A ．(4，6) B ．［4，6) C ．(4，6］ D ．［4，6］ 【答案】
【解析】因为圆心到直线的距离为()()
2
243352
25
55
43d ?--=
=
=+-，所以由题意可得1d r -<，解得46r <<
5.（ 广东惠州市2014届高三第三次调研考试）
若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2
有公共点，则b 的取值范围是 ( ) A ．[1－22，1＋22] B ．[1－2，3] C ．[－1,1＋22]
D ．[1－22，3]
【答案】：D
【解析】：在平面直角坐标系内画出曲线y ＝3－
4x －x 2
与直线y ＝x ，
在平面直角坐标系内平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿左上方平移到过点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－
4x －x 2
都有公共点；当直线沿右下方平移到与以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆相切的过
程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2
都有公共点．注意与y ＝x 平行且过点
(0,3)的直线方程是y ＝x ＋3；当直线y ＝x ＋b 与以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆相切时，有|2－3＋b |2＝2，b ＝1±2 2.结合图形可知，满足题意的b 的取值范围是[1－22，3]．
二、填空题
6. （合肥市2014年第一次教学质量检测）
已知点(),1A a 和曲线C:2
2
0x y x y +--=，若过点A 的任意直线都与曲线C 至少有一个
交点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】01a ＃
【解析】由题意知点A 应该在圆内或圆上，所以由2
110a a +--?得01a ＃
7. （吉林省实验中学2014届高三年级第一次模拟考试）
若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆01422
2
=+-++y x y x 截得的弦长为4 则
b
a 1
1+的最小值是 . 【答案】4
【解析】因为圆半径为2，故由题意可得直线过圆心（-1,2），所以2220a b --+=，即
1a b +=，所以
b
a 11+=24a
b a b
a b a b b a +++=++? 8. （2014年西工大附中第一次适应性训练）
若直线l ：1y kx =+被圆C ：2
2
-2-30x y x +=截得的弦最短，则k= ； 【答案】1
【解析】因为直线l ：1y kx =+过定点()0,1，且此点在圆2
2
-2-30x y x +=的内部，
所以当()0,1与圆心的联系和直线l ：1y kx =+垂直时，截得的弦最短。

又10
101
-=--，所以k=1.
9. （湖北省部分重点中学2014届高三第二次联考）
若直线03:=-+y ax l 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且以坐标原点为圆心以3为半径的圆与直线l 相切，则△AOB 面积为_____________．
10.（济南外国语学校2014届高三上期中）
已知点)4,1(P 在圆042:2
2
=+-++b y ax y x C 上，点P 关于直线03=-+y x 的对称点
也在圆C 上，则__________,==b a 。

椭圆
1. (浙江省瑞安十校2014届高三上学期期末联考数学)已知椭圆G 的中心在
坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为
3
2
，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )
A.x 24＋y 29＝1
B.x 29＋y 24＝1
C.
x 236
＋y 29
＝1 D.x 2
9＋y 2
36
＝1 【答案】 C
【解析】 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆上一点到其
两个焦点的距离之和为12，∴2a ＝12，∴a ＝6.
∵椭圆的离心率为3
2，∴
a 2－
b 2a ＝32，∴36－b 26＝3
2
，解得b 2＝9，∴椭圆G 的方程为
x 236
＋y 2
9
＝1.
2. （2014广东四校期末联考）已知椭圆的方程为)0(322
2
>=+m m y x ，则此椭圆的离心率为（ ） (A)
31 (B) 33 (C) 22 (D) 2
1
3. （2014昆明一中第二次检测）已知直线22
1259
x y x t =+=与椭圆交于P ，Q 两点，若点
F 为该椭圆的左焦点，则FP FQ ⋅u u u r u u u r 取最小值的t 值为
A ．—
100
17
B ．—
5017
C ．
5017
D ．
100
17
【答案】B
【解析】椭圆的左焦点(4,0)F -，根据对称性可设(,)P t y ，(,)Q t y -,则(4,)FP t y =+u u u r
，(4,)FQ t y =+-u u u r ，所以22(4,)(4,)(4)FP FQ t y t y t y =++-=+-u u u r u u u r
g g ，又因为
22
299(1)92525t y t =-=-，所以22229
(4)816925
FP FQ t y t t t =+-=++-+u u u r u u u r g
2348725t t =++，所以当50
217
b t a =-=-时，FP FQ u u u r u u u r g 取值最小，选B. 4. （2014北京市海淀区期末）椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭
圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是
A.12
(,)33 B.1(,1)2 C. 2(,1)3 D.111(,)(,1)322
U 【答案】D
【解析】当点P 位于椭圆的两个短轴端点时，12F F P ∆为等腰三角形，此时有2个。

,
若点不在短轴的端点时，要使12F F P ∆为等腰三角形，则有1122PF F F c ==或
2122PF F F c ==。

此时222PF a c =-。

所以有1122PF F F PF +>，即2222c c a c +>-，
所以3c a >，即
13c a >，又当点P 不在短轴上，所以11PF BF ≠，即2c a ≠，所以1
2
c a ≠。

所以椭圆的离心率满足113e <<且12
e ≠，即111
(,)(,1)322U ，所以选D.
5. （2014湖南长沙市一月期末四校联考数学文）已知动圆M 过定点A (－3,0)
并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为
A.x 216
＋y 27＝1 B.x 27＋y 216＝1 C.
x 216
－y 2
7
＝1 D.x 2
7－y 2
16
＝1 【答案】 A
【解析】 ∵点A 在圆B 内，∴过点A 的圆与圆B 只能内切，
∴圆心距|BM |＝8－|MA |，即|MB |＋|MA |＝8>|AB |， ∴点M 轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，
设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，又a ＝4，c ＝3，b 2
＝7，∴方程为x 216＋y 27
＝1.
二、填空题
6. （2014届江西省师大附中、临川一中高三上学期1月联考）已知直线220x y -+=过
椭圆22
221(0,0,)x y a b a b a b
+=>>>的左焦点1F 和一个顶点 B.则该椭圆的离心率
_____e =
【答案】
5
5
2 【解析】由220x y -+=得112y x =+,∴c b =21,即2
22c
c a -=21
. ∴22c a =45
,e=a c =5
52.
椭圆 (二)
1.（广东佛山市普通高中2014届高三教学质量检测）
已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为（ ）
A ．13
B ．12
C
D
．2
【答案】D
【解析】依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故b c =，222a c c -=
，∴e =
2. （2014杭州市第一次统测）若P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上的一点，
且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12
，则此椭圆的离心率为
( )
A.
53 B.23 C.13 D.12
【答案】A
【解析】在Rt △PF 1F 2中，设PF 2＝1，则PF 1＝2，F 1F 2＝5，故此椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝5
3.
4. (2014长春市第一次调研)如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD 且
2AB AD =，设DAB θ∠=，(0,)2
πθ∈，以A 、B 为焦点，且过
点D 的双曲线的离心率为1e ；以C 、D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则 A. 当θ增大时，1e 增大，12e e ⋅为定值
B. 当θ增大时，1e 减小，12e e ⋅为定值
A B
D C
C. 当θ增大时，1e 增大，12e e ⋅增大
D. 当θ增大时，1e 减小，12e e ⋅减小
二、填空题
5. （山东省济南市2014届高三上学期期末考试）已知直线220x y -+=过椭圆
22
221(0,0,)x y a b a b a b
+=>>>的左焦点1F 和一个顶点B.则该椭圆的离心率_____e = 【解析】由220x y -+=得112y x =+,∴c b =21,即2
22c c a -=21. ∴22c a =45
,e=a c =5
52. 6. （四川省南充市2014届高三第一次适应性考试数学） 若椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1的焦点在x 轴上，
过点(1，1
2
)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上
顶点，则椭圆方程是__________．
解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y －1
2＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y
－2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－3
4
，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5
＝0，求得切点A (35，4
5
)，易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2.令y ＝0得
右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2＝b 2＋c 2
＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 2
4
＝1.
答案：x 25＋y 2
4
＝1
双曲线
1.（2014河南省郑州市第一次质量预测）已知双曲线
)0
,0
(1
2
2
2
2
>
>
=
-b
a
b
x
a
y
的离心率为
3，则双曲线的渐近线方程为
A.x
y
2
2
±
= B.x
y2
±
= C.x
y2
±
= D.x
y
2
1
±
=
【答案】A
【解析】
()
2
2
,
3
12
2
2
±
=
=
+
a
b
a
b
,所以双曲线的渐近线方程为
x
y
2
2
±
=
.
2.（北京市朝阳区2014届高三数学上学期期末考试）
若双曲线C：22
2(0)
x y m m
-=>与抛物线x
y16
2=的准线交于,A B两点，且43
AB=，则m的值是（）
A. 116
B.80
C.52
D.20
【答案】D
【解析】
3.（甘肃省张掖市2014届高三数学上学期第二次月考试题）
已知双曲线)0
,0
(
1
2
2
2
2
>
>
=
-b
a
b
y
a
x的右焦点F，直线
c
a
x
2
=与其渐近线交于A，B两点，与x轴交于D点，且△ABF为钝角三角形，则离心率取值范围是（）
A. （∞
+
，3） B.（1，3） C.（∞
+
，
2） D.（1，2）
【答案】D
【解析】易知
2
,
a ab
A
c c
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，要是△ABF为钝角三角形，∠AFB为钝角，即∠AFD>450,所以
在∆ADF中，tan∠AFD=
2
1
ab
AD c
a
DF
c
c
=>
-
，解得12
e
<<
4.（广东韶关2014届高三调研测试题数学试题）
已知椭圆与双曲线
22
1
412
x y
-=的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，
那么椭圆的离心率等于( ) A. 35 B. 45 C. 54 D. 34
【答案】B
【解析】：5a =，4124c =
+=，4
5
e =
选B 5. （福建周宁一中、政和一中2014届高三第四次联考）
双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别是12F 、F ，过1F 作倾斜角为030的直
线交双曲线右支于M 点，若2MF x ⊥轴，则双曲线的离心率为（ ） A ．6 B ．3 C ．4 D ．3
【答案】B 【
解
析
】
6. (2014贵州省六校联盟第一次联考)我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当ο
6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）
A ．3
B ．2
C ．
3
3
2 D ．2 【答案】A
【解析】设椭圆的半长轴为1a ，椭圆的离心率为1e ，则1111
,c c
e a a e =
=.双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ，,c c
e a a e
=
=.12,,(0)PF x PF y x y ==>>，则由余弦定理得2222242cos 60c x y xy x y xy =+-=+-o ，当点P 看做是椭圆上的点时,有22214()343c x y xy a xy =+-=-，当点P 看做是双曲线上的点时,有
2224()4c x y xy a xy =-+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即
22214()3()c c c e e =+
，所以22111()3()4e e +=，又因为11e e =，所以221
34e e +=，整理得
42430e e -+=，解得23e =，所以=3e ，即双曲线的离心率为3，选A.
二、填空题.
7.（2014重庆模拟） 与双曲线2
2
1x y -=过一、三象限的渐近线平行且距离为2的直线方程为 . 【答案】20x y -±=；
【解析】双曲线2
2
1x y -=过一、三象限的渐近线方程为：0x y -= 设直线方程为：0x y b -+=所以22
b =，解得2b =±
抛物线
1. （浙江省宁波市2014届高三上学期期末考试数学文）若椭圆2162
x 2
y ＋＝
的右焦点与抛物线2
y ＝2px 的焦点重合，则p 的值为（ ）
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4 【答案】C
【解析】
2. （福建省闽南四校2014届高三上学期第一次联合考）已知抛物线2
2y px =(0)p >，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为（ ）
A ．1x =
B ．2x =
C ．1x =-
D ．2x =- 【答案】C
【解析】
3. （2014昆明市调研）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2
=2px （p ＞0）的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π，则p=（ ）
A 2
B 4
C 6
D 8 【答案】B
【解析】因为△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径；因圆面积为9π，所以圆的半径为3则
得p=4，故选B ．
4.(2014北京市东城区第一学期期末教学统一检测)已知抛物线2
2y px =的焦点F 与双曲
线22179
x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且
||2||AK AF =，则△AFK 的面积为
（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32 【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为(4,0)，抛物线的焦点为(
,0)2p ，所以42
p
=，即8p =。

所以抛物线方程为2
16y x =，焦点(4,0)F ,准线方程4x =-，即(4,0)K -,设2
(,)16
y A y ,
过A 做AM 垂直于准线于M,由抛物线的定义可知AM AF =,
所以22AK AF AM ==,即AM MK =,所以2
(4)16
y y --=，整理得216640y y -+=，
即2
(8)0y -=，所以8y =，所以11
883222
AFK S KF y ∆==⨯⨯=,
选D.
5.（湖北省武昌区2014届高三1月调考数学）已知圆C ：
222
1
()()64
x a y
a -+-=(a ∈R)，则下列命题：①圆C 上的点到()1,0的最短距离的最小值为
7
8
；②圆C 上有且只有一点P 到点1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离与到直线38x =-的距离相等；③已知3,08A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，在圆C 上有且只
有一点P ，使得以AP 为直径的圆与直线1
8
x =
相切.真命题的个数为 A ．0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】
二、填空题
6. （2014年兰州市高三第一次诊断考试数学）
已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o 150，则||PF =______． 【答案】
43
【解析】
7.
已知双曲线22
2
21x y a b -=的一个焦点与抛线线210y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等
，则该双曲线的方程为．
【答案】
2
21 9
x
y
-=
【解析】抛线
线
2
y=
的焦
点22
)10
a b
⇒+=
0．
31
e a b
==⇒=⇒=
．
8.（河南安阳市2014届高三年级第一次调研考试）过抛物线22(0)
y px p
=>的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是。

【答案】
x
y3
2=
【解析】设
()
11
,
A x y
，
()
22
,
B x y
，作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，所以∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，
设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，而
2
1212
3,1,
224
p p p
x x x x
+=+==
且
，
所以
23
31,
2242
p p p
p
⎛⎫⎛⎫
--==
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
解得
，所以抛物线的方程为
x
y3
2=。

直线与圆锥曲线的综合问题
1. （吉林省长春市2014届高三数学毕业班第一次调研测试试题）已知平面上的动点
P（x，y）及两个定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分
(1).求动点P的轨迹C方程；
(2).设直线L：y=kx+m与曲线 C交于不同两点，M，N，当OM⊥ON时，求O点到直线L的距
离（O为坐标原点）
【解析】（1）设(,)
P x y，由已知得
1
224
y y
x x
⋅=-
+-
，
整理得22
44
x y
+=，即
2
21
4
x
y
+=(2)
x≠±………4分
（2）设M
1122
(,),(,)
x y N x y
22
14
x y ⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得：222(41)8440k x kmx m +++-=
由 ()0)44)(14(482
22
>-+-=∆m k km 得22410k m +->
221122
2844
41
41
km
m x x x x k k -+=-⋅=++ ………8分
∵ON OM ⊥ ∴12120x x y y ⋅+⋅=
即 22
12121212()()(1)()0x x kx m kx m k x x km x x m ⋅+++=+⋅+++=
∴ 22
222
448(1)()04141
m km
k km m k k -+⋅+⋅-+=++ ∴22
4(1)5
m k =
+ 满足22410k m +-> ………10分 ∴O 点到l
的距离为d = 即22
24
15m d k ==+
∴5
d = ………12分
2．（广东省惠州市2014届高三数学第三次模拟考试试题 ）已知椭圆1C ：22
221x y a b +=的
离心率为2e =2C ：22221+1
x y b b -=有共同焦点.
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）在椭圆1C 落在第一象限的图像上任取一点作1C 的切线l ，求l 与坐标轴围成的三角形
的面积的最小值；
（3）设椭圆1C 的左、右顶点分别为,A B ，过椭圆1C 上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点
E ，若C 点满足AB BC ⊥u u u r u u u r ，//AD OC u u u r u u u r
，连结AC 交DE 于点P ，求证：PD PE =.
【解析】（1
）由2e =
可得：2c a =即2234
c a =
2
4
a ∴=224a
b ∴=①………………………2分 又2221
c b =+Q 即22221a b b -=+Q ②联立①②解得：2
2
4,1a b ==
∴椭圆1C 的方程为：2
214
x y +=……………………3分
（3）由（1）得(2,0),(2,0)A B -，设000(,)(,0)D x y E x ∴，
AB BC ⊥u u u r u u u r Q ，∴可设1(2,)C y ，∴001(2,),(2,)AD x y OC y =+=u u u r u u u r
由//AD OC u u u r u u u r 可得：010(2)2x y y +=即01022
y y x =+…………11分
3. 4.
圆锥曲线中的定性问题与,最值问题
1. （陕西省2014届高三数学下学期第一次联考试题） 已知椭圆22
44x y +=，斜率为1的直线l 交椭圆于A 、B 两点． （1）求弦AB 长的最大值；
（2）求ABO 面积的最大值及此时直线l 的方程（O 为坐标原点）．
【解析】：(1)设l ：y ＝x ＋b ，代入x 2
＋4y 2
＝4，整理得5x 2
＋8bx ＋4b 2
－4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8b 5，x 1x 2＝4b 2
－4
5，
|AB |＝1＋12
·|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2＝45
10－2b 2
. 由Δ＞0⇒64b 2
－20(4b 2
－4)＞0⇒b 2
＜5， ∴当b ＝0时，|AB |max ＝410
5
.(7分)
(2)点O 到直线l 的距离d ＝|b |
2
，
∴S △ABO ＝12|AB |·d ＝25（5－b 2）b 2
≤25·（5－b 2
）＋b 2
2＝1，
当且仅当5－b 2
＝b 2
，即b ＝±
10
2
时取等号， ∴(S △ABO )max ＝1，此时l ：2x －2y ±10＝0.(13分)
2. （山东省济南市2014届高三数学上学期期末考试）
已知椭圆C:)0(122
22>>=+b a b y a x 的离心率为3
6,长轴长为32.
(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线2
1
-
=kx y 交椭圆C 于A 、B 两点,试问：在y 轴正半轴上是否存在一个定点M 满足MB MA ⊥,若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．
（II ）当0k =时，直线21-
=y 与椭圆交于两点的坐标分别为)21,23(-A ，)2
1,23(--B 设y 轴上一点),0(t P ,满足PB PA ⊥, 即0=⋅PB PA ， ∴0)2
1
,23()21,23
(=---⋅--
t t 解得1=t 或2-=t （舍）， 则可知)1,0(P 满足条件，若所求的定点M 存在，则一定是P 点.……………………6分 下面证明)1,0(M 就是满足条件的定点.
设直线2
1
-
=kx y 交椭圆于点),(11y x A , ),(22y x B .
解法2：
∴1212121211
()()()()22
MA MB x x y t y t x x kx t kx t ⋅=+--=+----u u u r u u u r
221212)21
()()21()1(t x x k t x x k ++++-+=
0)2
1(41212)21(4129)1(2
2
22=+++⋅+-+-⋅
+=t k k k t k k ……………………………10分 整理得，0)2
1(49]9)21(12)2
1
(12[2
2
2
=++--+-+t t t k
由对任意k 都成立，得09)2
1(12)2
1(122
=-+-+t t
且 0)2
1(492
=++-t
解得1=t ……………………………11分 所以存在点)1,0(M 满足⊥. ……………………………12分 3. 4.。