高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标2.4.3向量平行的坐标表示学案北师大版必修4

2.4.3 向量平行的坐标表示
向量平行的条件 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，那么当且仅当____________时，向量a ，b (b ≠0)共线．由于规定零向量与任何向量平行，所以b ≠0的条件可去掉．当x 2y 2≠0时，向量a ，b 共线的条件也可以写作__________．
即：(1)若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． (2)若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行． 预习交流1
如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？ 预习交流2
a ＝(x 1，y 1)，
b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与x 1x 2＝y 1
y 2
等价吗？
预习交流3
(1)下列各组的两个向量，共线的是( )． A ．a 1＝(－2,3)，b 1＝(4,6) B ．a 2＝(1，－2)，b 2＝(7,14) C ．a 3＝(2,3)，b 3＝(3,2)
D ．a 4＝(－3,2)，b 4＝(6，－4)
(2)若a ＝(5,2)，b ＝(6，y )且a ∥b ，则y ＝______.
答案：x 1y 2－x 2y 1＝0
x 1x 2＝y 1y 2
预习交流1：提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向； 向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．
预习交流2：提示：不等价，因为x 2，y 2为零时，x 1x 2，y 1y 2
无意义．
预习交流3：(1)D (2)12
5
1．已知向量共线，求参数的值
已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
思路分析：题目给出了a ，b 的坐标，欲求k 的值使k a ＋b 与a －3b 平行，可先把向量k a ＋b 与a －3b 的坐标形式表达出来，再利用向量平行的坐标表示列出方程，或利用向量共线的定理列出方程求得k 的值，再根据符号确定两向量的方向．
已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )． A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2
利用向量共线的条件求值问题的处理思路：
对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．
2．关于三点共线问题
如果向量AB →＝i －2j ，BC →
＝i ＋m j ，其中i ，j 分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A ，B ，C 三点共线．
思路分析：要使A ，B ，C 三点共线，则需AB →∥BC →
，由向量共线的条件可求出m 的值．
p ，q ，r 是互异实数，三个点P (p ，p 3)，Q (q ，q 3)，R (r ，r 3)，求证：若P ，Q ，R 三点共线，则p ＋q ＋r ＝0.
三点共线的实质与证明
三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．
3．利用向量共线的条件求交点的坐标
如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．
思路分析：方法1：要求点P 的坐标，可利用O ，P ，B 三点共线，OP →＝λOB →，用OB →
的坐标表示OP →
的坐标，然后利用A ，P ，C 共线求出P 点坐标．
方法2：设出P 点的坐标，利用O ，P ，B 三点共线，A ，P ，C 三点共线，列出方程组求解．
在△AOB 中，已知点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →
，AD 与BC 交于点M ，
求点M 的坐标．
求两直线AB 与CD 的交点P 的坐标，常有两种思路，一种是利用AP →＝λAB
→
表示出AP →
的坐标，进而利用C ，P ，D 共线求出P 点坐标；另一种是设P 点坐标为(x ，y )，利用A ，P ，B 共线和C ，P ，D 共线建立方程组解出x ，y 的值．
答案：活动与探究1：解法一：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ∵(k a ＋b )∥(a －3b )，
∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0.
解得k ＝－1
3
.
此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
3
－3，－23＋2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43＝－13(10，－4)＝－13(a －3b )， ∴当k ＝－1
3
时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．
解法二：由解法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，因为(k a ＋b )∥(a －3b )，
当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．
由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝－13，λ＝－13.
当k ＝－1
3
时，k a ＋b 与a －3b 平行，
这时k a ＋b ＝－1
3a ＋b .
∵λ＝－13＜0，∴－1
3
a ＋
b 与a －3b 反向．
迁移与应用：D 解析：因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )， 所以a ＋b ＝(3，x ＋1),4b －2a ＝(6,4x －2)． 由a ＋b 与4b －2a 平行，
得3(4x －2)－6(x ＋1)＝0，解得x ＝2.
活动与探究2：解：由题意得AB ＝(1，－2)，BC ＝(1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥BC . ∴1×m －(－2)×1＝0，∴m ＝－2.
迁移与应用：证明：∵P ，Q ，R 三点共线，∴PQ 与PR 共线． ∴存在实数λ使得PQ ＝λPR .
即⎩
⎪⎨⎪⎧ q －p ＝λ(r －p )，q 3－p 3＝λ(r 3－p 3
).
①
②
②÷①得q 2＋qp ＋p 2＝r 2＋rp ＋p 2
. ∴(q －r )(p ＋q ＋r )＝0.
∵p ，q ，r 是互异实数，∴p ＋q ＋r ＝0.
活动与探究3：解法一：设OP OB λ=＝(4λ，4λ)．
AP ＝(4λ－4,4λ)，AC ＝(－2,6)．
因为A ，P ，C 三点共线，
所以6×(4λ－4)－(－2)×4λ＝0，解得λ＝3
4.
所以OP ＝(3,3)，即P 点坐标为(3,3)．
解法二：设P (x ，y )，OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)． 因为O ，P ，B 三点共线，所以4x －4y ＝0.①
又因为AP ＝(x －4，y )，AC ＝(－2,6)，且A ，P ，C 三点共线， 所以6×(x －4)－(－2)y ＝0，即3x ＋y ＝12.②
由式①和②得x ＝3，y ＝3，所以P 点坐标为(3,3)． 迁移与应用：解：∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)， ∴OA ＝(0,5)，OB ＝(4,3)．
∵OC ＝(x c ，y c )＝14OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54， ∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，54. 同理可得点D 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，32. 设点M 的坐标为(x ，y )，
则AM ＝(x ，y －5)，而AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72. ∵A ，M ，D 三点共线，∴AM 与AD 共线．
∴－7
2
x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①
而CM ＝⎝
⎛⎭⎪⎫x ，y －54，
CB ＝⎝
⎛⎭⎪⎫4－0，3－54＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
4，74.
∵C ，M ，B 三点共线，
∴CM 与CB 共线． ∴74x －4⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.② 由①和②得x ＝12
7
，y ＝2.
∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫127，2.
1．已知向量a ＝(4,2)，向量b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 等于( )．
A ．9
B ．6
C ．5
D ．3
2．已知A ，B ，C 三点共线，且A (3，－6)，B (－5,2)，若点C 的横坐标为6，则点C 的纵坐标为( )．
A ．－13
B ．9
C ．－9
D ．13
3．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是( )． A ．a －c 与b 共线 B ．b ＋c 与a 共线 C ．a 与b －c 共线 D ．a ＋b 与c 共线
4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系为__________．
5．(1)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a －4b 平行？ (2)已知a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，求点B 的坐标．
答案：1．B 解析：由已知a∥b ，得4×3－2x ＝0，所以x ＝6. 2．C 解析：设C 点纵坐标为y ，则C 点坐标为(6，y )． ∵A ，B ，C 三点共线，
∴AB ∥AC ，即(－8,8)∥(3，y ＋6)． ∴－8(y ＋6)－8×3＝0.∴y ＝－9.
3．C 解析：a －c ＝(4,2)与b 不共线； b ＋c ＝(7,11)与a 不共线；
∵b －c ＝(3,3)＝1
2
a ，∴
b －
c 与a 共线；
a ＋
b ＝(11,13)与
c 不共线．
4．λ＝μ 解析：λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)， a ＋b ＝(－1,5)．∵λa ＋μb 与a ＋b 共线，
∴(λ－2μ)×5－(2λ＋3μ)×(－1)＝0.∴λ＝μ.
5．解：(1)k a ＋2b ＝k (1,2)＋2(－3,2)＝(k －6,2k ＋4)， 2a －4b ＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)， 要使k a ＋2b 与2a －4b 平行，则
(k －6)×(－4)－(2k ＋4)×14＝0，得k ＝－1. (2)由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)， 设B (x ，y )，则AB ＝(x －1，y －2)＝b . 则⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.
又点B 在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
解得λ＝12或－2
3
，
所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭
⎪⎫73，0.。