第3章 代数式(压轴必刷30题6种题型专项训练)(原卷版)-2024-2025学年七年级数学上册同步

第3章代数式（压轴必刷30题6种题型专项训练）
一．列代数式（共7小题）
1．（2022秋•盱眙县期中）如图，两摞规格完全相同的课本整齐叠放在讲台上．请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题：
（1）每本课本的厚度为cm；
（2）若有一摞上述规格的课本x本，整齐叠放在讲台上，请用含x的代数式表示出这一摞数学课本的顶部距离地面的高度；
（3）当x＝56时，若从中取走14本，求余下的课本的顶部距离地面的高度．
2．（2022秋•常州期中）李师傅下岗后，做起来小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了30件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且a＜b．
（1）若李师傅将甲种商品提价40%，乙种商品提价30%全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果）
（2）若李师傅将两种商品都以元的价格全部出售，他这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由？3．（2022秋•灌南县期中）如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、
c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．
（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：
方法一：；方法二：；
（2）观察图②，试写出（a+b）2，a2，2ab，b2这四个代数式之间的等量关系：
；
（3）请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是6，图②的大正方形面积是49，求a2+b2的值；
（4）求3.142+6.28×6.86+6.862的值．
4．（2022秋•海陵区校级月考）用字母表示数是数学发展史上的一个里程碑，利用字母表示数，可以简化计算，可以使数量之间的关系更加简明，且更具有普遍意义．
（1）有理数的除法法则是“除以一个非零的数，等于乘以它的倒数”，请用字母表示这一法则：．
（2）计算（++）﹣2×（﹣﹣﹣）﹣3×（++﹣）的结果是．（3）甲、乙两家商店都经营一种商品，一开始标价相同．甲先涨价20%，发现销量不好，接着降价20%出售；乙先降价20%，后来又涨价20%．设最后的实际售价分别是a甲和a乙，则a甲a乙．（填“＞”“＜”或者“＝”）
5．（2022秋•建邺区校级月考）在数轴上有A、B、M三点，点M与点A、B之间的距离相等．
（1）若A、B两点表示的数分别为﹣12、8，则点M表示的数为；
（2）已知点A、B的运动方式如下：点A沿着数轴从数字﹣12处以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点B沿着数轴从数字8处以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t（t≠4）．
①点M表示的数为；（用含t的代数式表示）
②参照（2）中的描述方式，请直接写出点M的运动方式．
6．（2022秋•秦淮区期中）（1）在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积．
①②③④
（2）请在图④画出拼图并通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表达：．
（3）利用（2）的结论计算10.232+20.46×9.77+9.772的值．
7．（2022秋•宝应县期中）如图，在长方形中挖去两个三角形．
（1）用含a、b的式子表示图中阴影部分的面积；
（2）当a＝10，b＝8时求图中阴影部分的面积．
二．代数式求值（共6小题）
8．（2022秋•启东市校级月考）a※b是新规定的这样一种运算法则：a※b＝a2+2ab，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3
（1）试求（﹣2）※3的值
（2）若1※x＝3，求x的值
（3）若（﹣2）※x＝﹣2+x，求x的值．
9．（2022秋•常州月考）现定义一种新运算：a⊗b＝ab+a﹣b，如1⊗3＝1×3+1﹣3＝1．（1）求[（﹣2）⊗5]⊗（6）
（2）新定义的运算满足交换律吗？试举例说明．
10．（2022秋•江阴市校级月考）如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是1，y是数轴负半轴上
到原点的距离为1的数，求代数式﹣cd+y2017的值．
11．（2022秋•徐州期中）某校团委组织了有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖，根据设奖情况买了50件奖品，其二等奖奖品的件数比一等奖奖品的件数的2倍少10，各种奖品的单价如下表所示：
一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品
单价/元12105
数量/件x
如果计划一等奖奖品买x件，买50件奖品的总价是y元．
（1）先填表，再用含x的代数式表示y并化简；
（2）若一等奖奖品买10件，则共花费多少？
12．（2022秋•兴化市校级月考）某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价48元，乒乓球每盒定价12元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球x盒（不小于5盒）．问：（1）用代数式表示甲、乙两店购买所需的费用；
（2）当需要40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家购买较为合算；
（3）当需要40盒乒乓球时，你能给出一种更为省钱的方法吗？试写出你的购买方法和所需费用．13．（2022秋•兴化市校级期末）某商场购进一批西服，进价为每套250元，原定每套以290元的价格销售，
这样每天可销售200套．如果每套比原销售价降低10元销售，则每天可多销售100套．该商场为了确定销售价格，作了如下测算，请你参加测算，并由此归纳得出结论．（每套西服的利润＝每套西服的销售价﹣每套西服的进价）．
（1）按原销售价销售，每天可获利润元；
（2）若每套降低10元销售，每天可获利润元；
（3）如果每套销售价降低10元，每天就多销售100套，每套销售价降低20元，每天就多销售200套，按这种方式，若每套降低10x元（0≤x≤4，x为正整数）请列出每天所获利润的代数式；
（4）计算x＝2和x＝3时，该商场每天获利润多少元？
（5）根据以上的测算，如果你是该商场的经理，你将如何确定商场的销售方案？
三．规律型：数字的变化类（共6小题）
14．（2022秋•江阴市期中）式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的连续100个正整数的和，由于上述式子比较长，书写不方便，为了简便起见，可以将上述式子表示为，这里“∑”是求和的符号．例如“1+3+5+7+…+99”用“∑”可以表示为，“13+23+33+…+103”用“∑”可以表示为．（1）把写成加法的形式是；
（2）“2+4+6+8+…+100”用“∑”可以表示为；
（3）计算：．
15．（2022秋•宿城区期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得
其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．
6a b x﹣21…
（1）可求得x＝，第2019个格子中的数为；
（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2019？若能，求出m的值，若不可能，请说明理由；
（3）如果x，y为前3格子中的任意两个数，那么所有的|x﹣y|的和可以通过计算|6﹣a|+|a﹣6|+|a﹣b|+|b ﹣a|+|6﹣b|+|b﹣6|得到．若x，y为前20格子中的任意两个数，则所有的|x﹣y|的和为．
16．（2022秋•锡山区校级月考）观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝（1﹣）
第2个等式：a2＝＝（﹣）
第3个等式：a3＝＝（﹣）
第4个等式：a4＝＝（﹣）
…
请回答下列问题：
（1）按上述等式的规律，列出第5个等式：a5＝＝
（2）用含n的式子表示第n个等式：a n＝＝
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
17．（2022秋•广陵区校级月考）观察下列等式＝1﹣，＝，＝
将以上三个等式两边分别相加得：++＝1﹣++＝1﹣＝
（1）猜想并写出：＝
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①+++…+＝
②+++…+＝
（3）探究并计算：+++…+．
18．（2022秋•苏州期末）分类讨论是重要的数学方法，如化简|x|，当x＞0时，|x|＝x；当x＝0时，|x|＝0；
当x＜0时，|x|＝﹣x．求解下列问题：
（1）当x＝﹣3时，值为，当x＝3时，的值为，当x为不等于0的有理数时，的值为；
（2）已知x+y+z＝0，xyz＞0，求的值；
（3）已知：x1，x2，…，x2021，x2022，x2023，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为（请用含n的式子表示）．
19．（2022秋•靖江市月考）从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下：
（1）按这个规律，当m＝6时，和为；
（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：．（3）应用上述公式计算：
①2+4+6+…+200
②202+204+206+ (300)
四．规律型：图形的变化类（共4小题）
20．（2022秋•大丰区校级月考）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（）
A．13＝3+10B．25＝9+16C．36＝15+21D．49＝18+31
21．（2022秋•海陵区校级月考）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A n，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．
22．（2022秋•灌云县期中）某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：
（1）当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？
（2）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？
23．（2022秋•钟楼区校级月考）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换
（1）平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖
的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是．
A．（+4）+（+1）＝+5
B．（+4）+（﹣1）＝+3
C．（﹣4）﹣（+1）＝﹣5
D．（﹣4）+（+1）＝﹣3
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个
单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是．
（2）翻折变换
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠
后重合，则A点表示，B点表示．
③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣19、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，
若点A对应的点A'落在点B的右边，并且A'B＝2，求点C表示的数．
五．整式的加减（共4小题）
24．（2022秋•海州区期中）已知：A＝ax2+x﹣1，B＝3x2﹣2x+1（a为常数）（1）若A与B的和中不含x2项，求a的值；
（2）在（1）的条件下化简：B﹣2A．
25．（2022秋•宿城区期中）已知多项式（2x2+ax﹣y+6）﹣（bx2﹣2x+5y﹣1）（1）若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，先化简多项式2（a2﹣ab+b2）﹣（a2+ab+2b2），再求它的值．
26．（2022秋•泗洪县期中）已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x．（1）求A﹣2B；
（2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．
27．（2022秋•锡山区期中）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”：
当a+b为偶数时，规定a⊙b＝2|a+b|+|a﹣b|；
当a+b为奇数时，规定a⊙b＝2|a+b|﹣|a﹣b|．
（1）当a＝2，b＝﹣4时，求a⊙b的值．
（2）已知a＞b＞0，（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝7，求式子（a﹣b）+（a+b﹣1）的值．
（3）已知（a⊙a）⊙a＝180﹣5a，求a的值．
六．整式的加减—化简求值（共3小题）
28．（2022秋•东海县期中）小华从课外书上抄写了这样一道练习题：已知x＝3．求：6x2+4x﹣2（x2﹣1）﹣2（2x+x2）的值．粗心的小华把x＝3抄成了x＝﹣3，但计算的结果却是正确的．同学们你知道其中原因吗？
29．（2022秋•东台市期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc．例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2．
（1）按照这个规定，请你计算|的值；
（2）按照这个规定，请你计算（x﹣2）2+（y+）2＝0时，值．
30．（2022秋•海安市期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc．例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2
（1）按照这个规定，请你计算的值．
（2）按照这个规定，请你计算当|m+3|+（n﹣1）2＝0时，的值．。