北京市平谷区2018届九年级数学上学期期末试题 新人教版

北京市平谷区2018届九年级数学上学期期末试题
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的. 1．已知
1
2
a b =，则a b b +的值是 （A ）32（B ）23（C ）12
（D ）12-
2．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线12l ,l 与这三条平行线分别交于点A ,B ,C 和
D ,
E ,
F ．已知AB =1，BC =3，DE =2，则EF 的长是
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）8 3．下列各点在函数2
1y x =-+图象上的是
（A ）（0,0）（B ）（1,1）（C ）（0,﹣1）（
D ）（1,0）
4．如图，Rt △ABC 中，∠
C =90°，∠A =30°，C
D ⊥AB 于D ，则△CBD 与△ABC 的周长比是 （A B C ）14（D ）12
5．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，AC =3，则sin B 的值是 （A ）
35（B ）45（C ）34
（D ）53 6．如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA ，OB ，∠ABO =40°，则∠C 的度数
是
（A ）100°（B ）80°（C ）50°（D ）40° 7．反比例函数2
y x
=
的图象上有两点()11A x ,y ，()22B x ,y ，若x 1＞x 2，x 1x 2＞0， 则y 1－y 2的值是
（A ）正数（B ）负数（C ）0（D ）非负数
8．如图，在平面直角坐标系中，点A （1,1），B （﹣1,1），C （﹣1,﹣2），D （1,﹣2），按A →B →C →D →A …排列，则第2018个点所在的坐标是
（A ）（1,1）（B ）（﹣1,1） （C ）（﹣1,﹣2）（D ）（1,﹣2） 二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9
．将二次函数2
2
3y x x =-+化为()2
y x h k =-+的形式，则h =，k =．
10．圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是cm （结果不取近似值）．
11．请写出一个过点（1,1），且与x 轴无交点的函数表达式 ． 12．已知菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =2，则菱形ABCD 的面积是． 13．“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体
而无所失矣.”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB 是圆内接正六边形的一条边，半径OB =1，OC ⊥AB 于点D ，则圆内接正十二边形的边BC 的长是（结果不取近似值）．
14．关于x 的二次函数2
21y ax ax a =-+-（a ＞0）的图象与x 轴的交点情况是．
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△DEF 可以看作是△ABC 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC 得到△DEF 的过程：． 16．下面是“作一个角等于30°”的尺规作图过程．
作法：如图， （1）作射线AD ；
（2）在射线AD 上任意取一点O （点O 不与点A 重合）； （3）以点O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，交射线AD 于点B ； （4）以点B 为圆心，OB 为半径作弧，交⊙O 于点C ； （5）作射线AC ．
∠DAC 即为所求作的30°角．
请回答：该尺规作图的依据是．
三、解答题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24题6分，第25题6分，第26、
27题，每小题7分，第28题8分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算：1
12sin 3032-⎛⎫
︒+- ⎪⎝⎭
．
18．如图，函数2
y x bx c =-++的图象经过点A ，B ，C ． （1）求b ，c 的值； （2）画出这个函数的图象．
19．如图，∠ABC =∠BCD =90°，∠A =45°，∠D =30°，BC =1，
AC ，BD 交于点O ．求
BO
DO
的值．
20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∠A =15°，AB =4．求弦CD 的长．
21．缆车，不仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题．如图，当缆车
经过点A 到达点B 时，它走过了700米．由B 到达山顶D 时，它又走过了700米．已知线路AB 与水平线的夹角 为16°，线路BD 与水平线的夹角β为20°，点A 的海拔是126米．求山顶D 的海拔高度（画出设计图，写出解题思路即可）．
22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y =k
x
（k ＞0，x ＞0）的图象与直线y =2x ﹣2交于点Q （2，m ）． （1）求m ，k 的值；
（2）已知点P （a ，0）（a >0）是x 轴上一动点，过点P 作平行于y 轴的直线，交直线y =2x ﹣2于点M ，交函数y =k
x
的图象于点N ．
①当a =4时，求MN 的长；
②若PM ＞PN ，结合图象，直接写出a 的取值范围．
23．如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点O 作
EO ⊥BD ，交BA 延长线于点E ，交AD 于点F ，若EF=OF ，∠CBD =30°，
BD =AF 的长．
24．如图，点C 是以AB 为直径的⊙O 上一动点，过点C 作⊙O 直径CD ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ．已知AB =6cm ，设弦AC 的长为x cm ，B ，E 两点间的距离为y cm （当点C 与点A 或点B 重合时，y 的值为0）．
小冬根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小冬的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：
6
经测量m 的值是（保留一位小数）．
（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图
象；
（3）在（2）的条件下，当函数图象与直线1
2
y x 相交时（原点除外），∠BAC 的度数是．
25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠
BAC 交BC 于点D ，点O 是AB 边上一点，以O 为圆心
作⊙O 且经过A ，D 两点，交A B 于点E ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）AC =2，AB =6，求BE 的长．
26．已知函数2
2y x mx =-的顶点为点D ． （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）求函数22y x mx =-的图象与x 轴的交点坐标；
（3）若函数22y x mx =-的图象在直线y=m 的上方，求m 的取值范围．
27．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB=AC ．在平面内任取一点D ，连结AD （AD ＜AB ），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连结DE ，CE ，BD ． （1）请根据题意补全图1；
（2）猜测BD 和CE 的数量关系并证明；
（3）作射线BD ，CE 交于点P ，把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC =90°，AB =2，AD =1时，补全图形，直接写出PB 的长．
B
图
1
B
备用图
28．在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．
（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；（2）点M,N是一对“互换点”，点M的坐标为(m,n)，且(m＞n)，⊙P经过点M,N．
①点M的坐标为(4,0)，求圆心P所在直线的表达式；
②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．
平谷区2017～2018学年度第一学期期末初三数学答案及评分参考一、选择题（本题共16分，每小题2分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．1；2；10．4π；11．答案不唯一，如：
1
y
x
=； 12
．
13
=
14．答案不唯一，如：△ABC绕点O逆时针旋转90°；15．有两个不同交点；
16．答案不唯一，如：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．
三、解答题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24题6分，第25题5分，第26、
27题，每小题7分，第28题8分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．解：原式
=
1
223
2
⨯+- (4)
=6- (5)
18．解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1,0），B（0,3），
∴
10,
3.
b c
c
--+=
⎧
⎨
=
⎩
． (2)
解得
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
． (4)
（2）图略． (5)
19．解：∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD． (1)
∴∠A=∠ACD． (2)
∴△ABO∽△CDO． (3)
∴BO AB
CO CD
=． (4)
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=45°，BC=1，∴AB=1．
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，∠D=30°，BC=1，∴CD
∴
3
BO
CO
==． (5)
20．解：∵∠A=15°，
∴∠COB=30°． (1)
∵AB=4，
∴OC=2． (2)
∵弦CD⊥AB于E，
∴CE=1
2 CD． (3)
在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠COB=30°，OC=2，
∴CE=1． (4)
∴CD=2． (5)
21．解：如图， (1)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠α=16°，AB=700，由sinα，
可求BC的长． (2)
即BC=AB·sinα=700sin16°，
在Rt△BDE中，∠DBE=90°，∠β=16°，BD=AB=700，由sinβ，
可求DE的长． (3)
即DE=BD·sinβ=700sin20°，
由矩形性质，可知EF=BC=700sin16°， (4)
FH=AG=126．
从而，可求得DH的长． (5)
即DH=DE+EF+FH=700sin20°+700sin16°+126．
22．解：（1）∵直线y=2x﹣2经过点Q（2，m），
∴m=2． (1)
∴Q（2，2）．
∵函数y=k
x
经过点Q（2，2），
∴k=4． (2)
（2）①当a=4时，P（4，0）．
∵反比例函数的表达式为y=4
x
． (3)
∴M（4,6），N（4,1）．
∴MN=5． (4)
②∵PM＞PN，
∴a＞2． (5)
23．解：方法一：
∵□ABCD ，
∴AD ∥BC ，OD =
1
2
BD = ····················· 1 ∵∠CBD =30°， ∴∠ADB =30°． ∵EO ⊥BD 于O ， ∴∠DOF =90°．
在Rt △ODF 中，tan30°=
3
OF OD =， ∴OF=3． (2)
∴FD =6．
过O 作OG ∥AB ，交AD 于点G ． ∴△AEF ∽△GOF ． ∴
AF EF
GF OF
=
． ∵EF=OF ， ∴AF=GF ．
∵O 是BD 中点，
∴G 是AD 中点． ·························· 3 设AF=GF=x ，则AD =6+x ． ∴AG =62
x
x x ++=
． ........................ 4 解得x =2． ∴AF =2． .. (5)
方法二：延长EF 交BC 于H ． 由△ODF ≌△OHB 可知， OH =OF ． ··········· 3 ∵AD ∥BC ，
∴△EAF ∽△EBH ． ∴
EF AF
EH BH
=
． ∵EF=OF ， ∴
1
3
AF BH =． ··························· 4 由方法一的方法，可求BH =6． ∴AF =2．
24．解：（1）m =2.76； (1)
（2）如图； ............................ 4 （3）如图． .. (5)
∠BAC =30°． (6)
25．（1）证明：连结OD ，
∵OA =OD ，
∴∠OAD =∠ODA ．
∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAD =∠OAD ． ∴∠CAD =∠ODA ． ∴OD ∥AC ． ......................... 1 ∵∠ACB =90°， ∴∠ODB =90°． .. (2)
即OD ⊥BC 于D ．
∴BC 是⊙O 的切线． ························ 3 （2）解：∵OD ∥AC ，
∴△BDO ∽△BCA ．
∴
OD BO
AC BA
=
． ······················· 4 ∵AC =2，A B =6，
∴设OD =r ，则BO =6﹣r ．
∴
626
r r
-=
． 解得r =3
2
．
∴AE =3． ∴BE =3． (5)
26．解：（1）2
2y x mx =-
()2
2x m m =-- .......................... 1 ∴D （m ,2m -）． . (2)
（2）令y =0，得220x mx -=．
解得1202x ,x m ==．
∴函数的图象与x 轴的交点坐标（0,0）,（2m ,0）． (4)
（3）方法一：∵函数22y x mx =-的图象在直线y=m 的上方，
∴顶点D 在直线y=m 的上方． ···················· 5 ∴2m -＞m ． ··························· 6 即2m m +＜0．
由y =2m m -的图象可知，m 的取值范围为：﹣1＜m ＜0． ········ 7 方法二：∵函数22y x mx =-的图象在直线y=m 的上方，
∴22x mx -＞m ． (5)
∴当22x mx -=m 时，抛物线和直线有唯一交点．
∴()()2=24m m ∆---
=2440m m +=．
解得120,1m m ==-． (6)
∴m 的取值范围为：﹣1＜m ＜0． (7)
27．解：（1）如图 (1)
（2）BD 和CE 的数量是：BD =CE ；·················· 2 ∵∠DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE =90°，
∴∠DAB=∠CAE ． ·························· 3 ∵AD=AE ，AB=AC ，
∴△ABD ≌△ACE ．
∴BD =CE ． (4)
（3）PB 的长是5或5
． (7)
28．解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）； (2)
（2）①连结MN ，
∵OM =ON =4，
∴Rt △OMN 是等腰直角三角形．
过O 作OA ⊥MN 于点A ，
∴点M ,N 关于直线OA 对称． (3)
由圆的对称性可知，圆心P 在直线OA 上． (4)
∴圆心P 所在直线的表达式为y=x ． (5)
②当MN 为⊙P 直径时，由等腰直角三角形性质，可知m －n = ·· 6
当点M ,N 重合时，即点M ,N 横纵坐标相等，所以m －n =0； (7)
∴m －n 的取值范围是0＜m －n ≤ (8)。