对一道2007年全国初中数学联赛题的新想法

巧思妙解
对一道2007年全国初中数学联赛题的新想法
罗增儒
(陕西师范大学数学系,710062)
收稿日期:2007-08-27
本刊2007年第8期刊登的《2007年全国初中数学联赛》第二试A 卷最后一题是:
例1　已知a 是正整数.如果关于x 的方程
x 3+(a +17)x 2
+(38-a )x -56=0的根都是整数,求a 的值及方程的整数
根.
[1]正如参考答案所说的:“观察易知,方程有一个整数根x 1=1”,问题便转化为:
例2　已知a 是正整数.如果关于x 的方程
x 2
+(a +18x +56=0
①
的根都是整数,求a 的值及方程的整数根.
笔者认为,文[1]对例2的处理虽有一般性,但过于保守,去掉“已知a 是正整数”的条件,也能“求a 的值及方程的整数根”;对例2还可用“有整数根”代替“根都是整数”.1　新想法的由来
笔者感到,文[1]对例2讨论判别式为完
全平方数、并引进k 2
不是必要的.众所周知,对二次方程
ax 2
+bx +c =0
配方时,可用这样的方式来突出判别式的地位,即先乘以4a 再配方,依次有
4a 2x 2
+4abx +4ac =0,
(2ax )2+2(2ax )b +b 2-b 2+4ac =0,(2ax +b )2=b 2-4ac .
可见,判别式来源于配方法,判别式本身
就是一个完全平方式(2ax +b )2
.由方程①有
(2x +a +18)2=(a +18)2-224.
文[1]所引进的k 2,就是(2x +a +18)2
,
文[1]中的分解式
(a +18+k )(a +18-k )=224,只要用2x +a +18代替k ,即有
[2(x +a +18)](-2x )=224Ζx (x +a +18)=-56.
这就是方程①移项变形,引进的k 2
是一个可精简的步骤.接下来的整数分解与讨论,当然是分解56比分解224更方便.
新想法来源于对文[1]实质步骤的分析,也可以说,是用配方法处理二次方程整数根的问题.
2　新想法的书写
解法1:观察易知,方程有一个整数根x 1
=1,问题便转化为:二次方程
x 2
+(a +18)x +56=0
的根都是整数.求正整数a 的值及方程的整
数根.
把方程变为
x (x +a +18)=-56<0.②可见,x 与x +a +18异号.又当a 为正整数时,有(x +a +18)-x =a +18≥19.故在-56的分解式中,x 取负值,x +a +18取正值,且两因数之差(大数减小数)不小于19.由
56=1×56=2×28=4×14=7×8知,只有两种情况:
(1)x =-1,x +a +18=56或
x =-56,x +a +18=1,
均有a =39,方程的整数根为
21中等数学
x2=-1,x3=-56;
(2)x=-2,
x+a+18=28
或
x=-28,
x+a+18=2,
均有a=12,方程的整数根为
x2=-2,x3=-28.
所以,当a=39时,方程的整数根为
x1=1,x2=-1,x3=-56;
当a=12时,方程的整数根为
x1=1,x2=-2,x3=-28.
说明1:可把式②变为a=-x-18-56
x
,然后,让x取56的约数来求解.
说明2:由式②及韦达定理知,当x为方程的一个根时,-(x+a+18)必为方程的另一个根,因而,解法1又可以改写为韦达定理的形式.
解法2:只解方程①.记方程的两个整数
根为x
1、x2,不妨设x1>x2.由二次方程根与系数的关系有
x1+x2=-(a+18)≤-19,③
x1x2=56>0.④
由式④知两根同号,再由式③知两根同为负整数,且其和不超过-19.
由56的分解式
56=(-1)(-56)=(-2)(-28)
=(-4)(-14)=(-7)(-8),
知两数和不超过-19的只有两种情况:
(1)x1=-1,
x2=-56,
a=-18-(x1+x2)=39;
(2)x1=-2,
x2=-28,
a=-18-(x1+x2)=12.
说明:由求解过程可见,式③中x
1、x
2
为
整数决定了a=-18-(x
1
+x2)必为整数.因而,条件“a为正整数”的作用主要是简化初中阶段的运算,降低试题的难度,否则,同样的方法可以求解下题:
例3　如果关于x的方程
x2+(a+18)x+56=0
有两个整数根,求a的值及方程的整数根.
这时,应有8个取值:
39,12,0,-3,-75,-48,-36,-33.
限于正整数,a就只有两个取值了.
3　新想法的应用
在式②,即x(x+a+18)=-56中,用x -3代替x有
(x-3)(x+a+15)=-56.⑤
展开得x2+(a+12)x+11-3a=0.
这正是第二试C卷的最后一题.下面用这道题来说明新想法的更一般性应用.
例4　设a是正整数.如果二次函数y=2x2+(2a+23)x+10-7a和反比例函数y=
11-3a
x
的图像有公共整点(横、纵坐标都是整数的点),求a的值和对应的公共整点.
解法1:两方程联立消去y得
2x2+(2a+23)x+10-7a=
11-3a
x
,
即　2x3+(2a+23)x2+(10-7a)x+3a-11=0.
分解因式得
(2x-1)[x2+(a+12)x+11-3a]=0.
由于已知两函数图像有公共整点,而2x-1=0的解不是整数,故二次方程
x2+(a+12)x+11-3a=0⑥必有整数根.对方程的整数根x配方有
x+
a+12
2
2
-
a2+36a+100
4
=0,
即　x+a+12
2
2
-a
+18
2
2
+56=0.
整理得(x-3)(x+a+15)=-56<0.
这正是如所预料的式⑤.
由x-3为整数知,x+a+15也是整数,且是两个异号的整数.
又当a为正整数时,有
(x+a+15)-(x-3)=a+18≥19.
故在-56的分解式中,x-3取负值, x+a+15取正值,且两因数之差(大数减小数)不小于19.由
31
2007年第11期
56=1×56=2×28=4×14=7×8知,只有两种情况:
(1)x-3=-1,
x+a+15=56
或
x-3=-56,
x+a+15=1,
均得a=39,方程⑥的解为x
1
=2,x2=-53.
代入y=11-3a
x
,得两函数图像的公共整点为(2,-53),(-53,2);
(2)x-3=-2,
x+a+15=28
或
x-3=-28,
x+a+15=2,
均得a=12,方程⑥的解为x
1
=1,x2=-25,
代入y=11-3a
x
,得两函数图像的公共整点为(1,-25),(-25,1).
解法2:同解法1得二次方程⑥.将a表示为关于x的函数
a=-x2+12x+11
x-3
=-(x-3)2+18(x-3)+56
x-3
=-(x-3)(x+15)+56
x-3
=-(x+15)-
56
x-3
.⑦
当a、x∈Z时,x-3必为56的约数.又由a≥1,得
-(x+15)-
56
x-3
≥1,
即　(x-3)+56
x-3
≤-19.
这表明x-3与56
x-3
都是56的负约数,且56的两个约数之和不超过-19,即
56=(-4)(-14)=(-7)(-8)
均不成立,只有两种情况.
以下同解法1.事实上,式⑦就是式⑤的变形,两者形异而质同.
解法3:同解法1得二次方程⑥.设方程
的两个根为x
1、x2,其中至少有一个为整数.由根与系数的关系有
x1+x2=-a-12,⑧
x1x2=11-3a.⑨
⑨-3×⑧得x
1
x2-3x1-3x2=47,即
(x
1
-3)(x2-3)=56.⑩
可见,x
1
-3、x2-3中有一个为整数时,另一个必为整数,从而,两者为同号的整数.
又由式⑧有
(x
1
-3)+(x2-3)=-a-18≤-19,
得x
1
-3、x2-3均为负整数,且其和不超过-19,即
56=(-4)(-14)=(-7)(-8)
均不成立,只有两种情况:
(1)
x1-3=-1,
x2-3=-56
]x1=2,
x2=-53,
代入式
⑧或⑨,得a=39,再代入y=11-3a
x
,得两函数图像的公共整点为(2,-53),(-53,2);
(2)
x1-3=-2,
x2-3=-28
]x1=1,
x2=-25,
代入式
⑧或⑨,得a=12,再代入y=11-3a
x
,得两函数图像的公共整点为(1,-25),(-25,1).
解法4:同解法1得二次方程⑥.设方程
的两个根为x
1、x2,其中至少有一个为整数.则有恒等式
x2+(a+12)x+11-3a=(x-x1)(x-x2).
令x=3,得式⑩.
以下同解法3.
解法5:同解法1得二次方程⑥.作变换x=t+3,则方程⑥变为
t2+(a+18)t+56=0.
用例1(或例2)的解法即可得:
(1)a=39,t
1
=-1,t2=-56,从而,a= 39,x1=2,x2=-53,得两函数图像的公共整点为(2,-53),(-53,2);
(2)a=12,t
1
=-2,t2=-28,从而,a= 12,x1=1,x2=-25,得两函数图像的公共整点为(1,-25),(-25,1).
参考文献:
[1]　2007年全国初中数学联赛[J].中等数学,2007(8).
41中等数学。