(浙江专版)2018年高中数学第2部分复习课(二)圆锥曲线与方程学案新人教A版选修2_1

复习课(二) 圆锥曲线与方程
标准方程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容．
[考点精要]
椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程
[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于2，则C 的方程
是( )
A ．x 23＋y 24＝1
B ．x 24＋y 2
3＝1
C ．x 24＋y 2
2
＝1
D ．x 24＋y 2
3
＝1 (2)已知抛物线y 2
＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离
心率为2，则该双曲线的方程为________________．
[解析] (1)右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1．又离心率为
c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2
＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23
＝1，故选D ． (2)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2．又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2
－y 2
3
＝1．
[答案] (1)D (2)x 2
－y 2
3
＝1
[类题通法]
求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2
＋ny 2
＝1(m >0，n >0)．
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
[题组训练]
1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线
的一个焦点在抛物线y 2
＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )
A ．x 221－y 2
28＝1 B ．x 228－y 2
21＝1 C ．x 23－y 24
＝1
D ．x 24－y 2
3
＝1
解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝b a
x 过点(2，3)， 可得3＝b a
×2．①
由双曲线的焦点(－a 2
＋b 2
，0)在抛物线y 2
＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2
＋b 2
＝7．②
由①②解得a ＝2，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 2
3
＝1．
2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 2
4＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该
圆的标准方程为________．
解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2
＋y 2
＝r 2
(0<m <4，r >0)，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋4＝r 2
，－m 2＝r 2
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3
2，r 2
＝25
4.
所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝25
4．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋y 2＝25
4
3．方程x 24－t ＋y 2
t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：
①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <5
2
．
其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．
解析：显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2
＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，
方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <5
2时，4－t >t －1>0，方程表
示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．
答案：③④
圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．
[考点精要]
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质
[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E ：a 2－b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶
点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．
(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，C 1与C 2的离
心率之积为
3
2
，则C 2的渐近线方程为________．
[解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b
2
a
，|BC |＝2c ．
又2|AB |＝3|BC |，
∴2×2b 2
a
＝3×2c ，即2b 2
＝3ac ，
∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2
－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．
(2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2
a
．因为
e 1·e 2＝32，所以a 4
－b 4
a 2
＝32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝1
4
，∴b a ＝22． 故双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x ＝±22
x ， 即x ±2y ＝0．
[答案] (1)2 (2)x ±2y ＝0 [类题通法]
求解离心率三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是
y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c
a
，已知其中的任意两个参数，可以求其他
的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
[题组训练]
1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 2
4＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B
分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )
A ． 2
B ． 3
C ．32
D ．
62
解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2
＋|AF 2|2
＝12，
所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22， 故a ＝2，
所以双曲线的离心率e ＝
3
2＝6
2
，选D ． 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于
A ，
B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆
C 的离心率等于________．
解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ，－b 2
a ，
由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 2
2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－3b 2
2a ⎝
⎛⎭⎪⎫2c ，－b 2
a ，
又AD ⊥F 1B ，2c 2
＋3b 42a
2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a
2
－c 2)＝2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2
＋2e －3＝0，解得e ＝3
3
或－3，又e ∈(0,1)，故椭圆C 的离心率为
33
． 答案：
33
3．已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2
＝2py (p >0)的
焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．
解析：c 2
＝a 2
＋b 2
，①
由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，
双曲线过点⎝
⎛⎭⎪⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p 2
4b 2＝1．② 由|FA |＝c ，得c 2
＝a 2
＋p 2
4，③
由①③得p 2
＝4b 2．④
将④代入②，得c 2
a 2＝2．
∴a 2＋b 2a 2＝2，即b
a
＝1，
故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0． 答案：x ±y ＝0
高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．
[考点精要]
直线与圆锥曲线有关的问题
(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．
(2)直线
l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝
＋k
2
x 1－x 2
2
或
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1k 2y 1－y 22
，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两
个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2
＝(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．
[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．
[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a
2＋y 2
＝1(a >1)，
则右焦点F (a 2
－1，0)， 由题设，知|a 2
－1＋22|
2
＝3，
解得a 2
＝3，故所求椭圆的方程为x 2
3
＋y 2
＝1．
(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2
3
＋y 2
＝1，
得(3k 2
＋1)x 2
＋6mkx ＋3(m 2
－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2
<3k 2
＋1， ① 所以x P ＝
x M ＋x N
2＝－3mk
3k 2＋1
，
从而y P ＝kx P ＋m ＝m
3k 2＋1
，
所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋1
3mk
，
又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，
则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k
，即2m ＝3k 2
＋1， ②
把②代入①得2m >m 2
， 解得0<m <2， 由②得k 2
＝2m －13>0，
解得m >1
2
，
故所求m 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2． [类题通法]
有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法
(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：
①相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0
也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．
②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．
③相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离． (2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．
[题组训练]
1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．
解析：设机器人所在位置为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2
＝4x ．
过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝4x ，y ＝kx ＋k 得ky 2
－4y ＋4k ＝0．
当k ＝0时，显然不符合题意；
当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2
－4k ·4k <0，
化简得k 2
－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0
交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1
2
．
(1)求M 的方程；
(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则
x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22
b 2＝1，
y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1．
因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝1
2
，
所以a 2
＝2b 2
．
又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2
－b 2
＝3．
因此a 2＝6，b 2
＝3． 所以M 的方程为x 26＋y 2
3
＝1．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －3＝0， x 26＋y 2
3
＝1解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝
433，y ＝－3
3
或⎩⎨
⎧
x ＝0，
y ＝ 3.
因此|AB |＝46
3
．
由题意可设直线CD 的方程为
y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－
533<n <3，
设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋n ，x 26＋y
2
3
＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2
－6＝0．
于是x 3,4＝
－2n ±－n 2
3
．
因为直线CD 的斜率为1，
所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝43
9－n 2
．
由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869 9－n 2
．
当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为86
3．
所以四边形ACBD 面积的最大值为86
3
．
1．已知双曲线x 2a －y 2
b
＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是
( )
A ．2
B ． 3
C ． 2
D ．32
解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·b a
＝－1，则a ＝b ．由离
心率的计算公式，可得e 2
＝c 2a 2＝a 2＋b 2
a
2＝2，e ＝2．
2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2
＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A ．y 2
＝±4x B ．y 2
＝±8x C ．y 2＝4x
D ．y 2
＝8x
解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方
程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．
3．已知一动圆P 与圆O ：x 2
＋y 2
＝1外切，而与圆C ：x 2
＋y 2
－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )
A ．双曲线的一支
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．圆
解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2
＋y 2
＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R ．∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1．又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．
4．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2
c
2＝1(x <0)合成的曲线称
作“果圆”(其中a 2
＝b 2
＋c 2
，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )
A ．
7
2
，1 B ．3，1 C ．5,3
D ．5,4
解析：选 A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c
2
＝1＋34＝74，得a ＝7
2
．
5．已知抛物线的方程为y 2
＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )
A ．522＋2
B ．522＋1
C ．522
－2
D ．522
－1
解析：选D 因为抛物线的方程为y 2
＝4x ，所以焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－
1．因为点P 到y 轴的距离为d 1，所以到准线的距离为d 1＋1．又d 1＋1＝|PF |，所以d 1＋d 2
＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1．焦点F 到直线l 的距离记为d ，则d ＝|1－0＋4|2＝52
＝522，而|PF |＋d 2≥d ＝522，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1，即d 1＋d 2的最小值为522
－1． 6．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为
( )
A ．y 2－3x 2＝36
B ．x 2－3y 2＝36
C ．3y 2－x 2＝36
D ．3x 2－y 2＝36 解析：选A 由4x 2＋y 2＝64得x 216＋y 2
64＝1， c 2＝64－16＝48，
∴c ＝43，e ＝438＝32
． ∴双曲线中，c ′＝43，e ′＝23＝c ′a ′． ∴a ′＝32
c ′＝6，b ′2＝48－36＝12． ∴双曲线方程为y 236－x 212＝1，即y 2－3x 2
＝36． 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，其上一点P (3，y )到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．
解析：由椭圆的定义，知2a ＝6．5＋3．5＝10，a ＝5．
又⎩⎪⎨⎪⎧ ＋c 2＋y 2＝6.52，－c 2＋y 2＝3.52，解得c ＝52
， 从而b 2＝a 2－c 2＝754
， 所以椭圆的标准方程为x 225＋4y 275
＝1． 答案：x 225＋4y 2
75
＝1
8．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 4，则直线l 恒过的定点M 的坐标是________．
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝－4．当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x ＝x 0(x 0>0)，则x 2
0－4x 0＝－4，解得x 0＝2；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方
程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，得y 1y 2＝4b k ，则x 1x 2＝y 21y 2216＝b 2k 2，得b 2
k 2＋4b k ＝－4，∴b k
＝－2，有b ＝－2k ，直线y ＝kx －2k ＝k (x －2)恒过定点(2,0)．又直线x ＝2也恒过定点(2,0)，得点M 的坐标为(2,0)．
答案：(2,0)
9．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y 2
＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________．
解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋4
5＝t －2＋35≥35＝355． 答案：355
10．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A ，B ，F 1，F 2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过
椭圆的左焦点F 1
(1)求椭圆的离心率e ；
(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围．
解：(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2
a
， ∴k OM ＝－b 2ac
． 由题意，知k AB ＝－b
a
，
是共线向量，∴－b 2ac ＝－b a
， ∴b ＝c ，得e ＝2
2
． (2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，
∴r 1＋r 2＝2a ．
又|F 1F 2|＝2c ，
由余弦定理，
得cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝r 1＋r 22－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫r 1＋r 222－1＝0， 当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，
∴θ∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2．
11．如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B n
＝(2，－1)共线．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．
解：(1)因为2c ＝2，所以c ＝1(－a ，b )n ，
所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2，
所以椭圆E 的标准方程为x 22
＋y 2＝1． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22
＋y 2
＝1， 消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1
， Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，
即m 2<2k 2＋1，(*)
因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，
，
即x 1x 2＋y 1y 2<0，
又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2
＝m 2－2k 2
2k 2＋1， 由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 2
2k 2＋1<0得m 2<23k 2＋23
， 依题意且满足(*)得m 2<23， 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－63，63． 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ．已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)
在线段AB 4，求y 0的值．
解：(1)由e ＝c a ＝
32，得3a 2＝4c 2． 再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ． 由题意可知12
×2a ×2b ＝4，即ab ＝2． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2
b ，
ab ＝2，得a ＝2，b ＝1．
所以椭圆的方程为x 24
＋y 2
＝1． (2)由(1)可知A (－2,0)．
设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋，x 24
＋y 2＝1消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0． 由－2x 1＝16k 2
－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k
2． 从而y 1＝4k 1＋4k
2． 设线段AB 的中点为M ，
则M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2． 以下分两种情况：
①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y (－2，
－y 0)(2，－y 0)．
4，得y 0＝±22．
②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为
y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2． 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k
2．
(－2，－y 0)(x 1，y 1－y 0)．
2x 1－y 0(y 1－y 0) ＝－2×2－8k 21＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2
＝4×16k 4＋15k 2－11＋4k 22＝4， 整理得7k 2＝2，故k ＝±147．所以y 0＝±2145
． 综上，y 0＝±22或y 0＝±2145
．。