广东省汕头市高二数学上学期期中试题 理

汕头市金山中学2015-2016学年度第一学期期中考试
高二理科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合{}
{}
x y y x y x B y x y x y x A ===+=为实数，且为实数，且,),(,1,),(22， 则A B I 的元素个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
2.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ­xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，
画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
3.圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 （ ）
A.内切
B. 相交
C. 外切
D. 相离 4.下列命题中正确的有（ ）个。

①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行。

②空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

③四面体的四个面中，最多有四个直角三角形。

④若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线。

⑤若两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面。

A.1 B.2 C.3 D.4
5.直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA 1，则异面直线 BA 1与AC 1所成的角等于（ ）A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
6.已知过点()2A m -，和()4B m ，
的直线与直线210x y +-=平行， 则m 的值为 A.0 B.8- C.2 D.10
7.已知y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥-020
y y x y x ，若y ax z +=的最大值为4，
则a =（ ）A ．3 B ．2 C ．2- D ．3-
8.过点)1,1(P 的直线，将圆形区域{
}
4|),(2
2≤+y x y x 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程是
A.02=-+y x
B.01=-y
C.0=-y x
D.043=-+y x
9.过点),(a a A 可作圆03222
2
2
=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-<a 或2
31<
<a B ．231<
<a C ．3-<a D ．13<<-a 或23
>a
10.若B A ,是球O 的球面上两点，︒=∠90AOB ，C 为该球面上的动点，若三棱锥
ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为 A.π36 B.π64 C.π144
D.π256
11.已知矩形ABCD ，AB ＝1，2=BC ．将ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进
行翻折， 在翻折过程中
A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直
B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直
C ．存在某个位置，使得直线A
D 与直线BC 垂直
D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 12.在平面直角坐标系中，两点),(111y x P ，),(222y x P 间的“L ﹣距离”定义为
||||||212121y y x x P P -+-=．则平面内与x 轴上两个不同的定点21,F F 的“L ﹣距离”之
和等于定值（大于|21F F |）的点的轨迹可以是（ ）
A B C D
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知两直线02:,012:21=--=+-ay x l y ax l 。

当_________=a 时，21l l ⊥。

14.在平面直角坐标系xoy 中，点)6,2(-A 关于直线0543=+-y x 的对称点的坐标为__________.
15.已知,422x y x =+则2
2y x +的取值范围是__________.
16.设R m ∈，过定点A 的动直线0=+my x 和过定点B 的动直线03=+--m y mx 交于点),(y x P ，则|PA |·|PB |的最大值是________．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在ABC ∆中，已知3,2==AC AB ,
60=∠A 。

（1）求BC 的长。

（2）求C 2sin 的值。

18.n S 为数列{}n a 的前n 项和。

已知0>n a ，3422
+=+n n n S a a 。

（1）求{}n a 的通项公式。

（2）设1
1
+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和。

19.如图，在三棱柱111C B A ABC -中，4,2,901====∠︒
AA AC AB BAC ,
1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点E ，D 是11C B 的中点。

（1）证明：⊥D A 1平面BC A 1;
（2）求二面角11B BD A --的平面角的余弦值。

20.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆4)1()3(:2
2
1=-++y x C 和圆4)5()4(:2
2
2=-+-y x C
（1）若直线l 过点)0,4(A 且被圆1C 截得的弦长为32，求直线l 的方程；
（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。

21.已知过原点的动直线l 与圆1C :0562
2
=+-+x y x 相交于不同的两点B A ,. （1）求圆1C 的圆心坐标。

（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程,并求出轨迹C 中x 的取值范围。

（3）是否存在实数k ，使得直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围：若不存在，说明理由。

参考答案
CABCC BBAAC BA
13.014.)2,4(-15.[]16,016.5
16. 解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2
＋|PB |2
＝|AB |2
＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2
＋|PB |
2
2
＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或
B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.
答案：5 17.解（1）760cos 3223222222=⋅⋅-+=⋅-+=
BC AC AC AB BC
(2)7217
60sin 2sin sin =
== BC A AB C ,
060,>>=∴>C A AB BC , 7
3
4cos sin 22sin ,772sin 1cos ,0cos 2===
-=∴>∴C C C C C C 18. （I ）由a n 2
+2a n =4S n +3，可知a n+12
+2a n+1=4S n+1+3
两式相减得a n+12﹣a n 2
+2（a n+1﹣a n ）=4a n+1，
即2（a n+1+a n ）=a n+12﹣a n 2
=（a n+1+a n ）（a n+1﹣a n ），
∵a n ＞0，∴a n+1﹣a n =2，∵a 12
+2a 1=4a 1+3，∴a 1=﹣1（舍）或a 1=3，
则{a n }是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n }的通项公式a n =3+2（n ﹣1）=2n+1： （Ⅱ）∵a n =2n+1， ∴b n =
=
=（
﹣），
∴数列{b n }的前n 项和T n =（﹣+…+
﹣
）=（﹣
）=
．
19. （Ⅰ）设E 为BC 的中点，由题意的.
因为AB=AC ，所以.故.
由D ，E 分别为的中点，得
，从而,所以为平行四边形.故
又因为，所以
（Ⅱ）作.由
.
由
，得
由
，因
此
的平面角.由，得，
由余弦定理得
20解：(1)设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --=
由垂径定理，得：圆心1C 到直线l
的距离1d ==，
1,=272470,0,,24
k k k or k +===-
求直线l 的方程为：0y
=或7
(4)24
y x =-
-，即0y =或724280x y +-= (2) 设点P 坐标为(,)m n ，直线1l 、2l 的方程分别为：
1
(),()y n k x m y n x m k -=--=--，即：
11
0,0kx y n km x y n m k k
-+-=--++=
因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等。

由 垂径定理，得：：圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等。

41
|5|
n m --++=，
化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或 关于k 的方程有无穷多解，有：⎩⎨
⎧=--=--0302n m n m ,或⎩⎨⎧=-+=+-0
50
8n m n m 解之得：点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-。

21. （1）圆：化为
，所以，圆
的圆心坐标为
；
（2）设线段
的中点
，由圆的性质可得
垂直于直线
设直线的方程为（易知直线的斜率存在），所以
，
，所以
所以即
因为动直线与圆相交，所以，所以，所以，所以
，
解得或，又因为，所以.
所以满足，即的轨迹的方程为
.（3）由题意知直线表示过定点，斜率为的直线.
结合图形，表示的是一段关于轴对称，起点为按逆时
针方向运动到的圆弧.根据对称性，只需讨论在X轴对称下方的圆弧.设，则,而当直线与轨迹相切时，，解得.在这里暂取，
因为，所以
结合图形，可得对于X轴对称下方的圆弧，当或时，
直线L与X轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知或. 综上所述：当或时，直线与曲线只有一交点.
答案:（1）；（2）；（3）存在，或．。