高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介成

四 柱坐标系与球坐标系简介
主动成长
夯基达标
1.如图,在柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5),C 1(6,分 π2式,5),则此长方体外接球的体积为
________.
解析:据顶点的柱坐标求出长方体的三度,其外接球的直径恰为长方体的对角线长. 由长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5),C 1(6,π2,5), 可知OA =4,OC =6,OO 1=5,
则对角线长为,77654222＝＋＋
那么球的体积为
3
4
·π·(277)3=
.6π7777. 答案:
6
π
7777
2.已知点M 的直角坐标为(1,-3,4),则它的柱坐标为_______.
解析:设点M 的柱坐标为(ρ,θ,z),则⎪⎩
⎪
⎨⎧=z θ=ρ-θ=ρ4sin 3cos 1，，
,解之,得ρ=2,θ=
35π
,z =4. ∴点M 的柱坐标为(2,3
5π
,4).
答案:(2,3
5π
,4)
3.设点M 的柱坐标为(2,6
π
,7),则它的直角坐标为_______.
解析:设点M 的直角坐标为(x ,y ,z ),则⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
===7.z
,6πsin 2,6πcos 2y x ∴点M 的直角坐标为(3,1,7).
答案:(3,1,7) 4.已知点M 的球坐标为(2,
43π,4
3π),则它的直角坐标为_______. 解析:设M 的直角坐标为(x ,y ,z ),则
∴点M 的直角坐标为(-1,1,-2). 答案:(-1,1,-2)
5.两平行面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为
A (25,ar ct a n
724,θa )、B (25,π-arc t a n 4
3
,θB )，
求出这两个截面间的距离.
解析:根据已知可得球半径为25,这样,我们就可以在R t △AOO 1和R t △BOO 1中求出OO 1及OO 2的长度来,可得两个截面间的距离为O 1O 2. 解:由已知,OA =OB =5,∠AOO 1=arctan
724,∠BOO 1=π-arctan 4
3
,在△AOO 1
中,tan∠AOO 1=
724=
.1
1OO A
O ∵OA =25,∴OO 1=7. 在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan
43,tan∠B OO 2=43=.2
2OO B
O .
∵OB =25,∴OO 2=20.
则O 1O 2=OO 1+OO 2=7+20=27. ∴两个截面间的距离O 1O 2为27.
6.在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立坐标系.有A 、B 两个城市，它们的球坐标分别为A (R ,
4π,6π)、B (R ,4π,3
2π)，飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？
解析:我们根据A 、B 两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走AB 两地的大圆时,飞机最快,所走的路程实际上是要求我们求出过A 、B 两地的球面距离.
解:如图所示,因为A (R ,4π,6π),B (R ,4π,32π), 可知∠O 1AO =∠O 1BO =4π,∴∠AO 1O =∠BO 1O =4
π
.
又∠EOC =6π,∠EOD =32π
,
∴∠C OD =32π-6π=2
π
.
∴∠COD =∠AO 1B =2
π
.
在R t △OO 1B 中,∠O 1BO =4
π
,OB =R ,
∴O 1B =O 1A =2
2
R . ∵∠AO 1B =
2π
,∴AB =R . 在△AOB 中,AB =OB =OA =R , ∴∠AOB =
3
π. 则经过A 、B 两地的球面距离为
3
π
R . 走经过A 、B 两地的大圆,飞机航线最短,其距离为
3
πR . 7.结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为
2
1
的小正
方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图(2)，建立空间直角坐标系O —xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.
解析:在空间直角坐标系中,我们需要找点的(x ,y ,z )；在柱坐标系中,需要找到(ρ,θ,z )；在球坐标系中,需要找到(r ,φ,θ).
解:把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.
下层的原子全部在xOy 平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,
2π,0),(2,2π,4π),(1,2π,2
π
),(22,2π,4π),它们的柱坐标
分别为(0,0,0),(1,0,0),(2,
4π,0),(1,2
π
,0),(22,4π,0)；
中层的原子所在的平面平行于xOy 平面,与z 轴交点的竖坐标为2
1
,所以,这四个钠原子所在位置
的
球
坐
标
分
别
为
(
22,4π,0),(23,arccos 33,arctan 2
1),(26,arccos 66,arctan2),(22,4π,2π),它们的柱坐标分别为(
21,0,21),(25,arctan 21,21),(25,arctan2,21),(21,2π,2
1
)；
上层的钠原子所在的平面平行于xOy 平面,与z 轴交点的竖坐标为1,所以,这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1,0,0),(
2,
4π,0),(3,arctan 2,4π),(2，4
π
，2
π
),(
2
5,arctan
2
2,
4
π),
它
们
的
柱
坐
标
分
别
为
(0,0,1),(1,0,1),(2,
4π
,1),(1,2
π,1),(22,4π,1).
8.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如建筑设计中常常需
要计算空间两点间的距离试用两点的坐标表示这两点间的距离.
解:(1)在平面直角坐标系中,已知P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则|P 1P 2|=2
212
21)()(-y y +-x x . (2)在空间直角坐标系中,
如图,设P 1(x 1,y 1,z 1)、P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,且点P 1(x 1,y 1,z 1)、P 2(x 2,y 2,z 2)在xOy 平面上的射影分别为M 、N ,那么M 、N 的坐标为M (x 1,y 1,0)、N (x 2,y 2,0),在xOy 平面上,|MN |=221221))(-y +(y -x x .
过点P 1作P 2N 的垂线,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|H P 2|=|z 2-z 1|. 在Rt △P 1H P 2中,|P 1H|=|MN |=221221))(-y +(y -x x ,根据勾股定理,得
|P 1P 2|=2
221|+|HP H||P =221221221)(+)(+)(-z z -y y -x x .
因此,空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离 |P 1P 2|=221221221)(+)(+)(-z z -y y -x x .
(3)我们来确定P 1、P 2两点在柱坐标系中的距离公式：
根据空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与柱坐标(ρ,θ,z )之间的变换公式：⎪⎩
⎪
⎨⎧.,sin ,
cos z=z θy=ρθx=ρ
P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),
有
⎪⎩⎪
⎨⎧,sin cos 1
1111111=z z ,θ=ρy ,θ=ρx ⎪⎩⎪
⎨⎧,sin cos 2
2222222=z z ,θ=ρy ,θ=ρx 可得
|P 1P 2|=2
212
22112
2211)(+)sin sin (+)cos cos (-z z θ-ρθρθ-ρθρ (4)我们来确定P 1、P 2两点在球坐标系中的距离公式：
空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与球坐标(r ,φ,θ)之间的变换关系为⎪⎩⎪
⎨⎧.cos ,sin sin ,cos sin φz=r θφy=r θφx=r
P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),有⎪⎩⎪⎨⎧11111111111cos sin sin cos sin φ=r z ,θφ=r y ,θφ=r x 及⎪⎩⎪
⎨⎧,
cos sin sin cos sin 22
222222222φ=r z ,θφ=r y ,θφ=r x
可
得
|P 1P 2|=
2221122221112222111)cos cos (+)sin sin sin sin (+)cos sin cos sin (φ-r φr θφ-r θφr θφ-r θφr
走近高考
1.已知点P 的柱坐标为(2,
4π,5)，点B 的球坐标为(6,3π,6
π
)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为（ ） A.P 点(5,1,1)，B 点)26,423,463(
B.P 点(1,1,5)，B 点)2
6,423,463(
C.P 点)2
6
,423,463(
，B 点(1,1,5) D.P 点(1,1,5)，B 点)4
2
3,463,26(
解析:此题考查空间直角坐标系与空间极坐标系的互化.只要我们记住互化公式,问题就能够
解决.球坐标与直角坐标的互化公式为⎪⎩⎪
⎨⎧;cos sin,sin cos,
sin φz=r φy=r φx=r
柱坐标与直角坐标的互化公式为⎪⎩
⎪
⎨⎧.,sin ,cos z=z θy=ρθx=ρ
解:设P 点的直角坐标为(x ,y ,z ),x =2·cos
4π=2·22=1,y =2·sin 4
π
=1,z =5.
设B 点的直角坐标为(x ,y ,z ),x =6·sin
3π
·cos 6
π=6·23·23=463,
y =6·sin
3π·sin 6π=6·23·21=423,z =6·cos 3π
=6·21=
.2
6 所以,点P 的直角坐标为(1,1,5),点B 的直角坐标为(2
6
,423,463).选B. 答案:B
2.设点M 的直角坐标为(1,1,1),求它的柱坐标. 解:设M 的柱坐标为(ρ,θ,z ),则
⎪⎩
⎪
⎨⎧,
z=θ=ρθ=ρ1,sin 1,
cos 1解之,得ρ=2,θ=4π,z =1.
∴点M 的柱坐标为(2,
4
π
,1). 3.设点M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标. 解:设M 的球坐标为(r ,φ,θ),则
r =2222)2(11++=+z +y x =2.
由r cos φ=z ,得2cos φ=2.
∴φ=
4
π. 又tan θ=x
y =1,∴θ=4π
.
∴点M 的球坐标为(2,4π,4
π
).。