一轮优化探究理数(苏教版)课件:第六章 第三节 等比数列及其前n项和
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核心考点 互动探究
பைடு நூலகம்
【例 1】 以数列{an}的任意相邻两项为坐标的点 Pn(an, an+1)(n ∈N*)均在一次函数 y=2x+k(k≠0)的图象上,数列{bn}满足条 件:bn=an+1-an(n∈N*), (1)求证:数列{bn}是等比数列; (2)设数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若 S6=T4,S5 =-9,求 k 的值.
解析:(1)由条件得 an+1=2an+k,显然 bn≠0. (若 bn=0,则 an+1=an,那么点 Pn 在一次函数 y=x 的图象上, 与条件不符) bn+1 an+2-an+1 2an+1+k-2an+k ∵ b = = =2 为常数, an+1-an an+1-an n ∴数列{bn}是公比为 2 的等比数列.
∴S6=(a1+k)(20+21+„+25)-6k =63a1+57k;S5=31a1+26k. 7 由 S6=T4 得 a1=- k 代入 S5=-9,得 k=8. 8
规律方法
等比数列的判定方法: an+1 an (1)定义法:若 a =q(q 为非零常数)或 =q(q 为非零常数且 an-1 n n≥2),则{an}是等比数列. (2)中项公式法:若数列{an}中 an≠0 且 a2 an+2(n∈N*), n+1=an· 则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c· qn-1(c,q 均为不 为 0 的常数, n∈N*),则{an}是等比数列. (4)前 n 项和公式法: 若数列{an}的前 n 项和 Sn=k· qn-k(k 为常 数且 k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.
n 6· 1 - 2 n-1 n-1 (2)由(1)得 an+1=6· 2 , 所以 an=6· 2 -1, 于是 Sn= -n 1-2
=6· 2n-n-6.
a1· qn-1
=am· qn-m
相关名词 前n项 和公式
等比数列{an}的有关概念及公式 q=1 na1 n n 1 - q a1 a1 nq Sn=a 1 1-an = 1-q q≠1 1 - q 设 a、b 为任意两个同号的实数,则 a、b 的等比中 项 G= ± ab
(2)由(1)得:bn=b1· 2n
-
-1
=(a2-a1)· 2n 1=(a1+k)· 2n 1,
-
∴T4=(a1+k)· (20+21+22+23)=15(a1+k). ∵an+1-an=bn, ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+„+(an-an-1) =a1+b1+b2+„+bn-1 =a1+(a1+k)(20+21+„+2n-2) =(a1+k)· 2n-1-k,
等比中项
二、等比数列的性质 (1) 对 任 意 的 正 整 数 m 、 n 、 p 、 q , 若 m + n = p + q , am· an=ap· aq 则 . 2 a · a = a 特别地,m+n=2p,则 m n p . (2)若等比数列前 n 项和为 Sn,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 仍成 等比数列,即(S2m-Sm)2=Sm· (S3m-S2m)(m∈N*,公比 q≠-1).
第六章 数列 第三节 等比数列及其前n项和
主干知识 自主排查
C
目 录
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主干知识 自主排查
一、等比数列的相关概念 相关 名词 等比数列{an}的有关概念及公式
an an-1 =q(q 是常数
an+1 =q(q 为常数且 q≠0, n∈N*)或 定义 an 且 q≠0,n∈N*且 n≥2 ) 通项 公式 an=
1 a11- 4 2 13 1 15 解析:a4=a1( ) = a1,S4= = a1, 2 8 1 8 1- 2 S4 ∴ =15. a4
5.在等比数列{an}中,a1=1,公比 q=2,若数列{an}的前 n
7 项和 Sn=127,则 n 的值为________ .
a11-qn 1×1-2n 解析:Sn= = =127,2n=128=27, 1-q 1-2 n=7.
[跟踪训练] 1.已知数列{an}的首项 a1=5,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn +n+5,n∈N*. (1)证明:数列{an+1}是等比数列; (2)求{an}的通项公式以及 Sn.
解析:(1)证明:由已知 Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*, 可得 n≥2 时,Sn=2Sn-1+n+4, 两式相减得 Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1, 即 an+1=2an+1,从而 an+1+1=2(an+1), 当 n=1 时,S2=2S1+1+5,所以 a2+a1=2a1+6,又 a1=5,所以 a2=11,从而 a2+1=2(a1+1),故总有 an+1+1=2(an+1),n∈N*, an+1+1 又 a1=5,a1+1≠0,从而 =2,即数列{an+1}是首项为 6, an+1 公比为 2 的等比数列.
3.若等比数列{an}各项都是正数,a1=3,a1+a2+a3=21,则
84 a3+a4+a5 的值为________ .
解析:由 a1(1+q+q2)=21,∴1+q+q2=7,q=2. ∴a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=84.
1 S4 15 4. 设等比数列{an}的公比 q= , 前 n 项和为 Sn, 则 =________. 2 a4
1.等比数列{an}中 a5=4,则 a2· a8 等于________ . 16 解析:{an}是等比数列且 a2a8=a2 5=16.
2 .在正项等比数列 {an} 中, a3a11 = 16 ,则 log2a2 + log2a12 =
4 ________.
解析:因为等比数列{an}中,a3a11=16,所以 a2a12=a3a11=16, 所以 log2a2+log2a12=log2(a2a12)=log216=4.