陕西省西安七十中2015-2016学年上学期高一上学期期末数学试卷 含解析

2015-2016学年陕西省西安七十中高一(上）期末数学试卷
一、单项选择（本小题共10道,每题5分，共50分)
1．不共面的四点可以确定平面的个数为（）
A．2个B．3个C．4个D．无法确定
2．方程y=k（x﹣1）（k∈R）表示（）
A．过点（﹣1，0）的一切直线
B．过点（1，0)的一切直线
C．过点(1，0）且不垂直于x轴的一切直线
D．过点(1，0）且除x轴外的一切直线
3．已知AB∥PQ,BC∥QR，∠ABC=30°，则∠PQR等于（）
A．30°B．300或1500C．1500D．以上都不对4．平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是（）
A．B．2 C．D．
5．下列命题：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②任何一条直线都有唯一的斜率；
③倾斜角为90°的直线不存在；
④倾斜角为0°的直线只有一条．
其中正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．4个
6．设m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列四个命题中为真命题的是（）
A．若m∥α，n∥α,则m∥n B．若m∥α，m∥β,则α∥β
C．若m∥α，n∥β,m∥n，则α∥βD．若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n,则m∥n 7．圆:x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是（）
A．2 B．C．D．
8．已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（）
A．a⊥α且a⊥βB．a⊥γ且β⊥γ
C．a⊂α，b⊂β，a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β
9．已知直线l1:ax﹣y+2a=0,l2：(2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
10．方程（x+y﹣1）=0所表示的曲线是（）
A．B．
C．
D．
二、填空题(本小题共4道，每题5分,共20分)
11．直线﹣x+y﹣6=0的倾斜角是，在y轴上的截距是．
12．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位:cm)，可得这个几何体的体积是．
13．已知过点M（﹣3，0）的直线l被圆x2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，那么直线l的方程为．
14．一个水平放置的四边形的斜二侧直观图是一个底角是45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是
．
三、解答题(本题共5道，共50分）
15．已知点A（2,2）和直线l:3x+4y﹣20=0．求：
（1）过点A和直线l平行的直线方程;
（2）过点A和直线l垂直的直线方程．
16．正四棱台两底面边长分别为2和4．
(1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°,求棱台的侧面积；(2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
17．已知圆心为C的圆经过点A（1,1)，B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0上
(1）求圆C的标准方程
（2）求过点（1，1）且与圆相切的直线方程．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB的中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E 为AD的中点,求证:
(1）EN∥平面PDC；
（2)BC⊥平面PEB；
（3）平面PBC⊥平面ADMN．
19．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0,是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l,若不存在说明理由．
2015-2016学年陕西省西安七十中高一（上)期末数学试卷参考答案与试题解析
一、单项选择(本小题共10道，每题5分，共50分）
1．不共面的四点可以确定平面的个数为(）
A．2个B．3个C．4个D．无法确定
【考点】平面的基本性质及推论．
【专题】计算题．
【分析】不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况，由于不共线的三个点确定一个平面,从4个点中任取3个点都可以确定一个平面，利用组合数写出结果．
【解答】解:∵不共线的三个点确定一个平面,
不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况，
∴从4个点中任取3个点都可以确定一个平面，共有C43=4种结果，
故选C．
【点评】本题考查平面的基本性质及推论，考查不共线的三点可以确定一个平面，考查组合数的应用，本题是一个基础题．
2．方程y=k（x﹣1)(k∈R）表示()
A．过点（﹣1，0）的一切直线
B．过点（1，0）的一切直线
C．过点(1,0）且不垂直于x轴的一切直线
D．过点(1,0)且除x轴外的一切直线
【考点】直线的点斜式方程．
【专题】数形结合；转化思想；直线与圆．
【分析】方程y=k（x﹣1)（k∈R）表示经过点（1,0)且不垂直于x轴的一切直线．即可得出．
【解答】解：方程y=k(x﹣1）（k∈R）表示经过点(1，0）且不垂直于x轴的一切直线．
故选：C．
【点评】本题考查了点斜式、直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC=30°，则∠PQR等于（)
A．30°B．300或1500C．1500D．以上都不对
【考点】平行公理．
【专题】规律型；空间位置关系与距离．
【分析】由题意AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC=30°，由平行公理知，∠PQR与∠ABC相等或互补,答案易得．
【解答】解：由题意知AB∥PQ,BC∥QR，∠ABC=30°,
根据空间平行公理知，一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补
所以∠PQR等于30°或150°
故选：B．
【点评】本题考查空间图形的公理，记忆“在空间中一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补”这一结论,是解题的关键，本题是基本概念题，规律型．
4．平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是（)
A．B．2 C．D．
【考点】两条平行直线间的距离．
【专题】直线与圆．
【分析】利用两直线平行求得m的值，化为同系数后由平行线间的距离公式得答案．
【解答】解：由直线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0平行，得m=8．
∴直线6x+my+2=0化为6x+8y+2=0，即3x+4y+1=0．
∴平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是．
故选：B．
【点评】本题考查了两条平行线间的距离公式,利用两平行线间的距离公式求距离时,一定要化为同系数的方程，是基础的计算题．
5．下列命题：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②任何一条直线都有唯一的斜率；
③倾斜角为90°的直线不存在;
④倾斜角为0°的直线只有一条．
其中正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．4个
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率．
【专题】直线与圆．
【分析】直接由直线的倾斜角和斜率的概念逐一核对四个命题得答案．
【解答】解：①任何一条直线都有唯一的倾斜角，正确；
②任何一条直线都有唯一的斜率，错误,原因是垂直于x轴的直线没有斜率；
③倾斜角为90°的直线不存在，错误,垂直于x轴的直线倾斜角都是90°；
④倾斜角为0°的直线只有一条，错误，所有平行于x轴的直线的倾斜角都是0°．
∴其中正确的命题是1个．
故选:B．
【点评】本题考查了直线的倾斜角和直线的斜率的概念，是基础的概念题．
6．设m,n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列四个命题中为真命题的是()
A．若m∥α，n∥α,则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥α，n∥β，m∥n,则α∥βD．若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n,则m∥n
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】整体思想；综合法;空间位置关系与距离．
【分析】根据空间直线和平面平行的判定定理和性质定理分别进行判断即可．
【解答】解:A．平行同一平面的两个平面不一定平行，故A错误，
B．平行同一直线的两个平面不一定平行，故B错误，
C．根据直线平行的性质可知α∥β不一定成立，故C错误，
D．根据面面平行的性质定理得,若α∥β，α∩γ=m,β∩γ=n，则m∥n成立，故D正确
故选：D
【点评】本题主要考查空间直线和平面平行的位置的关系的判定，根据相应的性质定理和判定定理是解决本题的关键．
7．圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是（）
A．2 B．C．D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题．
【分析】先将圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0转化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，明确圆心和半径,再求得圆心(1,1）到直线x﹣y=2的距离，最大值则在此基础上加上半径长即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为标准形式:（x﹣1)2+（y﹣1)2=1，
∴圆心为（1,1），半径为1
圆心（1，1）到直线x﹣y=2的距离,
则所求距离最大为，
故选B．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是:先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径．
8．已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（）
A．a⊥α且a⊥βB．a⊥γ且β⊥γ
C．a⊂α，b⊂β，a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β
【考点】平面与平面平行的判定．
【专题】阅读型．
【分析】根据垂直于同一直线的两个平面平行可知选项A是否正确；平面与平面垂直的性质，判断选项B的正误，对于选项C可知两个平面可能相交，选项D,若a与b平行时，两平面相交，对选项逐一判断即可．
【解答】解:选项A，根据垂直于同一直线的两个平面平行,可知正确;
选项B,α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β相交，所以B不正确;
选项C，a⊂α,b⊂β，a∥b，α与β可能相交，故不正确；
选项D，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，如果a∥b推出α、β相交,所以D不正确；
故选：A
【点评】本题考查平面与平面垂直的性质,以及直线与平面平行与垂直的性质，同时考查了推理论证的能力，属于基础题．
9．已知直线l1:ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】直线与圆．
【分析】利用直线垂直的性质求解．
【解答】解：∵直线l1:ax﹣y+2a=0，l2：(2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，
∴a（2a﹣1）﹣a=0，
解得a=0或a=1．
故选：C．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题,注意直线的位置关系的合理运用．
10．方程（x+y﹣1）=0所表示的曲线是（）
A．B．
C．
D．
【考点】曲线与方程．
【专题】计算题．
【分析】原方程等价于：，或x2+y2=4;两组方程分别表示出圆和不在圆内部分的直线,进而可推断出方程表示的曲线为圆和与圆相交且去掉圆内的部分．
【解答】解：原方程等价于：，或x2+y2=4；其中当x+y﹣1=0需有
意义,等式才成立，即x2+y2≥4，此时它表示直线x﹣y﹣1=0上不在圆x2+y2=4内的部分，这是极易出错的一个环节．
故选D
【点评】本题主要考查了曲线与方程的问题．考查了考生对曲线方程的理解和对图象分析的能力．
二、填空题（本小题共4道，每题5分，共20分）
11．直线﹣x+y﹣6=0的倾斜角是30°,在y轴上的截距是2．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】利用直线方程求出直线的斜率,然后求解直线的倾斜角；先根据一次函数的解析式判断出b的值，再根据一次函数的性质进行解答．
【解答】解:因为直角坐标系中，直线﹣x+y﹣6=0的斜率为，
设直线的倾斜角为α，所以tanα=,
所以α=30°
∵一次函数x﹣y+6=0的中b=2，
∴此函数图象在y轴上的截距式2．
故答案为:30°，2．
【点评】本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系以及截距的求法，考查计算能力．
12．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】综合题．
【分析】先有三视图得到几何体的形状及度量关系,利用棱锥的体积公式求出体积．
【解答】解：由三视图可得几何体是四棱锥V﹣ABCD,
其中面VCD⊥面ABCD；
底面ABCD是边长为20cm的正方形；棱锥的高是20cm
由棱锥的体积公式得V===cm3
【点评】三视图是新增考点，根据三张图的关系,可知几何体是正方体的一部分，是一个四棱锥．本题也可改编为求该几何体的外接球的表面积,则必须补全为正方体，增加了难度．
13．已知过点M（﹣3,0）的直线l被圆x2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，那么直线l的方程为x=﹣3或5x﹣12y+15=0．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】设直线方程为y=k（x+3）或x=﹣3，根据直线l被圆圆x2+(y+2)2=25所截得的弦长为8，可得圆心到直线的距离为3，利用点到直线的距离公式确定k值，验证x=﹣3是否符合题意．
【解答】解：设直线方程为y=k（x+3）或x=﹣3，
∵圆心坐标为（0，﹣2），圆的半径为5，
∴圆心到直线的距离d==3，
∴=3，
∴k=，∴直线方程为y=（x+3)，即5x﹣12y+15=0；
直线x=﹣3，圆心到直线的距离d=|﹣3|=3，符合题意，
故答案为：x=﹣3或5x﹣12y+15=0．
【点评】本题考查了待定系数法求直线方程，考查了直线与圆相交的相交弦长公式，注意不要漏掉x=﹣3．
14．一个水平放置的四边形的斜二侧直观图是一个底角是45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是
．
【考点】平面图形的直观图．
【专题】计算题；作图题．
【分析】由斜二测画法中原图和直观图面积的关系直接求解即可．
【解答】解：直观图中梯形的高为1×sin45°=,底边长为1+，故其面积为：
因为，所以原四边形的面积是
故答案为:
【点评】本题考查平面图形的直观图和原图面积之间的关系，属基本运算的考查．
三、解答题（本题共5道，共50分）
15．已知点A（2，2）和直线l：3x+4y﹣20=0．求：
(1）过点A和直线l平行的直线方程;
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】方程思想;综合法；直线与圆．
【分析】（1)求出直线l 的斜率，根据点斜式方程求出直线方程即可；（2）求出所求直线的斜
率,再根据点斜式方程求出直线方程即可． 【解答】解：(1）由l ：3x+4y ﹣20=0,得k l =﹣．
设过点A 且平行于l 的直线为l 1，
则
=k l =﹣,
所以l 1的方程为y ﹣2=﹣（x ﹣2）, 即3x+4y ﹣14=0．
（2）设过点A 与l 垂直的直线为l 2． 因为k l
=﹣1，所以
=,
故直线l 2的方程为y ﹣2=（x ﹣2），
即4x ﹣3y ﹣2=0．
【点评】本题考查了求直线方程的点斜式方程,求直线的斜率问题，是一道基础题．
16．正四棱台两底面边长分别为2和4．
（1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
（2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
【考点】棱台的结构特征．
【专题】数形结合；转化思想；综合法；立体几何．
【分析】（1）根据正四棱台的高、斜高以及对应的线段组成直角梯形,求出斜高,从而求出侧面
积；
（2)根据正四棱台的侧面积求出斜高,再由对应梯形求出四棱台的高． 【解答】解：（1）如图，设O 1，O 分别为上，下底面的中心,
过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，连接C 1F ，
则C 1F 为正四棱台的斜高；
由题意知∠C 1CO=45°,
CE=CO ﹣EO=CO ﹣C 1O 1=;
在Rt △C 1CE 中，C 1E=CE=,
又EF=CEsin 45°=1， ∴斜高C 1F==
， ∴S 侧=4××(2+4)×
=12
；
(2）∵S 上底+S 下底=22+42=20， ∴S 侧=4××（2+4）×h 斜高=20，
解得h 斜高=；
又EF=1，
∴高h==．
【点评】本题考查了正四棱台的结构特征与有关的计算问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．
17．已知圆心为C的圆经过点A（1，1），B(2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0上
(1）求圆C的标准方程
（2）求过点(1,1）且与圆相切的直线方程．
【考点】圆的切线方程．
【专题】综合题；转化思想；综合法;直线与圆．
【分析】（1)设圆心C（a，a+1），根据CA=CB，可得(a﹣1）2+（a+1﹣1）2=（a﹣2）2+（a+1+2）2，解得a的值，可得圆心的坐标和半径CA，从而得到圆C的方程．
（2）求出切线的斜率，可得过点（1,1）且与圆相切的直线方程．
【解答】解：(1）∵圆心C在直线l：x﹣y+1=0上，设圆心C（a,a+1），
∵圆C经过点A（1,1）和B(2，﹣2）,∴CA=CB，
∴(a﹣1）2+（a+1﹣1）2=（a﹣2）2+（a+1+2）2，
解得a=﹣3，∴圆心C（﹣3，﹣2），半径CA=5，
∴圆C的方程为（x+3）2+（y+2)2=25．
（2）因为点A（1，1)在圆上,且k AC=
所以过点（1，1）切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），化简得4x+3y﹣7=0．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程，两个圆的位置关系的判断方法，属于中档题．
18．如图,在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB的中点，过A、D、N三点的平面交PC于M,E为AD的中点，求证：
(1）EN∥平面PDC；
(2）BC⊥平面PEB；
（3）平面PBC⊥平面ADMN．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【专题】证明题;空间位置关系与距离．
【分析】（1）先证明AD∥MN由N是PB的中点,E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的菱形得EN∥DM,DM⊂平面PDC，可得EN∥平面PDC；
（2）由侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直，E为AD的中点，得PE⊥AD，PE⊥EB，PE⊥BC,由∠BAD=60°，AB=2，AE=1,由余弦定理可得BE=，由正弦定理可得：BE⊥AD，有由AD∥BC可得BE⊥BC,可得BC⊥平面PEB；
（3）由（2)知BC⊥平面PEB,EN⊂平面PEB可得PB⊥MN，由AP=AB=2，N是PB的中点，得PB⊥AN，有MN∩AN=N．PB⊥平面ADMN，可证平面PBC⊥平面ADMN．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，AD⊂平面ADMN,BC⊄平面ADMN，
∴BC∥平面ADMN,
∵MN=平面ADMN∩平面PBC，BC⊂平面PBC,
∴BC∥MN．
又∵AD∥BC，
∴AD∥MN．∴ED∥MN
∵N是PB的中点，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，∴ED=MN=1
∴四边形ADMN是平行四边形．
∴EN∥DM，DM⊂平面PDC,
∴EN∥平面PDC；
（2）∵侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，E为AD的中点，
∴PE⊥AD，PE⊥EB,PE⊥BC
∵∠BAD=60°，AB=2,AE=1，由余弦定理可得BE=,由正弦定理可得:BE⊥AD
∴由AD∥BC可得BE⊥BC，
∵BE∩PE=E
∴BC⊥平面PEB;
（3）∵由(2）知BC⊥平面PEB，EN⊂平面PEB
∴BC⊥EN
∵PB⊥BC，PB⊥AD
∴PB⊥MN
∵AP=AB=2，N是PB的中点，
∴PB⊥AN,
∴MN∩AN=N．PB⊥平面ADMN，
∵PB⊂平面PBC
∴平面PBC⊥平面ADMN．
【点评】本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．
19．已知圆C:x2+y2﹣2x+4y﹣4=0,是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l，若不存在说明理由．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】将圆C化成标准方程，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为(a，b）．因为CM⊥l，则有k CM k l=﹣1，表示出直线l的方程，从而求得圆心到直线的距离，再由：
求解．
【解答】解：圆C化成标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为(a，b）．
∵CM⊥l，即k CM k l=×1=﹣1
∴b=﹣a﹣1
∴直线l的方程为y﹣b=x﹣a,即x﹣y﹣2a﹣1=0
∴｜CM|2=（）2=2（1﹣a）2
∴｜MB｜2=|CB|2﹣|CM｜2=﹣2a2+4a+7
∵|MB|=｜OM｜
∴﹣2a2+4a+7=a2+b2，得a=﹣1或,
当a=时，b=﹣,此时直线l的方程为x﹣y﹣4=0
当a=﹣1时，b=0，此时直线l的方程为x﹣y+1=0
故这样的直线l是存在的，方程为x﹣y﹣4=0或x﹣y+1=0．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用,本题是一道探究题,出题新颖,体现知识的灵活运用．。