湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题
1．已知直线与轴垂直，则为（ ） ():1340l a x ay a +-++=y a A ． B ．0
C ．
D ．或0
1-4-1-【答案】A
【分析】由直线与轴垂直得到方程和不等式，求出的值. y a 【详解】因为与轴垂直， ():1340l a x ay a +-++=y 所以直线的斜率为0，
l 所以，且，解得. 10a +=30a -≠1a =-故选：A.
2．已知等比数列的前项和为，，且，则（ ） {}n a n n S 24S =3214S a a =+5S =A ．40 B ．120
C ．121
D ．363
【答案】C
【分析】由题目条件求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】设公比为，由，可得， q 3214S a a =+321124a a a a a +=++所以，所以， 323a a =3
2
3a q a =
=由，可得，即，所以，
24S =114a a q +=144a =11a =所以. ()5515113121113
a q S q
--=
==--故选：C.
3．年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式，孪生2013素数猜想是希尔伯特在年提出的个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得
190023p 是素数，素数对称为孪生素数.从以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的2p +(),2p p +10概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
1613
1
223
【答案】B
【分析】列举出以内的素数，以及任取两个不同的素数构成的数对，确定孪生素数的个数，利用10古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】以内的素数有、、、，
102357
任取两个不同的素数有、、、、、，共个， ()2,3()2,5()2,7()3,5()3,7()5,76其中孪生素数有、，共个，故所求概率为. ()3,5()5,722163
P ==故选：B.
4．如图，已知空间四边形，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点满足，设
OABC G 2MG GN =
，，，则（ ） OA a
= OB b = OC c = OG =
A ．
B ．
C ．
D ．
1113
3
3
a b c ++ 111633
a b c ++ 111366
a b c ++ 111666
a b c ++
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算一步步将向量化为关于，，，即可整理得出答案. OG
OA OB OC 【详解】
， ()
12122323
OG OM MG OA MN OA MA AB BN =+=+=+++ ， 12112322OA OA OB OA BC ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭
， ()
12112322OA OA OB OA OC OB ⎡⎤=++-+-⎢⎥⎣⎦
， 111633OA OB OC =++
. 111633
a b c =++ 故选：B.
5．已知，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范()1,0A -()10B ,()2y k x =-P 90APB ∠=︒k 围为（ ）
A ．
B ． ⎡⎢⎣⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝
C ．
D ． ⎛ ⎝,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】B
【分析】根据题意分析可得直线与圆：有公共点（公共点不能是、），()2y k x =-O 221x y +=A B 结合直线与圆的位置关系分析运算.
【详解】若，则点在以，为直径的圆上（点不能是、）， 90APB ∠=︒P ()1,0A -()10B ,P A B ∵以，为直径的圆的圆心为，半径，则圆的方程为， ()1,0A -()10B ,()0,0O 1r =O 221x y +=即直线与圆：有公共点（公共点不能是、）， ()2y k x =-O 221x y +=A B
当直线与圆：，解得；
()2y k x =-O 2
2
1x y +=1≤k ⎡∈⎢⎣当直线与圆：的公共点为A 或B 时，则直线即为x 轴，即
()2y k x =-O 221x y +=()2y k x =-；
0k =
综上所述：实数的取值范围为. k ⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝ 故选：B.
6．已知是双曲线右支上一点，记到双曲线左焦点的距离为，到
P ()22
2210,0x y a b a b -=>>P 1F 1d P 双曲线一条渐近线的距离为，若的最小值等于双曲线的焦距长，则双曲线的渐近线方程为2d 12d d +（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4
3
y x =±34y x =±
5
3y x =±4
5
y x =±【答案】A
【分析】由双曲线定义得到，故，数形结合得到当点为线段
122d PF a =+21222PF d a d d +=++P 与双曲线的交点时，此时取得最小值，从而列出方程，求出，得到渐近线方2F M 22PF d +43a b =程.
【详解】由双曲线定义可知：， 122PF PF a -=故，故， 122d PF a =+21222PF d a d d +=++过点作渐近线的垂线，垂足为，
2F 1:b l y x a
=M
当点为线段与双曲线的交点时，此时取得最小值， P 2F M 22PF d +最小值即为，
2F M
，解得：，
22a c =22b a c +=两边平方得：， 222444b ab a c ++=又， 222+=a b c 所以， 43a b =渐近线方程为. 43
b y x x a =±=±故选：A 7．已知在大小为
的二面角中，，，于点，于点，且
3
π
l αβ--A α∈B β∈AC l ⊥C BD l ⊥D ，则直线与所成角的余弦为（ ）
22CD DB AC ===AB CD A
B
C
D ．
1
2【答案】B
【分析】以、
为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出
CD BD CDBE AE AE BE ，利用勾股定理可求得的长，即可求解
BE AE ⊥AB 【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接，
CD BD CDBE AE
因为，，则，
BD CD ⊥//CE BD CE CD ⊥又因为，，，故二面角的平面角为， AC CD ⊥AC α⊂CE β⊂l αβ--π3
ACE ∠=因为四边形为平行四边形，则，，
CDBE 2CE BD ==2BE CD ==
所以在中，，则 ACE △222
π
2cos
3
AE AC CE AC CE =+-⋅AE =，则，，，平面，
//BE CD BE CE ⊥BE AC ⊥AC CE C = ,AC CE ⊂ACE 故平面，
BE ⊥ACE
因为平面，则，故.
AE ⊂ACE BE AE ⊥AB =，所以直线与所成角相当于直线与所成角，即，
//BE CD AB CD AB BE ABE ∠
所以， cos ABE ∠==故选：B
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A ，B 两
()22
22:10x y C a b a b
+=>>1F 2F 2F
点，，且，椭圆，则实数（ ）
22AF F B λ= 120AF AF ⋅= C λ=A ． B ．2 C ． D ．3
2
313【答案】D
【分析】设，根据椭圆的定义求出，，利用
22(0)AF B t t F λ==> 1=2AF a t -1=2a
BF a λ
-即可求解.
12AF AF ⊥【详解】因为，设，由椭圆的定义可得：，则
22AF F B λ=
22(0)AF B t t F λ==> 12=2AF AF a +，因为，所以，
1=2AF a t -120AF AF ⋅=
12AF AF ⊥
所以，即，又因为椭圆， 2
2
2
1212=AF AF F F +222(2)4a t t c -+=C
所以，则有，
a =2222(2)42a t t c a -+==所以，则，则，
t a =2a F B λ= 2F B a
λ= 由，所以，因为，所以，
12=2BF BF a +1=2a
BF a λ
-
120AF AF ⋅=
12AF AF ⊥所以，即，解得：，
22211=AF AB BF +22
221(1(2a a a a λλ
++=-3λ=故选：.
D
二、多选题
9．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现3点”，“第A =B =
的有（ ）
A ．A 与
B 不互斥且相互独立 B ．A 与D 互斥且不相互独立
C ．B 与C 不互斥且相互独立
D ．B 与D 互斥且不相互独立
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，求出事件A ，B ，C ，D 的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的定义判断作答.
【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的试验结果有：，
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，共36个不同结果，
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)事件A 所含的结果有：，共6个，
()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6事件B 所含的结果有24个，事件C 所含的结果有18个，事件D 所含的结果有：()()()4,6,5,5,6,4，共3个， 因此， 6124218131(),(),(),()3663633623612
P A P B P C P D =
=======对于A ，事件A 与B 都含有，共4个结果，即事件A 与B 可以同时发生， (3,1),(3,2),(3,3),(3,4)而，A 与B 不互斥且相互独立，A 正确； 41
()()()369
P AB P A P B =
==对于B ，事件A 与D 不能同时发生，，A 与D 互斥且不相互独立，B 正确； ()0()()P AD P A P D =≠对于C ，事件B 与C 都含有，共12(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(5,2),(5,4),(6,1),(6,3)个结果，
即事件B 与C 可以同时发生，，B 与C 不互斥且相互独立，C 正确； 121
()()()363
P BC P B P C =
==对于D ，事件B 与D 都含有，即B 与D 可以同时发生，， (6,4)121
()()()36312
P BD P B P D =≠⨯=因此B 与D 不互斥且不相互独立，D 错误. 故选：ABC
10．已知等差数列的前项和为，且，，数列的前项和为{}n a n n S 6135S S S <<12
1n n n n b a a a ++={}n b n n
T .则下列说法正确的有（ ） A ．，
B ．当且仅当时，取得最小值 90a <80b >9n =n S
C ．当时，的最大值为17
D ．当且仅当时，取得最大值
0n S <n 8n =n T
【分析】由结合等差数列的角标性质判断ABC ；由裂项相消求和法判断D. 6135S S S <<【详解】对于A ：设等差数列的公差为，因为，所以， {}n a d 6135S S S <<6560S S a -=<因为，所以.
136789101112131070S S a a a a a a a a +-==+++++>100a >因为，所以. 1312111098711603594()0a a a a a S a a a a a S -=+++++++=+<1090a a +<由，可得，因为，所以，故A 正确；
100a >1090a a +<90,0a d <>890a a d =-<88910
1
0b a a a =
>对于B ：因为，，所以当且仅当时，取得最小值，故B 正确； 90,0a d <>100a >9n =n S 对于C ：，即当时，的最大值不是17，故C 错误； ()()
118910181818022a a a a S ++==<0n S <n 对于D ：
12
11211112n n n n n n n n b a a a d a a a a +++++⎛⎫
=
=
- ⎪⎝⎭
122323341121212111111111122n n n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a a a +++++⎛⎫⎛⎫
=
-+-++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因为，所以当
最小时，最大.
0d >12
1
n n a a ++n T 当时，，，此时最小，即当时，取得最大值，故D 正确；
8n =90a <100a >12
1
n n a a ++8n =n T 故选：ABD
11．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，点是棱的中1111ABCD A B C
D -1CC t =Q 1CC 点，点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
P ABCD
A ．存在点使得平面
P 1//A P 11BCC B B ．当时，存在点使得直线与平面所成的角为 2t =P 1A P ABCD π
6
C ．当时，满足的点有且仅有两个 2t
=1A P PQ ⊥P D ．当的点
t =
1A P PQ ⊥P
【分析】根据直棱柱的性质及面面平行的性质判断A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量判断B 、C 、D.
【详解】解：如图建立空间直角坐标系D -xyz ，则，，，，
()12,0,A t 0,2,2t Q ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭()0,0,0D ()2,2,0B 对于A ：由直棱柱的性质可知平面平面，当时平面，故A 正11//A D DA 11B C CB P AD ∈1//A P 11BCC B 确；
对于B ：当时，设，，则， 2t =(
),,0P x y [],0,2x y ∈()12,,2P x A y =--
显然平面的法向量可以为，
ABCD ()0,0,1n =
设直线与平面所成的角为，则
1A P ABCD θ11sin P n
P n A A θ⋅==⋅
若直线与平面所成的角为，则
，
1A P ABCD π
6
1
sin 2θ=
=
4=所以，因为，所以，，
()2
2212x y -+=[],0,2x y ∈()[]2
20,4x -∈[]2
0,4y ∈所以，故不存在使得，
()[]2
220,8x y -+∈[],0,2x y ∈()2
2212x y -+=即不存在点使得直线与平面所成的角为
，故B 错误； P 1A P ABCD π
6
对于C ：由，， ()12,,2P x A y =-- (),2,1PQ x y =--
因为，所以，
1A P PQ ⊥()()12220A P PQ x x y y ⋅=--+--=
所以，所以，即，所以满足的点有且仅有个，故C
()()2
2
11
0x y -+-=1
1x y
=⎧⎨=⎩
()1,1,0P 1A P PQ ⊥P 1错误；
对于D ：当
时，，，， t =1A
⎛ ⎝12,,A P x y ⎛=- ⎝
,2
PQ x y ⎛=-- ⎝ 因为，所以，即，
1A P PQ ⊥()()1
220
P PQ x x A y y ⋅=--+-= ()()224113x y -+-=
=又
，则圆心轴、轴分别交于点、[],0,2x y ∈()1,1E x y 1M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎛
过点作交于点，则，所以
，则，又E EF AD ⊥AD F MF =
1sin 2MF MEF ME ∠=
=π6MEF ∠=， π
4
DEF ∠=
所以，所以，
π12
MED DEF MEF ∠=∠
-∠=π
26MEN MED ∠=∠=圆弧的长度，所以点
D 正确；
MN π6l =
=
P
故选：AD
12．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，点，直线24y x =F F l ,A B ()2,0T 与抛物线的另一个交点分别为，则下列说法正确的有（ ）
,AT BT ,C D A ．直线过定点
CD ()3,0B ．与的面积之比为
ATB A CTD
△1:4C ．若直线，斜率都存在，且分别为，，则 AB CD 1k 2k 211
2
k k =D ．与的面积之和的最小值为ATF △CTD △【答案】BCD
【分析】可通过特殊情况，直线斜率不存在时求得直线不过定点，排除A ，也可以通过l CD ()3,0设出的方程与抛物线方程联立，求得纵坐标关系，两点式写出方程，化简,,AC BD AB ,,,A B C D CD 整理可得方程过定点，用纵坐标表示两个三角形面积之比，直线，斜率化简()4,0,,,A B C D AB CD 可判断B ，C 正确，与的面积之和用纵坐标表示，化简后利用基本不等式
CTD △,,,A B C D
可求得最小值.
【详解】当与垂直时，，又， l x (1,2),(1,2)A B -(2,0)T ， :24=24AT y x BT y x ∴=-+-，：与抛物线方程联立，得， AT 2
24
4y x y x =-+⎧⎨
=⎩
(4,4)C -与抛物线方程联立，得， BT 2
24
4y x y x =-⎧⎨=⎩
(4,4)D ，不过定点，所以A 错误.
:4CD x ∴=()3,0如图：
设，交轴于，
11223344(,),(,)(,)(,)A x y B x y C x y D x y CD x E 设，得，
22
2,4x ty AC x ty y x =+⎧=+∴⎨=⎩：2480y ty --=则， 1313
88,y y y y -=-=
设，得， 2
2
2,4x my BD x my y x =+⎧=+∴⎨=⎩：2480y my --=则， 2424
88,y y y y -=-=
设，得，
21
1,4x ny AB x ny y x =+⎧=+∴⎨=⎩：2440y ny --=则， 1212
44,y y y y -=-= 12343434
8864(
)(4,16,y y y y y y y y --∴===-=-直线 CD
()
()()()
()3444443422
3434344:14
y y x x x x x x y y y y x x y y y y -----=-==
-+-()()()
()2
444x x x x y y y x x y y y --++-++
，
44343434
4()1644164(4)
x x x x x y y y y y y --+--=
==+++所以直线过定点
CD ()4,0， 43123434
434334438()881()11()44121()2()2164()2
ATB
DTC
y y y y FT
y y y y S S y y y y y y y y TE -----⋅⋅-⋅--======-⋅-⋅--⋅A A 所以B 正确.
()
()
432
2
214343432212221143212143
21
1414y y y y x x y y y y k x x y y k x x y y y y y y x x ------==⋅=⋅------, 214343434388
281y y y y y y y y y y +
+-==++⋅-==-所以C 正确.
14311
12()22
ATF CTD S S y y y +=⨯⨯+⨯⨯-A A , 14333333
18162022y y y y y y y y ---=+-
=⨯+-=
-333200,ATF CTD y S S y y -<∴+=-≥=A A 所以D 正确. 故选：BCD
三、填空题
13．是空间向量的一组基底，，，，已知点在
{}
,,a b c 2OA a mb c =++ 2OB a b =+
OC a b c =++ O 平面内，则______. ABC m =【答案】3
【分析】根据空间向量共面定理可得存在与 使得,从而可求解.
λμOC OA OB λμ=+
【详解】因为点在平面内，所以，，共面， O ABC OA OB OC
所以存在与 使得,
λμOC OA OB λμ=+
即，
()()
()()2222a b c a mb c a b a m b c λμλμλμλ++=++++=++++
所以，解得.
21211
m λμλμλ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩113m λμ=⎧⎪
=-⎨⎪=⎩故. 3m =故答案为:3.
14．已知圆被直线所截得的两段圆弧的弧长之比为，且圆上恰有三个不同的点到直线的C l 1:2C l 距离为，则直线被圆所截得的弦长为______. 1l C 【答案】
【分析】设圆的半径为，作出图形，计算出圆心到直线的距离为为
，根据题意可得出关C r C l 2
r
于的等式，解出的值，利用勾股定理可求得直线被圆所截得的弦长.
r r l C 【详解】设圆的半径为，因为圆被直线所截得的两段圆弧的弧长之比为，
C r C l 1:2则劣弧所对的圆心角为，所以，圆心到直线的距离为，
120
C l 120cos 22
r
d r ==
将直线平移，使得平移后的直线与直线之间的距离为，如下图所示：
l l 1
假设平移后的直线为、，则这两条直线一条与圆相切，一条与圆相交， 1l 2l C C 不妨设直线与圆相切，则直线与之间的距离为，可得， 1l C l 1l 12
r
r -
=2r =所以，直线截圆所得弦长为
l C
=故答案为：15．已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为8，过的直线与该椭圆
1F 2F ()22
2210x y a b a b
+=>>1F 交于M ，N 两点，若的最小值为，则周长为______.
MN 18
52F MN A 【答案】
20【分析】根据焦距为8，的最小值为
可得：，，结合椭圆的定义进而求解. MN 18
5
4c =5a =
【详解】由题意可知：，解得：，， 2
2
22
28218
5c b a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩4c =5a =由椭圆的定义可得：周长为， 2F MN A 420a =故答案为：.
2016．已知的前项和为，，，则______.
{}n a n n S ()()
12
21n n n n a a n +++-=50600S =12a a +=【答案】
12-【分析】根据题意令和，代入整理可得
43,n k k =+∈N 44,n k k =+∈N ，利用并项求和结合等差数列求和运算求解. 4645444378k k k k a a a a k ++++++=++【详解】当时，则
为偶数，
43,n k k =+∈N ()()()143222
n n k k +=++为偶数，
()()()()1222452n n k k ++=
++可得，，
()
()4543
12
2143k k n n n n a a a a k +++++-==++()
()()
122
314644144n n n n k k a a a a k +++++++-+==+两式相加可得：，
4645444378k k k k a a a a k ++++++=++故 ()()()()5012501234567891047484950......S a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++=++++++++++++++，
()()()()12121212795715 (956126002)
a a a a a a +=+++++=++
=++=解得. 1212a a +=-故答案为：.
12-【点睛】方法点睛：本题中出现，故应讨论
的奇偶性，根据题意把相邻的四项合()
()12
1n n +-()
12
n n +并为一项，组成一个新的数列，再进行求和运算，同时注意对的处理.
12a a +
四、解答题
17．某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.甲、乙、丙三人在笔试部分合格的概率分别为
，，，在面试部分合格的45233
4
概率分别为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
1
22335
(1)假设甲、乙、丙三人都同时参加了笔试和面试，谁被录取的可能性最大?
(2)当甲、乙、丙三人都参加了笔试和面试之后，不考虑其它因素，求三人中至少有一人被录取的概
率.
【答案】(1)丙 (2) 49
60
【分析】（1）记甲、乙、丙三人被录取分别为事件A ，B ，C ，且A ，B ，C 相互独立，甲、乙、丙三人被录取即三人即通过笔试部分又通过面试部分，由独立事件概率的乘法公式计算得出，
()P A ，，比较概率的大小即可得出答案；
()P B ()P C （2）记三人中至少有一人被录取为事件，则与互为对立事件，从而根据对立事件的D D A B C 计算公式与独立事件概率的乘法公式计算得出答案.
【详解】（1）记甲、乙、丙三人被录取分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独立，
则，，，
()412525P A =⨯=()224339
P B =⨯=()3394520P C =⨯=，
()()()P A P B P C << 丙被录取的可能性最大.
∴（2）记三人中至少有一人被录取为事件， D 则与互为对立事件，
D A B C .
()()()()()
24949111111592060
P D P C P P P C A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴=-=-=----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 18．已知直线，，且. ()1:2220l a x y a ---=2:410l x ay a -+-=12l l ∥(1)求与之间的距离；
1l 2l (2)一束光线从出发经反射后平行于轴射出，求入射光线所在的直线方程. ()2,3P 1l x
【答案】(2) 43170x y +-=
【分析】（1）由平行条件得出的值，再由距离公式求解；
a （2）由关于的对称点得出反射光线的方程，并与直线联立得出入射点，进而由()2,3P 1l ()00,P x y '1l 两点式写出方程.
【详解】（1）由可得：，解得：或 12l l ∥()()()22140a a -⋅---⋅=2a =1-当时，，，此时与重合，舍去
1a =-1:420l x y --+=2:420l x y +-=1l 2l
当时，，，此时，符合题意 2a =1:240l x y --=2:4210l x y -+=12l l ∥故与之间的距离为.
1l 2l
d =
=
（2）设关于的对称点为，则
()2,3P 1l ()00,P x y ' 解得：，∴ 0000321223240
22y x x y -⎧⋅=-⎪-⎪⎨
++⎪--=⎪⎩
00225
95x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩229,55P '⎛⎫ ⎪⎝⎭联立，解得：，∴入射点为. 2409
5x y y --=⎧⎪⎨=⎪⎩2910
95x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
299,105⎛⎫ ⎪⎝⎭故入射光线所在的直线方程为，即. 9
3
35
2922
10
y x --=--43170x y +-=19．已知数列的前项和为，且，，数列是等差数列. {}n a n n S 11a =223
a =(){}423n n nS n a ++(1)求证数列为等比数列；
n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
(2)求.
n S 【答案】(1)证明见解析 (2) 9691443n
n +⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】（1）根据题意结合等差数列的通项公式整理可得，由与的关系整239
44
n n n S a n +=-+n a n S 理得
，根据等比数列的定义分析理解； ()1
1231
n n a a n n n -=⋅≥-（2）根据等比数列通项公式可得，法一：根据题意直接代入运算；法二：利用错位相减1
3n n n
a -=
法求和；法三：整理可得，利用裂项相消法求和.
()1
9
919911243243n
n n a n n +⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+-++ ⎪⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭【详解】（1）对于等差数列可得：
(){}423n n nS n a ++当时，则；当时，则； 1n =11459S a +=2n =22128781518S a a a +=+=∴是以9为首项，9为公差的等差数列，
(){}423n n nS n a ++
则，即①， ()()4239919n n nS n a n n ++=+-=239
44
n n n S a n +=-+当时，②， 2n ≥1219
444
n n n S a n -+=-
+-得：， -①②12321
444
n n n n n a a a n n -++=-
+-整理得：
，且， ()1
1231n n a a n n n -=⋅≥-1101
a =≠∴是以为首项，为公比的等比数列.
n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
111a =13（2）方法一：由（1）可知，，则， 1
113n n a n -⎛⎫
=⋅ ⎪
⎝⎭
1
3n n n
a -=
∴；
1
1239239923144434443n n n n n n n n S a n n --+++⎛⎫
=-+=-⋅+=-⋅ ⎪
⎝⎭
方法二：由（1）可知，，则， 1
113n n a n -⎛⎫
=⋅ ⎪
⎝⎭
13n n n
a -=
①，
()0
1
2
2
1
11111123133333n n n S n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
②， ()1
2
3
1
1111111231333333n n
n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭得：-①②0
1
2
1
211111333333n n
n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
， 1113131133111323322313
n n n n n
n n n ⎡⎤
⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=--=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∴； 1
333192312223443n n n n S n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+=-
⋅⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
方法三：由（1）可知，，则， 1
113n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪
⎝⎭
1
3n n n
a -=
设，
()()1
11133n
n n a An B A n B +⎛⎫⎛⎫
⎡⎤=+-++ ⎪ ⎪
⎣⎦⎝⎭⎝⎭22111333333n
n
An B A n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
比较系数得：，解得：，
233210
3
3A B A ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩92
94A B ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴
()1
9
919911243243n n n a n n +⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+-++ ⎪⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭∴
(1
212239919919919919
91912232432432432432
432...n
n n S a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⨯++-+
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-+⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣-++. 9691443n
n +⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
20．在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，ABCDEF ABCD ABEF //AF BE ，，平面平面.
AF AB ⊥22AB BE AF ===ABEF ⊥ABCD
(1)证明：⊥平面；
BD ACF (2)若直线与平面所成的角为60°，求平面与平面所成角的余弦值. DA ACF ACF CEF 【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而得到，结合，得到线面垂直； AF BD ⊥BD AC ⊥（2）在第一问的基础上，得到直线与平面所成的角为，故，建立空DA ACF DAO ∠60DAO ∠=︒间直角坐标系，利用空间向量求解两平面夹角的余弦值.
【详解】（1）证明：∵平面平面，，平面，平面平面
ABEF ⊥ABCD AF AB ⊥AF ⊂ABEF ABEF ⋂，
ABCD AB =∴平面，又平面， AF ⊥ABCD BD ⊂ABCD ∴，
AF BD ⊥∵四边形为菱形， ABCD ∴，
BD AC ⊥又，平面， AF AC A = ,AF AC ⊂ACF ∴⊥平面；
BD ACF （2）设，由（1）可知，平面，则直线在面内的射影为，
AC BD O = DO ⊥ACF DA ACF OA
故直线与平面所成的角为， DA ACF DAO ∠∴，
60DAO ∠=︒和均为边长为2的等边三角形，
ACD A ACB △以为原点，，为，轴建立空间直角坐标系，如下图：
O OC OB x
y
由⊥平面，可得平面的法向量为，而，，BD ACF ACF ()10,1,0n =
()1,0,0C ()1,0,1F
-()
2
E ，
∴，，
()2,0,1CF =-
()
CE =- 设平面的法向量，则， CEF ()2,,n x y z =u u
r 22
2020n CF x z n CE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取，可得
，
1x =
2,z y ==()
21,n = ∴平面与平面夹角的余弦值为
ACF CEF 121212
cos ,n n n n n n ⋅===⋅
21．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上.设外围第一个正方形1111D C B A
的面积为，往里第二个正方形的面积为，…，往里第个正方形的面积11a =2222A B C D 2a n n n n n A B C D 为.
n a
(1)求的通项公式；
{}n a
(2)已知满足
，问是否存在最大项?若存在，求出最大项；{}n b ()
2*12
122N n n
b b b n n n a a a ++⋅⋅⋅+=-∈{}n b 若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
()1
*
5N 9n n a n -⎛⎫
=∈ ⎪
⎝⎭(2)存在， 23259
b b ==
【分析】
（1）由图形可得
即，则
为等比数列，结合等
22
2
=+159n n a a +={}n a 比数列的通项公式求解即可； （2）当时，
，结合题设条件可得，从而得出2n ≥()()2
121121211n
n b b b n n a a
a --++⋅⋅⋅+
=---43n n
b n a =-，然后利用数列的单调性求出结果.
n b 【详解】（1）由图形可得：
，即
22
2
=+159n n a a +=∴是以1为首项，为公比的等比数列
{}n a 5
9
∴.
()1
*
5N 9n n a n -⎛⎫=∈ ⎪
⎝⎭（2）
① 212122n n
b b b
n n a a a ++⋅⋅⋅+=-当时，，∴
1n =1
11b a =11b =当时，
② 2n ≥()()2
121121
211n n b b b n n a a a --++⋅⋅⋅+=---得，，∴ -①②43n n
b n a =-()()154329n n b n n -⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭
经检验，当时，也满足上式，
1n =11b =∴
()()1
*
543N 9n n b n n -⎛⎫
=-∈ ⎪
⎝⎭
令，解得： ()()()()11
54154191
9435439n
n n n n n b b n n +-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==>-⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
2n <∴当时，；当时，；当时，
1n =21b b >2n =32b b =3n ≥1n n b b +<
∴当或3时，的最大项为. 2n =n b 23259
b b ==
22．已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，椭圆的一条以
()22
22:10x y C a b a b
+=>>1A 2A 124A A =C 为中点的弦所在直线的方程为. 11,2⎛⎫
⎪⎝⎭
3240x y +-=(1)求椭圆的方程；
C (2)点为直线上一点，且不在轴上，直线，与椭圆的另外一个交点分别为M ，P 4x =P x 1PA 2PA C N ，设，的面积分别为，，求
的最大值，并求出此时点的坐标. 12PA A △PMN A 1S 2S 1
2
S S P 【答案】(1)
22
143
x y +=(2)， 4
3()4,3P ±
【分析】（1）由点差法得出，进而由得出椭圆的方程； 2
2
34
b a =
1224A A a ==C （2）设，，，联立直线（）与椭圆方程，求出，，
()()4,0P t t ≠()11,M x y ()22,N x y 1PA 2PA 1y 2y 再由面积公式结合相似三角形的性质得出，令，由二次函数的性质得()()
()
221
2
222739
t t S S t ++=+29m t =+出
的最大值以及点的坐标. 1
2
S S P 【详解】（1）设，，则， ()11,A x y ()22,B x y 22
1122
22
222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得，
，
()()()()121212122
2
0x x x x y y y y a b +-+--=所以
，即 2
121221212y y y y b x x x x a
-+⋅=--+2222AB y b k x a ⋅=-中中即，∴
223122b a
-⋅=
-2
234b a =又，所以，1224A A a ==2a =b =所以椭圆的方程为.
C 22
143
x y +=（2）设，， ()()4,0P t t ≠()11,M x y ()22,N x y 则：，： 1PA ()26t
y x =
+2PA ()22
t y x =-
联立，消去得 22623412
x y t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩x ()2212182718027t t y ty y t +-=⇒=+同理，联立，消去得 22223412
x y t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩x ()222263603t t y ty y t -++=⇒=+所以 121212121
sin 0021sin 2
PA PA P PA PA S t t S PM PN t y t y PM PN P ∠--==⋅=⋅--∠. ()()()
222
22222731869273t t t t t t t t t t ++==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭令，则
299m t =+> ()()2212221861210811110812109m m S m m S m m m m m +-+-⎛⎫⎛⎫===-++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即，即时，取得最大值. ()112110,2108189m ⎛⎫=-=∈ ⎪⨯-⎝⎭18m =3t =±12S S 43
综上所述，当时，取得最大值. ()4,3P ±12S S 43。