【北师大版】初一数学下期末试卷(带答案)

一、选择题
1．学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（）
A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是2 3
B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖
C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是1
2
D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一
2．下列说法：①概率为0的事件不一定是不可能事件；②试验次数越多，某情况发生的频率越接近概率；③事件发生的概率与实验次数无关；④在抛掷图钉的试验中针尖朝上
的概率为1
3
，表示3次这样的试验必有1次针尖朝上．其中正确的是（）
A．①②B．②③C．①③D．①④
3．下列事件是随机事件的是（）
A．在一个标准大气压下，水加热到100℃会沸腾 B．购买一张福利彩票就中奖
C．有一名运动员奔跑的速度是50米/秒 D．在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
4．有下列说法：①轴对称的两个三角形形状相同；②面积相等的两个三角形是轴对称图形；③轴对称的两个三角形的周长相等；④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是形状相同的．其中正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
5．下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．下列图形中，是轴对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A ．2cm ，3cm ，5cm B ．5cm ，6cm ，11cm C ．3cm ，4cm ，8cm D ．5cm ，6cm ，10cm 8．下列长度的三条线段中，有组成三角形的是（ ）
A ．3cm,4cm,9cm
B ．8cm,7cm,15cm
C ．12cm,13cm,24cm
D ．2cm,2cm,6cm
9．如图，已知ABC ADE △≌△，若70E ∠=︒，30D ∠=︒，则BAC ∠的度数是（ ）
A ．80︒
B ．70︒
C ．40︒
D ．30
10．函数y ＝中自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≤2
B ．x ≥2
C ．x ＜2
D ．x ＞2
11．如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（ ）
A ．∠α+∠β+∠γ＝180°
B ．∠α－∠β+∠γ＝180°
C ．∠α+∠β－∠γ＝180°
D ．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 12．若6a b +=，4ab =，则22a ab b ++的值为（）
A ．40
B ．36
C ．32
D ．30
二、填空题
13．如图，在4×4的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是________．
14．六一期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外其余都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2附近，由此可以估计纸箱内有红球________个．
15．把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变
换（如图①）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图②）的对应点所具有的性质是_____________．
16．如图，将一张长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D′，C′的位置上，ED′的延长线与BC 的交点为G ，若∠EFG=50°，则∠2-∠1=_____．
17．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为F ，AB=DE ．若BD=8cm ，则AC 的长为_________．
18．已知ABC △是等腰三角形，周长是60cm ，腰长为cm x ，底为cm y ． （1）用含x 的关系式表示y ：__________．
（2）当腰长由20cm 变化到25cm 时，底边长由__________cm 变化到__________cm ． 19．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OM
AB ⊥于点O ，若42MOD ∠=，则
COB ∠=__________度．
20．若()()21x a x -+的积中不含x 的一次项，则a 的值为______．
三、解答题
21．现有足够多除颜色外均相同的球，请你从中选9个球设计摸球游戏. （1）使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等；
（2）使摸到红球、白球、黑球的概率都相等；
（3）使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率.
22．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点(1,1),(4,2),(2,4)A B C 均在正方形网格的格点上．
（1）画出ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △并写出顶点111,,A B C 的坐标； （2）在y 轴上画出点P ，使PB PC 最小（保留作图痕迹）．
23．（1）如图，∠MAB ＝30°，AB ＝2cm ，点C 在射线AM 上，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题，请画出图形，并写出你所选取的BC 的长约为 cm （精确到0.lcm ）．
（2）∠MAB 为锐角，AB ＝a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC ＝x ，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是 ．
24．将长为40 cm 、宽为15 cm 的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为5 cm.
…
(1)根据上图，将表格补充完整： 白纸张数 1 2
3 4 5
… 纸条长度
40
110
145
…
(2)设x 张白纸黏合后的总长度为y cm ，则y 与x 之间的关系式是什么？ (3)你认为多少张白纸黏合起来总长度可能为2 018 cm 吗？为什么？ 25．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
已知：如图，点D 、E 分别在线段AB 、BC 上，//AC DE ，//DF AE 交BC 于点F ，AE 平分.BAC ∠求证：DF 平分BDE ∠ 证明：AE ∵平分(BAC ∠已知)
12∠∠∴= ( ) //AC DE
13(∴∠=∠ )
故23∠∠= ( )
//DF AE
25∴∠=∠ ( )
并且34∠=∠ ( )
45∴∠=∠ ( )
DF ∴平分BDE ∠ ( )
26．如图①是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是__________； （2）用两种不同的方法表示②中阴影部分的面积：
方法1：____________________；方法2：____________________
（3）观察图②，请你写出式子()2
a b +、()2
a b -、ab 之间的等量关系：__________； （4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若7m n -=-，5mn =，则()2
m n +的值为多少？
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
试验次数足够大时，频率才可以表示概率，A选项试验次数过少，所以错误；5%是每张均有%的可能中奖，而不是100张彩票一定会有5张中奖，偷换概念；概率题一定要考虑样本空间，然后确定样本，C中还有脱靶的可能，所以错误；抛掷一枚均匀硬币，结果只有两种正面朝上和正面朝下，且每次发生的可能是相等的，每做一次，正面朝上的概率都是二分之一．
【详解】
小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，但是试验次数少，因此不能确定钉尖朝上的概率，所以A错误；
小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，所以B 错误；
小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是1 2
不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以C错误；小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一，所以D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考察了频率和概率的区别，等可能时间概率的计算；在初中课程中认为当试验次数足够大时，频率可以表示概率；等可能事件中，n件事发生的概率都是相等的，因此每件事
发生的概率是1
n
．
2．B
解析：B
【分析】
根据概率和频率的概念对各选项逐一分析即可.
【详解】
①概率为0的事件是不可能事件，①错误；
②试验次数越多，某情况发生的频率越接近概率，故②正确；
③事件发生的概率是客观存在的，是确定的数值，故③正确；
④根据概率的概念，④错误.
故选：B
【点睛】
本题考查概率的意义，考查频率与概率的关系，本题是一个概念辨析问题．3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据事件的类型特点及性质进行判断.
【详解】
A、是必然事件，选项错误；
B、是随机事件，选项错误；
C、是不可能事件，选项错误；
D、是不可能事件，选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查的是随机事件的特性，熟练掌握随机事件的特性是本题的解题关键.
4．B
解析：B
【分析】
根据平移、翻折或旋转的性质逐项判断可求解．
【详解】
解：①轴对称的两个三角形形状相同，故正确；
②面积相等的两个三角形形状不一定相同，故不是轴对称图形，故错误；
③轴对称的两个三角形的周长相等，故正确；
④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是形状相同的，故正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形的变换，掌握平移、翻折或旋转的性质是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】
解：由轴对称图形的概念可得：第一、二个图案是轴对称图形，第三、四个图案不是轴对称图形，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念对各个图案进行判断即可得解．
【详解】
解：第1个是轴对称图形，故本选项正确；
第2个是轴对称图形，故本选项正确；
第3个是轴对称图形，故本选项正确；
第4个不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7．D
解析：D
【分析】
看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【详解】
解：A、2+3=5，不能构成三角形；
B、5+6=11，不能构成三角形；
C、3+4＜8，不能构成三角形；
D、5+6＞10，能构成三角形．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数就可以．
8．C
解析：C
【分析】
根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A、∵3＋4=7<9，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、∵8＋7＝15，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵12+13=25>24，∴能构成三角形，故本选项符合题意；
D、∵2＋2＝4＜6，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
9．A
解析：A
【分析】
由全等三角形的性质可得到∠BAC=∠EAD，在△ADE中可求得∠EAD，则可求得∠BAC．【详解】
解：∵∠E=70°，∠D=30°，
∴∠EAD=180°-∠E-∠D=180°-70°-30°=80°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠EAD=80°，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．10．D
解析：D
【解析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，
x-2＞0，解得x＞2，故选D.
11．C
解析：C
【分析】
过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由
∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∵∠β=∠AEF+∠FED，
又∵∠γ=∠EDC，
∴∠α+∠β-∠γ=180°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
根据a+b=6，ab=4，应用完全平方公式，求出a2+ab+b2的值为多少即可．
【详解】
解：∵a+b=6，ab=4，
∴a2+ab+b2
=（a+b）2-ab
=36-4
=32
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了完全平方公式的应用，要熟练掌握，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．二、填空题
13．【分析】根据概率的计算公式解答【详解】∵共有16个小正方形其中有4个涂上阴影∴小虫落到阴影部分的概率是故答案为：【点睛】此题考查简单事件的概率计算掌握事件发生的所有可能性及该事件可能发生的次数是解题
解析：1 4
【分析】
根据概率的计算公式解答．
【详解】
∵共有16个小正方形，其中有4个涂上阴影，∴小虫落到阴影部分的概率是41
164
，
故答案为：1
4
．
【点睛】
此题考查简单事件的概率计算，掌握事件发生的所有可能性及该事件可能发生的次数是解题的关键．
14．200【分析】在同样条件下大量反复试验时随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近可以从比例关系入手列出等式解答【详解】设红球的个数为x根据题意得：解得：x=200故答案为：200考点：利用频率估计概率
解析：200
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．
【详解】
设红球的个数为x，根据题意得：
10000.2
x
解得：x=200
故答案为：200．
考点：利用频率估计概率．
15．对应点到对称轴的距离相等【分析】由已知条件根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案【详解】解：两个对应三角形的对应点所具有的性质是对应点到对称轴的距离相等故答案为：对应点到对称轴的距离相等【点睛】本
解析：对应点到对称轴的距离相等
【分析】
由已知条件，根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案．
【详解】
解：两个对应三角形的对应点所具有的性质是对应点到对称轴的距离相等．
故答案为：对应点到对称轴的距离相等．
【点睛】
本题主要考查了轴对称及平移的性质，正确把握对应点之间关系是解题的关键．16．20°【分析】根据AD∥BC折叠可知∠EFG=∠DEF=∠D′EF=50°进而知∠1度数再根据两直线平行同旁内角互补可得∠2度数可得答案【详解】解：
∵AD∥BC∴∠DEF=∠EFG∵∠EFG=50°
解析：20°
【分析】
根据AD∥BC、折叠可知，∠EFG=∠DEF=∠D′EF=50°，进而知∠1度数，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2度数，可得答案．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFG，
∵∠EFG=50°，
∴∠DEF=50°；
又∵∠DEF=∠D′EF，
∴∠D′EF=50°；
∴∠1=180°-50°-50°=80°；
又∵AD∥BC，
∴∠1+∠2=180°，
即∠2=180°-∠1=180°-80°=100°，
∴∠2-∠1=20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题主要考查翻折问题及平行线的性质，结合题干熟悉翻折过程中相等的量及平行线的性质是关键．
17．4cm 【分析】由DE ⊥AB 可得∠BFE=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠DEB=90°由∠ACB=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠A=90°根据同角的余角相等可得∠A=∠DE
解析：4cm ．
【分析】
由DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB ，然后根据AAS 判断△ABC ≌△EDB ，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC ，AC=BE ，由E 是BC 的中点，得到BE=
12BC=12
BD=4． 【详解】
解：∵DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB ，
在△ABC 和△EDB 中， ACB DBC A DEB
AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△ABC ≌△EDB （AAS ），
∴BD=BC ，AC=BE ，
∵E 是BC 的中点，BD=8cm ，
∴BE=12BC=12
BD=4cm ， ∴AC=4cm ．
故答案为：4cm ．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．
18．10【解析】(1)∵2x+y=60∴y=60－2x(2)把x=20代入y=60－2x 得：y=20；把x=25代入y=60－2x 得：y=10；∴当腰长由20cm 变化到25cm 时底边长由20cm 变化到1
解析：602y x =-10
【解析】
(1)∵2x+y=60，
∴y=60－2x.
(2)把x=20代入y=60－2x得：y=20；
把x=25代入y=60－2x得：y=10；
∴当腰长由20cm变化到25cm时，底边长由20cm变化到10cm.
故答案为：(1)y=60－2x；(2)20；10.
19．132【分析】先根据垂直定义得到∠AOM=90°求出∠AOD的度数然后根据对顶角的性质求解即可【详解】
∵∴∠AOM=90°∵∴∠AOD=90+42=132°∴∠AOD=132°故答案为：132【点睛
解析：132
【分析】
先根据垂直定义得到∠AOM=90°，求出∠AOD的度数，然后根据对顶角的性质求解即可．
【详解】
⊥，
∵OM AB
∴∠AOM=90°，
∵42
∠=，
MOD
∴∠AOD=90+42=132°，
∠=∠AOD=132°．
∴COB
故答案为：132．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解答本题的关键．20．2【分析】先运用多项式的乘法法则计算再合并同类项因积中不含x的一次项所以让一次项的系数等于0得a的等式再求解【详解】解：（2x-a）（x+1）=2x2+（2-a）x-a∵积中不含x的一次项∴2-a=
解析：2
【分析】
先运用多项式的乘法法则计算，再合并同类项，因积中不含x的一次项，所以让一次项的系数等于0，得a的等式，再求解．
【详解】
解：（2x-a）（x+1）=2x2+（2-a）x-a，
∵积中不含x的一次项，
∴2-a=0，
∴a=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式法则，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）设计红球和白球的个数相等即可；
（2）让红球、白球、黑球的个数都相等即可；
（3）让红球和白球的个数相等，且小于黑球的个数即可．
【详解】
解：可以按如下设计：
（1）袋中放入红球4个，白球4个，黑球1个，则P （红球）P =（白球）49=,P （黑球）19
=； （2）袋中放入红球3个，白球3个，黑球3个，则P （红球）P =（白球）P =（黑球）13
=； （3）袋中放入红球2个，白球2个，黑球5个，则P （红球）P =（白球）29
P <（黑球）59
=
； 【点睛】 考查概率公式的应用；用到的知识点为：在总数一定的情况下，相应数量越多，概率越大．
22．（1）见解析；111(1,1),(4,2),(2,4)A B C ---；（2）见解析
【分析】
（1）过点A 、B 、C 作y 轴垂线，交y 轴于G 、F 、E ，在线段AG ，BF ，CE 的延长线上截取C 1E=CE ，B 1F=BF ，A 1G=AG ，顺次连结A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1即可得到要作的图形，由(1,1),(4,2),(2,4)A B C ，关于y 轴对称，点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，可求111A B C △顶点坐标为：111(1,1),(4,2),(2,4)A B C ---；
（2）如图，连结BC 1交y 轴于点P ，根据轴对称性质CP=C 1P ，可得CP+BP=C 1P+BP=C 1B ，由两点之间，线段最短，则点P 即为所求．
【详解】
解：（1）过点A 、B 、C 作y 轴垂线，交y 轴于G 、F 、E ，
在线段AG ，BF ，CE 的延长线上截取C 1E=CE ，B 1F=BF ，A 1G=AG ，
顺次连结A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1，
则111A B C △为所求，如图所示．
∵(1,1),(4,2),(2,4)A B C ，
由关于y 轴对称，点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴111A B C △顶点坐标为：111(1,1),(4,2),(2,4)A B C ---．
（2）如图，连结BC 1交y 轴于点P ，
则CP=C 1P ，CP+BP=C 1P+BP=C 1B ，
由两点之间，线段最短，
则点P 即为所求．
【点睛】
本题考查轴对称作图和线段和最短问题，掌握轴对称作图的方法与步骤，利用轴对称性质，与两点之间线段最短构造线段BC 1是解题关键．
23．（1）见解析，1.2；（2）x=d 或x≥a
【分析】
（1）可以取BC ＝1.2cm （1cm ＜BC ＜2cm ），画出图形即可；
（2）当x ＝d 或x≥a 时，三角形是唯一确定的．
【详解】
（1）如图，选取的BC 的长约为1.2cm ，
故答案是：1.2；
（2）若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是x ＝d 或x≥a ， 故答案为：x=d 或x≥a ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”，属于中考常考题型．
24．(1) 75，180；(2)y ＝35x ＋5；(3)不能.理由见解析.
【分析】
（1）根据题意找出白纸张数跟纸条长度之间的关系，然后求解填表即可；
（2）x 张白纸黏合，需黏合（x-1）次，重叠5（x-1）cm ，所以总长可以表示出来；
（3）当y=2018时，列出方程并解之，注意x 是整数，若x 为自变量取值范围内的值则能，反之不能．
【详解】
(1)由题意可得，2张白纸粘合后的长度为：402⨯－5=75cm ，
5张白纸黏合后的长度为：405⨯－54⨯=180cm ，
故答案为75，180；
(2)根据题意和所给图形可得出：
y ＝40x －5(x －1)＝35x ＋5.
(3)不能.理由如下：
令y=2018得：2018＝35x ＋5，
解得x≈57.5.
∵x 为整数，
∴不能使黏合的纸片总长为2018cm
【点睛】
本题主要考查了函数关系式的知识，解答本题的关键在于熟读题意发现题目中纸张长度的变化规律，并求出正确的函数关系式．
25．角平分线的定义 ； 两直线平行，内错角相等 ； 等量代换 ； 两直线平行，同位角相等 ； 两直线平行，内错角相等 ； 等量代换 ； 角平分线的定义．
【分析】
根据角平分线的定义得到12∠=∠，根据平行线的性质得到13∠=∠，等量代换得到23∠∠=，根据平行线的性质得到25∠=∠，等量代换即可得到结论．
【详解】
证明：AE ∵平分(BAC ∠已知)
12(∴∠=∠角平分线的定义)
//(AC DE 已知)
13(∴∠=∠两直线平行，内错角相等)
故23(∠=∠等量代换)
//(DF AE 已知)
25∴∠=∠，(两直线平行，同位角相等)
34(∠=∠两直线平行，内错角相等)
45(∴∠=∠等量代换)
DF ∴平分(BDE ∠角平分线的定义)．
故答案为：角平分线的定义，两直线平行，内错角相等，等量代换，两直线平行，同位角相等，等量代换，角平分线的定义．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 26．（1）-a b ；（2）()2a b -；()2
4a b ab +-；（3）22()()4a b a b ab -=+-；
（4）69
【分析】
（1）根据图形可知，阴影正方形的边长为小长方形的长与宽的差，写出即可；
（2）①从整体考虑，用大正方形的面积减去四个小矩形的面积就是阴影部分的面积；②从局部考虑，根据正方形的面积公式，小正方形的边长的平方就是阴影部分的面积；（3）把已知条件代入进行计算即可求解．
(4) 利用第 (3) 问得出的式子进行计算即可．
【详解】
解：（1）阴影部分的正方形的边长是：a﹣b；
（2）方法1：大正方形的面积减去四个小矩形的面积：（a+b）2﹣4ab，
方法2：阴影小正方形的面积：（a﹣b）2；
（3）（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2；
（4）根据（3）的关系式，（m+n）2=（m﹣n）2+4mn，
∵m﹣n=﹣7，mn=5，
∴（m+n）2=（﹣7）2+4×5=49+20=69．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，以及两个公式之间的关系，从整体与局部两种情况分析并写出面积的表达式是解题的关键．。