离散数学简明教程付延友
离散数学(第四版)讲义1
引言Discrete Math.离散数学研究离散对象及其相互间关系的一门数学学科。
研究离散结构的数学分支。
(辞海)计算机科学、信息科学、数字化科学的数学基础离散数学的内容:数理逻辑(Mathematics Logic)集合论(Sets)代数结构(Algebra Structure)图论(Graph Theory)组合论(Combination)线性代数(Linear Algebra)概率论(Probability Theory)……与高等数学的区别教学内容:数理逻辑(Mathematics Logic)集合论(Sets)代数结构(Algebra Structure)图论(Graph Theory)离散数学的由来与发展:一、古老历史:计数:自然数发展:图论:Konigsberg七桥问题二、年青新生:计算机:二进制运算离散数学课程设置:计算机系核心课程信息类专业必修课程其它类专业的重要选修课程离散数学的后继课程:数据结构、编译技术、算法分析与设计、人工智能、数据库、……离散数学课程的学习方法:强调:逻辑性、抽象性;注重:概念、方法与应用参考教材:1、离散数学(耿素云,屈婉玲,北大版)2、离散数学(方世昌,西安电子科大版)3、离散数学结构(第三版、影印版)(Bernard Kolman、Robert C.Busby、Sharon Ross,清华版)4、离散数学提要与范例(阮传概、卢友清,北京广播学院版)第一章命题逻辑(Proposition Logic)1、命题符号化及联结词2、命题公式及分类3、等值演算4、联结词全功能集5、对偶与范式6、推理理论逻辑学:研究推理的一门学科数理逻辑:用数学方法研究推理的一门数学学科——一套符号体系+ 一组规则数理逻辑的内容:古典数理逻辑:命题逻辑、谓词逻辑现代数理逻辑:逻辑演算、公理化集合论、递归论、模型论、证明论1、命题符号化及联结词命题(Proposition):一个有确定真或假意义的语句。
北京邮电大学计算机学院 离散数学 9.1~9.3-relations
A B = {(a, b) | a A and b B}
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A1 A2 Am
The Cartesian product A1 A2 Am of the nonempty sets A1, A2, , Am is the set of all ordered m-tuples (m元组) (al, a2, ... , am), where ai Ai, i = 1, 2, . . . , m Thus
9.1 Relations and Their Properties 关系及关系性质 9.2 n-ary Relations and Their Applications n元关系及应用 9.3 Representing Relations 关系的表示 9.4 Closures of Relations 关系闭包 9.5 Equivalence Relations 等价关系 9.6 Partial Orderings 偏序关系
R(A1) = {y B | x R y for some x in A1}
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Theorem
Let R be a relation from A to B, and let A1 and A2 be subsets of A. Then
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离散数学第10章
定理1的证明(续)
7
因为对于任意的v∊V,原图是连通的,所以在原图中存 在 v到u’的通路,也存在v到v’的通路,且都是初等通路。 若这两条通路都经过边e,则原图中一定有圈,故 V=V1∪V2 。如果存在v ∊ V1∩V2,则原图中存在 v到u’、 v到v’的两条不经过边e的初等通路,加上边e后, 原图中 一定有圈,故V1∩V2 =Ø。 以上证明说明新图分为两个连通的子图,设为T1和T2 ,且 原图无圈,子图也不会有圈,即两棵不相交的树(顶点的交 集为空集)。 设T1=(V1,E1),T2=(V2,E2),由归纳假定有 |V1|-1=|E1|,|V2|-1=|E2|。 又|V|=|V1|+|V2|,|E|=|E1|+|E2|+1。所以有定理得证。
定理2的证明
12
③① 已知T中无圈且|V|-1=|E|。若T不连通,设 T有 k个连通分枝:T1,T2,…,Tk,Ti=(Vi, Ei )(1≤i≤k)。对于每一个i (1≤i≤k), Ti是连通的 且无圈,故Ti是树。由定理1知,|Vi|-1=|Ei|, 1≤i≤k。又
∑|Vi|=|V|, ∑|Ei|=|E|
v0 v0
v2
v5
v8
23
v4
v7
v9
v1 v2
v3 v5 v4
v6
v8 v7
v9
4
v6
v8 v7
v9
v1
v3
v6
例(续)
在图10.2中, TG=(V,D), 其中D由红线组成。 取枝e={v7,v8} V1={v0,v1,v2,v3,v4,v6,v7,v9} V2={v5,v7,v8} D’={{u,v}∊E│u∊V1, v∊V2} 由右下图中4根绿线组成。
离散数学简明教程
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第一章:数论基础
数论是离散数学中的基础部分,主要研究的是整数及其性质。
这一部分内容将介绍整除、质数、合数、素数定理等基本概念,以及一些重要的数论问题,如中国剩余定理、费马大定理等。
第二章:集合论
集合论是离散数学的基础理论之一,主要研究的是集合及其性质。
这一部分内容将介绍集合的基本概念、集合的运算、幂集、二元关系等基本概念,以及一些重要的集合论定理,如鸽笼原理、康托尔定理等。
第三章:图论
图论是离散数学中最为重要的分支之一,主要研究的是图形的性质和结构。
这一部分内容将介绍图的基本概念、图的矩阵表示、欧拉路径和欧拉回路、哈密尔顿路径和哈密尔顿回路等基本概念,以及一些重要的图论定理,如克鲁斯卡尔定理、普利姆定理等。
第四章:逻辑学
逻辑学是离散数学的另一个基础理论,主要研究的是推理和证明。
这一部分内容将介绍命题逻辑、谓词逻辑、一阶逻辑等基本概念,以及一些重要的逻辑学定理,如哥德尔完备性定理、塔斯基不可定义定理等。
第五章:算法分析
算法分析是离散数学的一个重要应用领域,主要研究的是算法的时间和空间复杂度。
这一部分内容将介绍算法分析的基本概念、大O 符号、递归算法等基本概念,以及一些重要的算法分析定理,如阿克曼函数不可计算性定理等。
《离散数学》课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲课程类别:专业基础课适用专业:计算机应用技术适用层次:高起专适用教育形式:成人教育考核形式:考试所属学院:计算机科学与技术学院先修课程:无一、课程简介《离散数学》是计算机应用技术专业的一门基础必修课程,主要研究离散量的结构及其相互关系,是现代数学的一个重要分支。
它在各学科领域,特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用,同时也是计算机专业的许多专业课程必不可少的先行课程。
二、课程学习目标通过本课程的学习,学生具备以下能力(应达到):1. 理解命题和命题联接词、谓词和量词、命题公式和谓词公式、自由变元和约束变元等概念,记住常见等值式和推理定律,会求命题公式的主范式,能进行命题逻辑和谓词逻辑的符号化、推理和证明。
2. 理解集合、关系、偏序关系、等价关系和划分等概念,能选择合适方法描述集合和关系,能计算集合的幂集和笛卡尔积、二元关系的合成、闭包、偏序关系的特殊元素,会判定二元关系的性质,能绘制哈斯图。
3. 理解图论的基本概念,会判定特殊图的类型;能根据图的矩阵计算得出相应结论,会判别欧拉图、哈密顿图等特殊图的类型。
三、与其他课程的关系本课程是计算机专业许多专业课程,如数据结构、算法分析、数据库原理、编译原理等的先行课程。
四、课程主要内容和基本要求离散数学是研究离散量的结构和相互关系的一门理论学科,主要包括数理逻辑、集合论、代数系统和图论四大部分内容。
集合论是离散数学的基础,主要研究数学中学科分支的关注对象与研究内容的一般性规律,涉及集合的基本概念与运算、关系及性质、函数等内容。
数理逻辑以形式逻辑为研究目标,以形式化推理为其研究内容,包括命题逻辑和谓词逻辑两部分内容。
代数系统以抽象运算为研究目标,以满足某些运算规则组成的系统为研究内容,涉及群、环、域等不同的代数系统,系统之间的同态与同构,格与布尔代数等内容。
图论以离散对象上的二元关系为其研究目标,以抽象世界中事物的结构为其研究内容,涉及图的基本概念及应用等内容。
离散数学(微课版) 第4章
离散数学(微课版)第4章1. 引言在离散数学的第4章中,我们将讨论图论的基本概念和应用。
图论是研究图及其在现实生活中的应用的数学分支,它在计算机科学、网络设计、运筹学等领域中具有重要的应用价值。
本章将介绍图的定义、图的表示方法、图的遍历算法等内容。
2. 图的定义图由一组节点和一组节点之间的边构成。
节点通常表示现实世界中的对象,而边则表示对象之间的关系。
图可以用于描述各种问题,如社交网络中的用户关系、城市之间的交通网络等。
2.1 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。
在有向图中,边具有方向,表示节点之间的单向关系。
而在无向图中,边没有方向,表示节点之间的双向关系。
2.2 顶点和边图由顶点和边组成。
顶点是图的节点,用来表示对象。
边连接两个顶点,表示两个对象之间的关系。
2.3 路径和环路径是指在图中从一个顶点到另一个顶点的连接序列。
环是一条路径,其起点和终点相同。
3. 图的表示方法在计算机中,图可以用不同的数据结构来表示。
常见的表示方法包括:3.1 邻接矩阵邻接矩阵是用二维数组表示图的连接关系。
对于无向图,邻接矩阵是对称的,而对于有向图,则不对称。
A B CA010B101C010上述邻接矩阵表示了一个无向图,其中顶点A与顶点B相连,顶点B与顶点C相连。
3.2 邻接表邻接表是用链表表示图的连接关系。
对于每个顶点,邻接表保存了与其相连的其他顶点的信息。
A ->B -> NULLB -> A ->C -> NULLC -> B -> NULL上述邻接表表示了一个无向图,顶点A与顶点B相连,顶点B与顶点A、C相连,顶点C与顶点B相连。
4. 图的遍历算法图的遍历算法是指按照一定的方式访问图中的所有节点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
4.1 深度优先搜索深度优先搜索从起点开始,尽可能深地访问尚未访问的节点,直到无法继续深入为止,然后回溯到上一个节点,继续深入其他未访问的节点。
北京邮电大学计算机学院 离散数学 10.1~10.2 graphs
Leonard Euler 1736 (father of graph theory)
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Kö nigsberg Bridge problem
Picture only what is essential to the problem.
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p643
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Directed Multigraphs
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P642
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Pseudographs
A particular class of discrete structures (to be defined) that is useful for representing relations and has a convenient webby-looking graphical representation.
Correspond to symmetric, irreflexive binary relations R. A simple graph G=(V,E) Visual Representation of a Simple Graph consists of:
北京邮电大学计算机学院 离散数学 数学结构 群论 chap9-3
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Example 5
Let B = {0, l }, and let + be the operation defined on B as follows:
Then B is a group.
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a*a' = a*4/a = a(4/a)/2 = 2 = (4/a)(a)/2 = (4/a)*a = a' *a. a*b = ab/2 = ba/2 = b*a
Abelian
So, G is an Abelian group.
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Theorem 1
Let G be a group. Each element a in G has only one inverse in G. Proof
Let
a' and a" be inverses of a. a' = a'e = a'(aa") = (a'a)a" = ea" = a".
Then
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Theorem 2
Let
G be a group and a, b, and c be elements of G. left cancellation – 左消去律
离散数学-第11章
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图论简介
• 1856年,哈密顿在给格雷夫斯的信中提出一个游戏:用正十二面体 上20个顶点表示20个城市,要求游戏者沿着各边行走,走遍每个城 市一次且仅一次,最后回到原出发城市。这个游戏促使人们研究如 何判断一个图有无这一性质,如果有,则又如何确定这样的路径, 即称之为哈密顿图。这是一个至今尚未完全解决的问题。 • 1962年,中国数学家管梅谷提出一个所谓“中国邮路问题”:邮递员 带着邮件从邮局出发,走遍他所管辖的每一条街道,最后回到邮局, 如何选择路线,使走的路程最短。1967年,埃德蒙兹给出中国邮路 问题一个好的解法。 • 图论虽有200年的历史,但受计算机科学发展的刺激,发展极其迅速。 上世纪60年代以来图论在各种学科领域中得到了广泛应用。图论在 理论上也得到了新的发展,如图特等发展了拟阵理论,贝尔热等发 展了超图理论,埃尔德什等发展了极图理论等。 • 本书介绍图的基本概念、路与回路、图的矩阵表示、欧拉图与汉密 尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用、二 部图、匹配等。各章节主要知识点关联如图4.0.0所示。
9
11.1 图的概念
解 图11.1.1中(a),(b)分别给出了无向图G和有向图D的图形表示。
e1 v1 e3 v5 e7 e2 e4 e8 v4
(a)
e1 v2 e5 e6 e4 v3 d a
e2 b e3 e5 e6 e7
(b)
c
图11.1.1 例11.1.1无向图G和有向图D
10
11.1.2 简单图、多重图和同构图
回路
关联 矩阵
邻接 矩阵
ห้องสมุดไป่ตู้
可 达 矩 阵
平面图的着色
哈密顿图 欧拉图 生成树
树
森林
离散数学第五版第九章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
G2是G1旳同态像,记作G1 ~G2 。 (2)若:G1G2是单射旳,则称为单同态。
(3)若:G1G2是双射旳,则称为同构,记作 G1 G。2 (4)若G1=G2,则称是群G旳自同态。
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9.2 代数系统
例16: 设V=<R+,•>,其中•为一般成法。对任意xR+令 1(x)=|x|, 2(x)=2x, 3(x)=x2, 4(x)=1/x, 5(x)=-x,则分析他们是否为V到V旳同态,假如 是,则分别为何同态。
设和*是S上旳两个可互换旳二元运算,假如对于任意旳
x,yS有
x*(xy)=x
x(x*y)=x
则称运算*和满足吸收律。 例如:幂集P(S)上旳和运算满足吸收律。即A,BP(S)
有
A(A B)=A
A(A B)=A
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9.1二元运算及其性质
四、单位元和幺元
1. 幺元旳定义(定义9.6)
设为S上旳二元运算,假如存在 el (或 er)S使得对于任何
(2)当n=2时,则函数f:S×SS为S上旳二元运算。
(x,y)=z
(3)当n=3时,则函数f:S×S×SS为S上旳三元运算。
(x,y,z)=t
6
9.1二元运算及其性质
例4:在整数集合Z、有理数集合Q、实数集合R上,一 个数旳相反数、倒数是否为这些集合上旳一元运 算?
例5:在幂集P(S)上,假如要求全集为S,则求集合旳 绝对补运算~是否为P(S)上旳一元运算?
xS都有
el x = x(或 x er =x) 则称 el (或er )是S中有关运算旳一种左幺元(或右幺
元)。若eS有关运算既是左幺元又是右幺元,则称e 为S上有关运算旳幺元。
离散数学第一部分
(3)因为天下雨,所以我们在室内活动。
解:设P:天下雨;Q:我们在室内活动;
原命题符号化为: PQ 。 在实际的语言中,很多联结词可以转 化为用单条件,但是要注意前件和后件的 关系。
(4)只有天下雨,我们才在室内活动。 解:设P:天下雨;Q:我们在室内活动; 原命题符号化为:QP 。 (5) 仅当天下雨,我们在室内活动。 解:设P:天下雨;Q:我们在室内活动; 原命题符号化为:QP 。 (6) 除非天下雨,否则我们不在室内活动。 解:设P:天下雨;Q:我们在室内活动; 原命题符号化为:QP ,或者 P Q 。
是描述模糊数据。本书将析取表示“可兼或”。
“排斥或”用等价的联结词代替。
例如:
(1)今天晚上我在家看电视或听音乐。
解:设P:今天晚上我在家看电视;
Q:今天晚上我在家听音乐;
则原命题符号化为: P ∨ Q 。(可兼或)
(2)从重庆到北京的T10次列车是中午1点或1点半开。
解:设P:重庆到北京的T10次列车是中午1点开;
句构成。
复合命题:由简单命题通过联结词联结而成的陈述句。
如:
命题“如果2是素数,则3也是素数”通过“如果……,
则……” 组合而成,是复合命题,而“2是素数”和
“3是素数”是简单命题。
2. 命题联结词
在日常语言中,一些简单的陈述句,可以通过某些
联结词联结起来,组成较为复杂的语句。
例如可以说:“如果下星期日是晴天,那么我
0
0 0 1 1
0
1 1 0 0
1
0 1 0 1
0
0 0 0 0
1
0 1 1 1
1
1 1 1 1
1
1 1 1 1
离散数学 辅导
离散数学辅导
离散数学是数学的一个重要分支,它研究的是离散对象(如集合、图、树、逻辑等)的数学结构和性质。
离散数学在计算机科学、电子工程、管理科学等领域有广泛应用。
离散数学的辅导书有很多,以下是一些常见的辅导书:
1. 《离散数学基础》(第二版)张玉清,陈向炜著,科学出版社;
2. 《离散数学》(第五版)耿素云,屈婉玲著,高等教育出版社;
3. 《离散数学导论》(第五版)徐洁著,高等教育出版社;
4. 《离散数学》(第二版)左孝凌,李为鉴,刘永才著,上海科学技术文
献出版社。
这些辅导书都是比较系统地介绍离散数学的各个方面,包括集合论、图论、逻辑、组合数学等。
如果你想进行离散数学的辅导,可以先阅读其中的一本,了解离散数学的基本概念和性质,然后再根据自己的实际情况选择适合自己的辅导书进行深入学习。
同时,也可以参考一些相关的教材和参考资料,如《离散概率论》、《离散概率论习题集》等。
离散数学导论
离散数学导论离散数学是数学的一个分支,侧重于非连续或离散的数值和结构。
它与连续数学形成对比,连续数学主要关注于连续的数值和结构。
离散数学在计算机科学、信息技术、通信工程和其他领域中有着广泛的应用。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和主要应用领域。
一、排列与组合排列和组合是离散数学中的基本概念,它们用于确定事物的排列方式和组合方式。
排列是指从一组事物中选取一部分进行排列,而组合是指从一组事物中选取一部分进行组合。
排列和组合在算法设计、密码学和概率论等领域中有着重要的应用。
二、图论图论是研究图和网络结构的数学分支。
图由节点(顶点)和连接节点的边组成。
图论可以用于描述和解决各种实际问题,如交通网络、社交网络和通信网络等。
图论的一些重要概念包括图的遍历、最短路径和最小生成树等。
三、布尔代数布尔代数是一种逻辑系统,用于描述逻辑关系和逻辑运算。
它主要关注真值逻辑,即真和假的组合和运算。
布尔代数在计算机科学、电路设计和逻辑推理等方面有广泛的应用。
布尔代数的基本运算包括与、或、非和异或等。
四、数论数论是研究整数性质的数学分支。
它涉及素数、最大公约数、同余关系和数论函数等内容。
数论在密码学、编码理论和算法设计等领域中有着重要的应用。
例如,RSA加密算法就是基于数论的。
五、概率论概率论是研究随机事件及其概率分布的数学分支。
它主要关注事件发生的可能性,以及如何计算和描述这种可能性。
概率论在统计学、决策分析和风险评估等领域中有广泛的应用。
一些重要的概念包括条件概率、期望值和方差等。
六、离散数学在计算机科学中的应用离散数学在计算机科学中有着广泛且重要的应用。
例如,图论可以用于设计和分析网络算法;概率论可以用于设计和分析随机算法;布尔代数可以用于逻辑电路设计和布尔函数优化等。
离散数学的基本概念和方法为计算机科学的发展提供了理论基础。
总结离散数学是一门基础而重要的学科,它在计算机科学、信息技术和其他领域中有着广泛的应用。
本文介绍了离散数学的一些基本概念和主要应用领域,包括排列与组合、图论、布尔代数、数论和概率论等。
10小时离散数学突击课 -回复 -回复
10小时离散数学突击课-回复-回复离散数学是一门涵盖了许多数学概念和原理的学科,它研究的对象是离散的数值和结构。
这门学科被广泛应用于计算机科学、信息科学、运筹学等众多领域,因此对于学习计算机科学的人来说,掌握离散数学是非常重要的。
在本文中,我将为大家介绍一种高效的学习离散数学的方法,即为大家提供一份10小时离散数学突击课,希望能够帮助大家快速掌握离散数学的基本概念和原理。
第一步:了解基本概念在开始学习离散数学之前,我们首先需要了解离散数学的基本概念。
离散数学主要包括集合论、数理逻辑、图论、代数结构等内容。
我们可以通过阅读相关教材或者在网上查找相关的资料,对这些概念有一个基本的了解。
第二步:系统学习针对离散数学的各个概念和原理,我们可以选择一些权威的教材进行系统学习。
可以选择的教材包括《离散数学及其应用》、《离散数学及其应用导论》等。
通过系统学习,我们可以获得一个完整的离散数学知识框架。
第三步:划分学习时间将10小时的学习时间划分为10个1小时的单元,每个单元专注于一个主题。
例如,第一小时学习集合论,第二小时学习数理逻辑,以此类推。
每个单元学习结束后,可以进行一定的练习和巩固,以加深对知识的理解和掌握。
第四步:辅助工具与实践在学习过程中,我们可以使用一些辅助工具来帮助我们更好地理解和应用学到的离散数学知识。
例如,我们可以使用MATLAB或Python等软件来进行图论的实践操作,通过实践来加深理解和应用。
第五步:与他人讨论与交流为了更好地理解和掌握离散数学,我们可以积极参与讨论和交流,与他人分享学习心得和问题。
可以通过参加线下或线上的学习小组、论坛或社交媒体群组等途径与他人讨论和交流,从中获得不同的视角和思维方式。
第六步:总结与复习学完这个10小时离散数学突击课后,我们需要进行一个总结和复习。
可以将所学的内容进行总结归纳,制作一些复习笔记或者复习卡片。
并且在之后的学习过程中,可以不断地回顾和复习这些内容,以巩固所学知识。
离散数学简明教程付延友
《离散数学》课程教学大纲一、课程简介课程名称:离散数学英文名称:Discrete Mathematics课程代码:0310513 课程类别:专业基础课学分:3 总学时:48课程概要:《离散数学》是现代数学的一个重要分支,是计算机类各专业的一门重要基础课,是计算机科学理论的基础。
它是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标,其研究对象一般是有限个或可列个元素,因此它充分描述了计算机科学的离散性特点。
其主要内容包括数理逻辑、集合论、关系与函数、图论等内容。
该课程与计算机类专业中的数据结构、操作系统、编译原理、数据库原理与应用、人工智能等后继专业课程紧密相关,因此是一门重要的学科基础必修课程。
该课程以高等数学、线性代数为先修课程,但关系不很紧密。
二、教学目的及要求通过该课程的学习,使学生掌握命题逻辑与谓词逻辑、集合与关系、图与树的基本概念和基本理论与方法,为学生学习计算机领域的后续课程奠定理论基础,并培养学生抽象思维、缜密概括和严密的逻辑推理能力,为学生今后处理离散信息打好数学基础。
三、教学内容及学时分配第一章命题逻辑(12学时)1.命题及其表示;2.逻辑联结词;3.命题公式与翻译;4.真值表与等价公式;5.命题公式的分类与蕴含式;6.命题公式的范式;7.命题逻辑的推理理论。
教学要求:熟悉命题、命题的真值、简单命题、复合命题、命题公式、真值表、等价公式、重言式、矛盾式、蕴涵式、(主)析取范式、(主)合取范式等概念;熟悉五个基本联结词(⌝、∧、∨、→、↔)的定义;掌握命题公式的翻译、命题公式的类型的判别、命题定律、证明两个命题公式等价的真值表法和等值演算法及命题公式的(主)析取范式、(主)合取范式的求法;掌握推理证明的直接证法和间接证法。
重点:五个逻辑联结词;翻译、命题公式的等值演算、主析取范式、主合取范式;推理证明的直接证法和间接证法。
难点:命题公式的主析取范式、主合取范式的求法;推理证明的间接证法。
离散数学傅彦答案
离散数学傅彦答案【篇一:离散数学及其应用】txt>摘要:离散数学,又称为组合数学。
离散数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。
计算机科学就是算法的科学,而计算机所处理的对象是离散的数据,所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心,而研究离散对象的科学恰恰就是离散数学。
离散数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。
它在各学科领域,特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用,同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程,如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习,不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法,为后续课程的学习创造条件,而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力,为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
关键词:离散数学电路设计软件技术人工智能应用等1、离散数学的相关介绍1.1离散数学的简介离散数学是现代数学的一个重要分支,是计算机类专业的重要课程。
它以研究离散量的结构及其相互间的关系为主要目标,其研究对象一般是有限个或可数个元素,因此离散数学可以充分描述计算机学科离散性的特点。
由于离散数学在计算机科学中的重要作用,国内外几乎所有大学的计算机类专业的教学计划中都将其列为核心课程进行重点建设,它是其他骨干课程,如数据结构、操作系统、人工智能、计算机网络、软件工程、编译原理等的先修课程,国内许多大学将其作为计算机专业类研究生入学考试的内容。
1.2离散数学的发展20世纪的计算机出现,带动了世界性的信息革命的伟大进程。
计算机科学在信息革命中的学科地位有如牛顿力学在工业革命中的学科地位一样,由计算机出现带动的信息革命当然计算机科学将起着主导的作用。
随着信息时代的到来,工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化,离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法,广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域,从科学计算到信息处理,从理论计算机科学到计算机应用技术,从计算机软件到计算机硬件,从人工智能到认知系统,无不与离散数学密切相关。
离散数学学习指导书
第1章 集 合1.1 集合1.1.1基本知识点:集合、元素、基数、包含、子集、集合相等、空集、全集、幂集等。
基本理论:两个集合相等的充分必要条件是它们的元素相同;如果有限集合A有n 个元素,则幂集合2A 有2n 个元素。
基本计算:判断一个元素是否属于某个集合;判断两个集合是否具有包含关系;求一个集合的幂集;1.1.2重点与难点(1) 集合与元素:集合是一个不能精确定义的基本概念,通常把具有某种共同性质的事物归纳成一个整体,就形成一个集合,一般用大写字母,,A B C 等表示集合的名称。
把组成集合的事物称为元素,一般用小写字母,,a b c 等表示。
(2)集合的表示方法:集合通常有两种表示方法,即列举法、描述法。
(3)包含与子集:对任意两个集合A 和B ,若对任意的a A ∈,必有a B ∈,则称A被B 包含,或者B 包含A ,记作A B ⊆。
若A B ⊆则称A 是B 的子集。
(4)空集、全集和幂集:不包含任何元素的集合称为空集,记作φ。
在一定范围内所有集合均为某一集合的子集,则称该集合为全集,记为U 。
由集合A 的所有子集所构成的集合称为集合A 的幂集,记为2A 。
典型题解例1:下面是用列举法表示的集合:}{moon earth sun A ,,= }{z c b a B ,,,, = }4321{ ,,,,=C有时列出集合中所有元素是不现实或不可能的,如上面的B 和C ,但只要在省略号前或后列出一定数量的元素,能使人们一看就能了解那些元素属于这个集合就可以。
例2:下面是用描述法表示的集合:{|11000}A x x N x x =∈≥≤且 }01|{2=-∧∈=x R x x B例3:集合{,,,,}a a b b c 与集合{,,}a b c 没有区别,集合{,,}a b c 与集合{,,}c b a 没有区别,即{,,,,}{,,}a a b b c a b c =,{,,}{,,}a b c c b a =。
傅彦离散数学课件
傅彦离散数学
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一、离散概率论
离散概率论是研究离散随机现象的数学分支,其主要研究对象是离散随机事件、离散随机变量和离散随机过程。
在本部分中,我们将学习离散概率论的基本概念、离散概率空间、离散随机变量和离散概率分布等。
二、集合论初步
集合论是研究集合、集合之间的关系和集合的性质的数学分支。
在本部分中,我们将学习集合的基本概念、集合的运算、集合的表示方法以及集合的性质等。
三、图论基础
图论是研究图(由顶点和边构成的图形)的数学分支。
在本部分中,我们将学习图的基本概念、图的表示方法、图的性质以及一些基本的图算法等。
四、逻辑初步
逻辑是研究推理规则的数学分支。
在本部分中,我们将学习命题逻辑和谓词逻辑的基本概念、基本规则以及一些基本的推理方法等。
五、组合数学
组合数学是研究组合优化和组合计数问题的数学分支。
在本部分中,我们将学习组合数学的基本概念、基本定理和组合计数方法等。
六、离散概率论续
在上一部分的基础上,进一步学习离散概率论的高级概念和技巧,包括条件概率、独立性、贝叶斯定理等。
七、集合论深入
深入学习集合论的高级概念和技巧,包括集合的基数、可数性、不可数性等。
八、图论深入
深入学习图论的高级概念和技巧,包括图的连通性、最短路径问题、网络流等。
九、逻辑深入
深入学习逻辑的高级概念和技巧,包括一阶逻辑、推理系统等。
十、组合数学续
在上一部分的基础上,进一步学习组合数学的高级概念和技巧,包括排列组合的推广、组合恒等式等。
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《离散数学》课程教学大纲
一、课程简介
课程名称:离散数学
英文名称:Discrete Mathematics
课程代码:0310513 课程类别:专业基础课
学分:3 总学时:48
课程概要:
《离散数学》是现代数学的一个重要分支,是计算机类各专业的一门重要基础课,是计算机科学理论的基础。
它是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标,其研究对象一般是有限个或可列个元素,因此它充分描述了计算机科学的离散性特点。
其主要内容包括数理逻辑、集合论、关系与函数、图论等内容。
该课程与计算机类专业中的数据结构、操作系统、编译原理、数据库原理与应用、人工智能等后继专业课程紧密相关,因此是一门重要的学科基础必修课程。
该课程以高等数学、线性代数为先修课程,但关系不很紧密。
二、教学目的及要求
通过该课程的学习,使学生掌握命题逻辑与谓词逻辑、集合与关系、图与树的基本概念和基本理论与方法,为学生学习计算机领域的后续课程奠定理论基础,并培养学生抽象思维、缜密概括和严密的逻辑推理能力,为学生今后处理离散信息打好数学基础。
三、教学内容及学时分配
第一章命题逻辑(12学时)
1.命题及其表示;
2.逻辑联结词;
3.命题公式与翻译;
4.真值表与等价公式;
5.命题公式的分类与蕴含式;
6.命题公式的范式;
7.命题逻辑的推理理论。
教学要求:熟悉命题、命题的真值、简单命题、复合命题、命题公式、真值表、等价公式、重言式、矛盾式、蕴涵式、(主)析取范式、(主)合取范式等概念;熟悉五个基本
联结词(⌝、∧、∨、→、↔)的定义;掌握命题公式的翻译、命题公式的类型的判别、命题定律、证明两个命题公式等价的真值表法和等值演算法及命题公式的(主)析取范式、(主)合取范式的求法;掌握推理证明的直接证法和间接证法。
重点:五个逻辑联结词;翻译、命题公式的等值演算、主析取范式、主合取范式;推理证明的直接证法和间接证法。
难点:命题公式的主析取范式、主合取范式的求法;推理证明的间接证法。
第二章谓词逻辑(10学时)
1.谓词与量词;
2.谓词公式与翻译;
3.变元的约束;
4.谓词演算的等价式与蕴含式;
5.谓词演算的推理理论。
教学要求:熟悉谓词、命题函数、复合命题函数、全称量词、存在量词、谓词公式、辖域、约束变元、自由变元、谓词演算的等价式与蕴涵式、前束范式等概念;掌握谓词演算翻译、谓词演算的等价式、谓词演算的推理规则及谓词演算的推理证明的方法。
重点:谓词演算翻译、两个谓词公式等价的证明;谓词演算的推理证明。
难点:谓词演算翻译、谓词演算的推理证明。
第三章集合的基本概念与运算(2学时)
1.集合的基本概念;
2.集合的运算。
教学要求:熟悉集合的概念和表示法;掌握幂集的概念;掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算律和幂集的求法。
重点:集合的运算及其运算律;幂集的求法。
难点:元素为集合组成的集合的运算与求幂集。
第四章二元关系和函数(12学时)
1.关系及其表示;
2.关系的性质及其判定方法;
3.复合关系和逆关系;
4.关系的闭包;
5.等价关系;
6.偏序关系;
7.函数及特殊映射;
8.复核映射和逆映射。
教学要求:熟悉序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、商集、偏序关系、极大元、极小元、上(下)界、上(下)确界、最大(小)元、全序关系、良序关系等概念;掌握关系的三种表示序偶集合、关系图和关系矩阵;掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质;理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性,掌握其判别方法;了解集合的覆盖与划分的联系与区别;掌握等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系;掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法;掌握偏序集中给定集合的极大元、极小元、上(下)界、上(下)确界、最大(小)元;掌握函数(映射)、函数的前域、值域、相等、入射、满射、双射、恒等映射、反函数、复合函数的概念;掌握函数与一般关系的区别;掌握函数复合运算的性质、反函数存在的条件;掌握函数是入射、满射、双射的证明。
重点:关系的三种表示;关系的性质及其判别;关系的复合、求逆运算及其性质;等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系;偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特殊位置元素的求法。
复合运算的性质;函数与一般关系、反函数与逆关系的区别;函数是入射、满射、双射的证明。
难点:关系的传递性及其判别;偏序关系的哈斯图的画法;偏序集中特殊位置元素的求法。
函数是入射、满射、双射的证明。
第五章图的基本概念(5学时)
1.图的基本概念;
2.路与图的连通性;
3.图的矩阵表示。
教学要求:掌握图、点邻接、边邻接、子图、结点的度数、出度、入度、有向图、无向图、简单图、完全图、补图、生成子图、图的同构、及其性质;掌握握手定理、路、回路、连通图、强连通、单向连通、弱连通、割点、割边的概念;掌握图的矩阵表示,利用图的邻接矩阵会求(1)任一结点的入度、出度和度数;(2)一个结点到另一个结点长度为k的路径的条数;(3)该图的可达性矩阵。
重点:图、点邻接、边邻接、结点的度数的概念;握手定理(结点的度数及其相关性质);路、回路、连通图、强连通、单向连通、弱连通、割点、割边的概念;图的邻接矩
阵。
难点:握手定理的应用;弱连通、强连通的判别。
第六章一些特殊的图(讲课3学时)
1.欧拉图与汉密尔顿图;
2.平面图。
教学要求:掌握欧拉图、汉密尔顿图和平面图的定义、判别及其应用。
重点:欧拉图、汉密尔顿图和平面图的定义、判别及其应用。
难点:欧拉图、汉密尔顿图和平面图的判别及其应用。
第七章树(讲课4学时)
1.树与生成树;
2.根树及其应用;
3.最短路问题。
教学要求:掌握树、生成树、最小生成树、根树、树根、树叶、分枝点、有序树、完全m叉树、最优树等概念及其有关性质;掌握有关树的几个等价命题;熟练应用最小生成树的Kruskal算法及最优二叉树的Huffman构造方法。
重点:树、生成树、最小生成树、根树、树根、树叶、分枝点、完全m叉树、最优树等概念及其有关性质;有关树的几个等价命题;最小生成树的Kruskal算法及最优二叉树的Huffman构造方法。
难点:树的几个等价命题。
四、课程教学的基本要求
1.课堂讲授(48学时)
采用启发式教学,引导、吸引和鼓励学生通过教学过程获取知识,从中培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力;强化基本概念的理解与基本思想方法的掌握,加强例题的讲解和课上练习,精心留课后作业,注重课上和作业反馈的作用和质量。
2.教学手段
主要教学手段是采用投影仪和电脑使用多媒体课件组织教学,辅助教学手段是黑板板
3.习题课、课外作业、答疑
重点安排在命题公式和谓词公式的翻译、范式的求法及推理证明;关系的表示与判定;偏序集中的特殊元;利用图的邻接矩阵求一个结点到另一个结点长度为k的路径的条
数;最小生成树的Kruskal算法及最优二叉树的Huffman构造方法。
五、考核方式
课程综合评定成绩中,期末考试成绩占70%,平时成绩占30%;结课考试采用闭卷笔试,题型分为选择题、填空题、简答题和证明题。
平时成绩分配是考勤及听课状况占10%;作业及测验占20%。