河南郑州市2020届高三第三次统一考试数学(理科)试题 (解析版)

2020年高考数学三诊试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．若复数z满足（z﹣1）i＝3+i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i
3．已知角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π
6，cos7π
6
)，则α＝（）
A．5π
6B．7π
6
C．4π
3
D．5π
3
4．各项均不相等的等差数列{a n}的前5项的和S5＝﹣5，且a3，a4，a6成等比数列，则a7＝（）
A．﹣14 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣1
5．设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log1
2x﹣x+1，h(x)=(1
2
)x−x+1的
零点，则a、b、c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
6．已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M和N所在的直线为l，则下列命题正确的是（）
A．在α内存在直线与直线l相交
B．在α内存在直线与直线l异面
C．在α内存在直线与直线l平行
D．存在过直线l的平面与α平行
7．（x2﹣x﹣2）3的展开式中，含x4的项的系数是（）
8．如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）
A．63πB．57πC．48πD．39π
9．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（）
A．4
7B．3
7
C．2
7
D．1
7
10．设双曲线C：x 2
a −
y2
b
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，与圆x2+y2＝
a2相切的直线PF1交双曲线C于点P（P在第一象限），且|PF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）
A．10
3B．5
3
C．3
2
D．5
4
11．已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω＞1
4
，x∈R)，若f（x）的任何一条对称轴与x轴
交点的横坐标都不属于区间(π
2
，π)，则ω的取值范围是（）
A．[1
2，5
4
]B．[12，2]C．(14，54]D．(14，2]
12．设函数f（x）＝ln（x+k）+2，函数y＝g（x）的图象与y=e1−x2+1的图象关于直线x＝1对称．若实数x1，x2满足f（x1）＝g（x2），且2x1﹣x2有极小值﹣2，则实数k 的值是（）
二、填空题：
13．已知|a →
|＝1，|b →
|＝2，且a →
•（b →
−a →
）＝﹣2，则向量a →
与b →
的夹角为 ．
14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），则a 4＝ ． 15．焦点为F 的抛物线C ：x 2＝4y 的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则|PA||PF|
的
最大值为 ．
16．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2AD ＝2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，设M 为线段A 1C 的中点．则在△ADE 翻折过程中，给出如下结论：
①当A 1不在平面ABCD 内时，MB ∥平面A 1DE ； ②存在某个位置，使得DE ⊥A 1C ； ③线段BM 的长是定值；
④当三棱锥C ﹣A 1DE 体积最大时，其外接球的表面积为
13π3
．
其中，所有正确结论的序号是 ．（请将所有正确结论的序号都填上）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题： 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝（4c ﹣b ）cos A ． （Ⅰ）求cos A 的值；
（Ⅱ）若b ＝4，点M 在线段BC 上，且AB →+AC →=2AM →，|AM →
|=√6，求△ABC 的面积．
18．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价x i 和月销售量y i （i ＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据： 月销售单价x i （元/件） 9 9.5 10 10.5 11 月销售量y i （万件）
11
10
8
6
5
（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；
（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？
（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？
参考公式：回归直线方程
y ̂
=b ̂
x +a
，其中b ̂
=
∑ n i=1x i y i −nxy ∑ n
i=1
x i
2−nx
2，a ̂=y =b ̂
x ． 参考数据：∑ 5i=1x i y i =392，∑ 5i=1x i 2＝502.5．
19．如图，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均为2，∠B 1BA =π
3． （Ⅰ）证明：B 1C ⊥AC 1；
（Ⅱ）若平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，M 为A 1C 1的中点，求B 1C 与平面AB 1M 所成角的正弦值．
20．已知函数f（x）＝（a+2）x2+ax﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）＝x2−2
x3，若∀x1∈（0，1]，∃x2∈[0，1]，使得f（x1）≥g（x2）
3
成立，求实数a的取值范围．
21．点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x＝4的距离的比是常数1
．
2（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过坐标原点O的直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C上异于A，B的点P满足
．
直线AP的斜率为−3
2
（ⅰ）求直线BP的斜率；
（ⅱ）求△ABP面积的最大值．
（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]
（φ为参数），将曲线C1 22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosφ
y=sinφ
向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线C2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1、C2的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OM：θ＝α（ρ≥0）分别与曲线C1、C2交于点A，B（A，B均异于坐标原点O），若|AB|=√2，求α的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（Ⅰ）当a＝b＝1时，解不等式f（x）＜x+2；
（Ⅱ）若f（x）的值域为[2，+∞），证明：1
a+1+
1
b+1
+
1
ab
≥2．
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 【分析】先解出A＝{x|﹣1＜x＜2}，然后进行交集的运算即可．
解：A＝{x|﹣1＜x＜2}；
∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．
故选：C．
【点评】考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．若复数z满足（z﹣1）i＝3+i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：由（z﹣1）i＝3+i，得z=3+i i+1=(3+i)(−i)
−i2
+1=2−3i，∴z=2+3i．
则z的虚部为3．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．已知角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π
6，cos7π
6
)，则α＝（）
A．5π
6B．7π
6
C．4π
3
D．5π
3
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得α的范围以及正切值，可得α的值．
解：角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π
6，cos7π
6
)，α为第三象限角，
则tanα=cos7π6
sin7π6
=cot
7π
6
=cot
π
6
=√3，∴α＝π+π3=4π3，
故选：C．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．
4．各项均不相等的等差数列{a n}的前5项的和S5＝﹣5，且a3，a4，a6成等比数列，则a7＝（）
A．﹣14 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣1
【分析】设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，运用等差数列的求和公式，以及等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简整理，解方程可得首项和公差，即可得到所求值．
解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，
由S5＝﹣5，可得5a1+1
2
×5×4d＝﹣5，即a1+2d＝﹣1，①
由a3，a4，a6成等比数列，可得a42＝a3a6，即（a1+3d）2＝（a1+2d）（a1+5d），
化为a1d+d2＝0，由d≠0，可得a1＝﹣d，②
由①②解得d＝﹣1，a1＝1，
则a7＝1+（7﹣1）×（﹣1）＝﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
5．设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log1
2x﹣x+1，h(x)=(1
2
)x−x+1的
零点，则a、b、c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【分析】先确定三个函数在定义域上是增函数，再利用零点存在定理，求出三个函数零点的范围，从而比较大小，即可得解．
解：函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log1
2x﹣x+1，h(x)=(1
2
)x−x+1的零点，
就是方程x12=x﹣1，log1
2x＝x﹣1，(1
2
)x=x﹣1方程的的解，
在坐标系中画出函数y=x12，y=log1
2x，y=(1
2
)x，与y＝x﹣1的图象，如图：
可得b＜c＜a，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数零点的大小判断，解题时注意函数的零点的灵活运用，考查数形结合的应用，属于中档题．
6．已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M和N所在的直线为l，则下列命题正确的是（）
A．在α内存在直线与直线l相交
B．在α内存在直线与直线l异面
C．在α内存在直线与直线l平行
D．存在过直线l的平面与α平行
【分析】采用举反例方式，逐一排除，从而可得到正确答案．
解：由题可知，直线l和平面α要么相交，要么平行．
当平面α与直线l平行时，在α内就不存在直线与直线l相交，则A错；
当平面α与直线l相交时，在α内就不存在直线与直线l平行，则C错；
当平面α与直线l相交时，过直线l的平面与平面α都会相交，则D错；
不论直线l和平面α相交还是平行，都会在α内存在直线与直线l异面，则B正确．故选：B．
【点评】本题主要考查了点线面位置关系，考查了学生的直观想象能力，属于基础题．7．（x2﹣x﹣2）3的展开式中，含x4的项的系数是（）
A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3
【分析】根据（x2﹣x﹣2）3＝（x﹣2）3•（x+1）3＝（x3﹣6x2+12x﹣8）（x3+3x2+3x+1），求得含x4的项的系数．
解：∵（x2﹣x﹣2）3＝（x﹣2）3•（x+1）3＝（x3﹣6x2+12x﹣8）（x3+3x2+3x+1），含x4的项的系数为3﹣6×3+12＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
8．如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）
A．63πB．57πC．48πD．39π
【分析】直接利用三视图，判断几何体的构成，进一步利用几何体的表面积公式求出结果．
解：根据几何体的三视图：
该几何体是由底面半径为3，高为4的圆柱，挖去一个底面半径为3，高为4的倒圆锥构成的几何体．
所以：S＝32•π+6π×4+1
2
×6π×5＝48π．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
9．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（）
A．4
7B．3
7
C．2
7
D．1
7
【分析】显然取法总数为C83，要取出的球的编号互不相同可先选编号数C43，再定颜色有C21C21C21，则有C43C21C21C21种取法，相比即可．
解：从8个球中随机取出3个的取法有C83=56种；其中取出的球的编号互不相同的取法有C43C21C21C21=32种，
则取出的球的编号互不相同的概率P=32
56
=47．
故选：A．
【点评】本题考查乘法原理，组合数公式与概率相结合，属于基础题．
10．设双曲线C：x 2
a2−
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，与圆x2+y2＝
a2相切的直线PF1交双曲线C于点P（P在第一象限），且|PF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）
A．10
3B．5
3
C．3
2
D．5
4
【分析】设直线PF1与圆x2+y2＝a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理可得|PF1|＝4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式计算即可得到结果．
解：设直线PF1与圆x2+y2＝a2相切于点M，则|OM|＝a，取PF1的中点N，连接NF2，
由于|PF2|＝|F1F2|＝2c，则NF2⊥PF1，|NP|＝|NF1|，
由|NF2|＝2|OM|＝2a，则|NP|=√4c2−4a2=2b，即有|PF1|＝4b，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，即4b﹣2c＝2a，即2b＝a+c，
即4b2＝（c+a）2＝4（c2﹣a2），
整理得3c＝5a，
则e=c
a
=53．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线性质、等腰三角形的三线合一、中位线定理、勾股定理及双曲线的定义、离心率计算，属于中档题．
11．已知函数f(x)=sinωx +cosωx(ω＞1
4，x ∈R)，若f （x ）的任何一条对称轴与x 轴
交点的横坐标都不属于区间(π2
，π)，则ω的取值范围是（ ）
A ．[12
，54
]
B ．[1
2
，2]
C ．(14
，54
]
D ．(1
4
，2]
【分析】先利用辅助角公式，将函数f （x ）化简为f(x)=sinωx +cosωx =√2sin(ωx +
π
4)，观察选项，可以找两个特殊值ω＝2和ω=13
，进行试验排除．具体做法是，将ω＝2和ω=13分别代入函数f （x ），求出对称轴，给k 赋值，判断对称轴是否能在区间(π2
，π)即可得解．
解：f(x)=sinωx +cosωx =√2sin(ωx +π
4)，
∵f （x ）的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π
2
，π)，
∴T
2
=
πω
≥π−π2
=
π2
，∴ω≤2，即14
＜ω≤2，
若ω＝2，则f(x)=√2sin(2x +π
4)，令2x +
π4=π
2+kπ，k ∈Z ，得x =π8+kπ2
，k ∈Z ， 当k ＝1时，对称轴为x =5π8
∈(π2
，π)，不符合题意，故ω≠2，排除选项B 和D ，
若ω=1
3，则f(x)=√2sin(1
3
x+π4)，令
1
3
x+
π
4
=
π
2
+kπ，k∈Z，得x=3π4+
3kπ，k∈Z，
当k＝0时，对称轴x=3π
4
∈(π2，π)，不符合题意，故ω≠13，排除选项C．故选：A．
【点评】本题考查辅助角公式和正弦函数的对称性，考查学生的逻辑推理能力、分析能力和运算能力，属于中档题．
12．设函数f（x）＝ln（x+k）+2，函数y＝g（x）的图象与y=e1−x2+1的图象关于直线x＝1对称．若实数x1，x2满足f（x1）＝g（x2），且2x1﹣x2有极小值﹣2，则实数k 的值是（）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】先由对称性求出g（x），然后由已知可设f（x1）＝g（x2）＝a，则分别表示x1＝e a﹣2﹣k，x2＝2ln（a﹣1），代入后结合导数及极值存在的条件可求．
解：由题意可得g(x)=e x2+1．
设f（x1）＝g（x2）＝a，
则x1＝e a﹣2﹣k，x2＝2ln（a﹣1），
∴2x1﹣x2＝2e a﹣2﹣2ln（a﹣1）﹣2k，
令h（a）＝2e a﹣2﹣2ln（a﹣1）﹣2k，
则h′(a)=2e a−2−2
a−1
=2（e a−2−1a−1）在（1，+∞）上单调递增且h′（2）＝0，故当a＞2时，h′（a）＞0，h（a）单调递增，当1＜a＜2时，h′（a）＜0，h（a）单调递减，
故当a＝2时，h（a）取得极小值h（2）＝2﹣2k，
由题意可知2﹣2k ＝﹣2， 故k ＝2． 故选：B ．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数极值存在的条件，解题的关键是利用已知表示出极值的条件． 二、填空题：
13．已知|a →
|＝1，|b →
|＝2，且a →
•（b →
−a →
）＝﹣2，则向量a →
与b →
的夹角为
2π3
．
【分析】根据题意，设向量a →
与b →
的夹角为θ，由数量积的运算性质可得a →
•（b →
−a →
）=a →
•b →
−a →2
＝﹣2，变形解可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．
解：根据题意，设向量a →
与b →
的夹角为θ，
若a →
•（b →
−a →）＝﹣2，则a →
•（b →
−a →）=a →•b →
−a →2
＝﹣2， 即2cos θ﹣1＝﹣2，解可得cos θ=−12
，
又由0≤θ≤π，则θ=
2π
3
； 故答案：2π3
．
【点评】本题考查向量数量积的计算，注意向量数量积的计算公式，属于基础题． 14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），则a 4＝ 8 ． 【分析】直接利用数列的递推关系式，逐步求解数列的项即可． 解：数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），
n ＝1时，2a 1﹣S 1＝1．可得a 1＝1，
n ＝2时，2a 2﹣S 2＝1，即2a 2﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 2＝2，
n ＝3时，2a 3﹣S 3＝1，即2a 3﹣a 3﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 3＝4， n ＝4时，2a 4﹣S 4＝1，即2a 4﹣a 4﹣a 3﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 4＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，是基本知识的考查． 15．焦点为F 的抛物线C ：x 2＝4y 的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则|PA||PF|
的
最大值为 √2 ．
【分析】根据题意作图，结合抛物线性质可得|PA||PF|
=
1sin ∠PAM
，则当∠PAM 最小时，则
|PA||PF|
最大，即当PA 和抛物线相切时，
|PA||PF|
最大，设P （a ，
a 2
4
），利用导数求得斜率
求出a 的值即可
解：由题意可得，焦点F （0，1），A （0，﹣1），准线方程为y ＝﹣1 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |， 则
|PA||PF|
=
|PA||PM|
=
1sin ∠PAM
，∠PAM 为锐角．
故当∠PAM 最小时，则|PA||PF|
最大，
故当PA 和抛物线相切时，
|PA||PF|
最大
可设切点P （a ，a 24
），
则PA 的斜率为k =14a 2
−1a
，
而函数y =x 2
4
的导数为y ′=x
2，
则有a
2
=
14a 2−1a
，解得
a ＝±2，可得P （2，1）或（﹣2，1），
则|PM |＝2，|PA |＝2√2， 即有sin ∠PAM =
|PM||PA|
=√2
2， 则|PA||PF|
=
√2，
故答案为：√2
【点评】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．
16．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2AD ＝2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，设M 为线段A 1C 的中点．则在△ADE 翻折过程中，给出如下结论：
①当A 1不在平面ABCD 内时，MB ∥平面A 1DE ； ②存在某个位置，使得DE ⊥A 1C ； ③线段BM 的长是定值；
④当三棱锥C ﹣A 1DE 体积最大时，其外接球的表面积为
13π3
．
其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．（请将所有正确结论的序号都填上）
【分析】①取DC的中点N，连接NM、NB，可得MN∥A1D，NB∥DE，且MN、NB 和∠MNB均为定值，由平面与平面平行的判定可得面MNB∥面A1DE，则MB∥面A1DE；
②用反证法，假设存在某个位置，使DE⊥A1C，在△CDE中，由勾股定理易知，CE⊥DE，再由线面垂直的判定定理可知，DE⊥面A1CE，所以DE⊥A1E，与已知相矛盾；
③由①可知MN，NB，∠MNB，在△MNB中，由余弦定理可知，MB2＝MN2+NB2﹣2MN•NB cos∠MNB，计算得线段BM的长是定值；
④当三棱锥C﹣A1DE体积最大时，平面A1DE⊥平面CDE，又CE⊥DE，得CE⊥平面A1DE，设三棱锥C﹣A1DE的外接球的球心为O，由勾股定理求外接球的半径OE，
．
代入球的表面积公式可得外接球的表面积为13π
3
解：如图，∵AB＝2AD＝2，E为边AB的中点，∠BAD＝60°，
∴△ADE（A1DE）为等边三角形，则DE＝1．
①取DC的中点N，连接NM、NB，则MN∥A1D，且MN=1
=A1D=12；
2
NB∥DE，且NB＝DE＝1，
∵MN⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，则MN∥平面A1DE，
同理NB∥平面A1DE，又NM∩NB＝N，∴平面NMB∥平面A1DE，
则MB∥平面A1DE，故①正确；
②假设存在某个位置，使DE⊥A1C．∵DE＝1，可得CE=√3，
∴CE2+DE2＝CD2，即CE⊥DE，
∵A1C∩CE＝C，∴DE⊥面A1CE，
∵A1E⊂面A1CE，∴DE⊥A1E，与已知∠DA1E＝60°矛盾，故②错误；
，NB＝1．
③由①知，∠MNB＝∠A1DE＝60°，MN=1
2
由余弦定理得，MB2＝MN2+NB2﹣2MN•NB cos∠MNB=1
+1−2×12×1×12=34，
4
，故③正确；
∴BM的长为定值√3
2
当三棱锥C﹣A1DE体积最大时，平面A1DE⊥平面CDE，
又CE⊥DE，∴CE⊥平面A1DE，设三棱锥C﹣A1DE的外接球的球心为O，
则外接球的半径OE=(3
)2+(32)2=√1312，
3
∴外接球的表面积S＝4π×(√13
)2=13π3，故④正确．
12
∴正确命题的序号是①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系，以及熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝（4c﹣b）cos A．
（Ⅰ）求cos A的值；
（Ⅱ）若b＝4，点M在线段BC上，且AB→+AC→=2AM→，|AM→|=√6，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin C＝4sin C cos A，结合在△ABC中，sin C≠0，可求cos A的值．
（Ⅱ）解法一：由AB→+AC→=2AM→，两边平方，利用余弦定理可解得c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，进而根据三角形的面积公式即可求解；
解法二：延长BA到N，使AB＝AN，连接CN，由AB→+AC→=2AM→，M点为BC线段
，利用余弦定理中点，|AM→|=√6，可求CN=2√6，cos∠CAN=cos(π−∠A)=−1
4
可求c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
解：（Ⅰ）因为a cos B＝（4c﹣b）cos A，
由正弦定理得：sin A cos B＝（4sin C﹣sin B）cos A，
即sin A cos B+sin B cos A＝4sin C cos A，
可得sin C＝4sin C cos A，
在△ABC中，sin C≠0，
．
所以cosA=1
4
（Ⅱ）解法一：∵AB→+AC→=2AM→，两边平方得：AB→2+2AB→⋅AC→+AC→2=4AM→2，
，
由b＝4，|AM→|=√6，cosA=1
4
可得：c2+2c⋅4⋅1
+16=4×6，解得c＝2或c＝﹣4（舍）．
4
，
又sinA=√1−cos2A=√15
4
所以△ABC的面积S=1
2
×4×2×√154=√15．
解法二：延长BA到N，使AB＝AN，连接CN，
∵AB→+AC→=2AM→，M点为BC线段中点，|AM→|=√6，∴CN=2√6，
又∵b＝4，cosA=1
4，cos∠CAN=cos(π−∠A)=−1
4
，
∴CN2＝AC2+AN2﹣2AC•AN•cos∠CAN，
即24=16+c2−2c⋅4⋅(−1
4
)，解得：c＝2或c＝﹣4（舍），
又sinA=√1−cos2A=√15
4
，
∴△ABC的面积S=1
2
×4×2×√154=√15．
【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式以及平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．
18．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y（单位：万件），对近5个月的月销售单价x i和月销售量y i（i＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据：
月销售单价x i（元/件）99.51010.511
月销售量y i （万件） 11 10 8 6 5
（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；
（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？
（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？
参考公式：回归直线方程
y ̂
=b ̂
x +a
，其中b ̂
=
∑ n i=1x i y i −nxy ∑ n
i=1
x i
2−nx
2，a ̂=y =b ̂
x ． 参考数据：∑ 5i=1x i y i =392，∑ 5i=1x i 2＝502.5．
【分析】（Ⅰ）求出样本中心，求出回归直线方程的斜率，然后求解y 关于x 的回归直线方程；
（Ⅱ）利用过后直线方程，求出当该产品月销售单价为7元/件时，求出预测数据，通过判断由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值说法超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，说明（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想．
（Ⅲ）设销售利润为M ，则M ＝（x ﹣5）（﹣3.2x +40）（5＜x ≤11）M ＝﹣3.2x 2+56x ﹣200，求解x ＝8.75时，M 取最大值，得到结果．
解：（Ⅰ）因为x =15(11+10.5+10+9.5+9)=10，y =1
5(5+6+8+10+11)=8． 所以b ̂
=392−5×10×8502.5−5×10
2
=−3.2，所以a ̂
=8−(−3.2)×10=40，
所以y 关于x 的回归直线方程为：y ̂=−3.2x +40
． （Ⅱ）当x ＝7时，y ̂=−3.2×7+40=17.6
，则|17.6﹣18|＝0.4＜0.5，
所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．
（Ⅲ）设销售利润为M，则M＝（x﹣5）（﹣3.2x+40）（5＜x≤11）M＝﹣3.2x2+56x ﹣200，所以x＝8.75时，M取最大值，
所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．
【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．
19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，∠B1BA=π3．（Ⅰ）证明：B1C⊥AC1；
（Ⅱ）若平面ABB1A1⊥平面ABC，M为A1C1的中点，求B1C与平面AB1M所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）取AB中点D，连接B1D，CD，BC1．证明B1C⊥BC1．B1D⊥AB，CD⊥AB．得到AB⊥平面B1CD．推出AB⊥B1C．即可证明B1C⊥平面ABC1，得到B1C⊥AC1．
（Ⅱ）说明DB，DB1，DC两两垂直，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DB1为z轴，建立空间直角坐标系．求出平面AB1M的法向量，利用空间向量的数量积求解B1C与平面AB1M所成的角的正弦值即可．
【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点D，连接B1D，CD，BC1．
∵三棱柱的所有棱长均为2，∠B1BA=π3，
∴△ABC 和△ABB 1是边长为2的等边三角形，且B 1C ⊥BC 1． ∴B 1D ⊥AB ，CD ⊥AB ．
∵B 1D ，CD ⊂平面B 1CD ，B 1D ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面B 1CD ． ∵B 1C ⊂平面B 1CD ，∴AB ⊥B 1C ．
∵AB ，BC 1⊂平面ABC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∴B 1C ⊥AC 1．
（Ⅱ）∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，且交线为AB ， 由（Ⅰ）知B 1D ⊥AB ，∴B 1D ⊥平面ABC ．
则DB ，DB 1，DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，DB 1为z 轴， 建立空间直角坐标系．
则D （0，0，0），A （﹣1，0，0），B 1(0，0，√3)，C(0，√3，0)，C 1(−1，√3，√3)，A 1(−2，0，√3)
∵M 为A 1C 1的中点，∴M(−32，√
32
，√3)，
∴B 1C →=(0，√3，−√3)，AB 1→=(1，0，√3)，AM →=(−12，√
32
，√3)，
设平面AB 1M 的法向量为n →
=(x ，y ，z)，
则{AB 1→
⋅n →
=x +√3z =0AM →⋅n →=−1
2
x +√32
y +√3z =0
，取z ＝1，得n →=(−√3，−3，1)． 设B 1C 与平面AB 1M 所成的角为α，则sinα=
|B 1C →
⋅n →
||B 1C →
|⋅|n →
|
=
4√3√6⋅√13
=2√26
13．
∴B 1C 与平面AB 1M 所成角的正弦值为2√26
13
．
【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题． 20．已知函数f （x ）＝（a +2）x 2+ax ﹣lnx （a ∈一、选择题）． （Ⅰ）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程；
（Ⅱ）设g （x ）＝x 2−2
3x 3，若∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，使得f （x 1）≥g （x 2）
成立，求实数a 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当a ＝0时，求出f ′(x)=4x −1x
，求出切线的斜率以及切点坐标，然后求解切线方程．
（Ⅱ）问题等价于∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，f （x 1）min ≥g （x 2）min ．求出g '（x ）＝2x ﹣2x 2，利用导函数的符号判断函数的单调性，求解函数的最小值，同理求解f （x ）
min ，利用转化不等式，构造函数，转化求解即可．
解：（Ⅰ）当a ＝0时，f （x ）＝2x 2﹣lnx ，f ′(x)=4x −1x
，
则f （1）＝2，f '（1）＝3，故曲线y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为3x ﹣y ﹣1＝0．
（Ⅱ）问题等价于∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，f （x 1）min ≥g （x 2）min ． 由g(x)=x 2−2
3x 3得g '（x ）＝2x ﹣2x 2，
由g '（x ）＝2x ﹣2x 2≥0得0≤x ≤1，
所以在[0，1]上，g（x）是增函数，故g（x）min＝g（0）＝0．f（x）定义域为（0，+∞），
而f′(x)=2(a+2)x+a−1
x =2(a+2)x
2+a−1x
x
=(2x_1)[(a+2)x−1]
x
．
当a≤﹣2时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在（0，1]上是减函数，所以f（x）min＝f（1）＝2（a+1）≥0⇒a≥﹣1，不成立；
当a＞﹣2时，由f'（x）＜0，得0＜x＜1
a+2；由f'（x）＞0，得x＞1
a+2
，
所以f（x）在(0，1
a+2
)单调递减，在(1a+2，+∞)单调递减．
若1
a+2
＞1，即﹣2＜a＜﹣1时，f（x）在（0，1]是减函数，
所以f（x）min＝f（1）＝2（a+1）≥0⇒a≥﹣1，不成立；
若0＜1
a+2
≤1，即a≥﹣1时，f（x）在x=1a+2处取得最小值，f(x)min=f(1a+2)=1+ ln(a+2)−1a+2，
令h(a)=1+ln(a+2)−1
a+2
(a≥−1)，
则h′(a)=
1
a+2
+1
(a+2)2
=a+3
(a+2)2
＞0在[﹣1，+∞）上恒成立，
所以h（a）在[﹣1，+∞）是增函数且h（a）min＝h（﹣1）＝0，
此时f(x)min=f(1
a+2
)≥0成立，满足条件．
综上所述，a≥﹣1．
【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性，函数的最值的求法，转化思想的应用，是难题．
21．点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x＝4的距离的比是常数1
2
．
（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为−3
2
． （ⅰ）求直线BP 的斜率； （ⅱ）求△ABP 面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）利用点M （x ，y ）与定点F （1，0）的距离和它到直线x ＝4的距离的比是常数1
2
，列出方程化简求解即可．
（Ⅱ）（ⅰ）设点A （x 1，y 1），则点B （﹣x 1，﹣y 1），满足
x 1
24
+
y 1
23
=1，设点P （x 2，
y 2），满足
x 2
24
+
y 2
23
=1，利用平方差法求解AP 的斜率，BP 的斜率即可．
（ⅱ）说明S △ABP ＝2S △OAP ，设直线AP ：y =−3
2
x +m ，代入曲线C ：x 2
4
+y 2
3
=1化简
得：3x 2﹣3mx +m 2﹣3＝0，
设A （x 1，y 1），P （x 2，y 2），利用韦达定理、弦长公式以及点到直线的距离公式，转化求解三角形面积的表达式，然后求解最值即可． 解：（Ⅰ）由已知得
√(x−1)2+y 2
|x−4|
=12
，两边平方并化简得3x 2+4y 2
＝12，
即点M 的轨迹C 的方程为：
x 24
+
y 23
=1．
（Ⅱ）（ⅰ）设点A （x 1，y 1），则点B （﹣x 1，﹣y 1），满足
x 1
24
+
y 1
23
=1，①
设点P （x 2，y 2），满足
x 2
24
+
y 2
23
=1，②
由①﹣②得：
(x 1−x 2)(x 1+x 2)
4+
(y 1−y 2)(y 1+y 2)
3
=0，
∵k AP =y 1−y 2x 1−x 2−=−3
2，k BP =y 1+y
2x 1+x 2，
∴k BP =y 1+y
2x 1+x 2
=1
2．
（ⅱ）∵A，B关于原点对称，∴S△ABP＝2S△OAP，
设直线AP：y=−3
2x+m，代入曲线C：x2
4
+y
2
3
=1化简得：3x2﹣3mx+m2﹣3＝0，
设A（x1，y1），P（x2，y2），由△＞0得：m2＜12，x1+x2＝m，x
1x2=m
2−3
3
，
|AP|=√1+94|x1−x2|=√1+94√(x1+x2)2−4x1x2=√1+94√4−m 2
3
，
点O到直线AP的距离d=
√1+94
，
∴S
△ABP =2S△OAP=2×12×|AP|⋅d=|m|√4−m
2
3
=√4m2−m
4
3
，
∴S
△ABP =√−m
4
3
+4m2=√−13(m2−6)2+12，当m2＝6时，
∴S△ABP取到最大值2√3．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，平方差法以及距离公式的应用，三角形面积的最值的求法，是中档题．
（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosφ
y=sinφ
（φ为参数），将曲线C1向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线C2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1、C2的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OM：θ＝α（ρ≥0）分别与曲线C1、C2交于点A，B（A，B均异于坐标原点O），若|AB|=√2，求α的值．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换，及正弦型函数的性质的应用求出结果．
解：（Ⅰ）由题意：{x =1+cosφy =sinφ⇒{x −1=cosφ
y =sinφ⇒(x −1)2+y 2=1．
∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ． 因曲线C 1是圆心为（1，0），半径为1的圆， 故曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y ﹣1）2＝1． ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ． （Ⅱ）设A （ρ1，α），B （ρ2，α），
则|AB|=|ρ1−ρ2|=2|sinα−cosα|=2√2|sin(α−π
4)|=√2． 所以sin(α−π
4)=±1
2
，
因为2kπ＜α＜2kπ+π2
，所以α−π
4=2kπ±π
6(k ∈Z)．
所以α=2kπ+π
12(k ∈Z)或α=2kπ+5π
12
(k ∈Z)．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |（a ＞0，b ＞0）． （Ⅰ）当a ＝b ＝1时，解不等式f （x ）＜x +2； （Ⅱ）若f （x ）的值域为[2，+∞），证明：
1
a+1
+
1b+1
+
1ab
≥2．
【分析】（Ⅰ）由绝对值的定义分段脱绝对值求解．
（Ⅱ）由绝对值不等式求函数f （x ）的值域可确定a +b ＝2，再配凑均值不等式的形式，
两次用均值不等式即可证明．
解：（Ⅰ）当a＝b＝1时，不等式为|x﹣1|+|x+1|＜x+2，
当x＜﹣1时，不等式化为−2x＜x+2⇒x＞−2
3
，此时不等式无解；
当﹣1≤x＜1时，不等式化为2＜x+2⇒x＞0，故0＜x＜1；
当x≥1时，不等式化为2x＜x+2⇒x＜2，故1≤x＜2．
综上可知，不等式的解集为{x|0＜x＜2}．
（Ⅱ）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|，当且仅当x﹣a与x+b同号时，f（x）取得最小值|a+b|，
∵f（x）的值域为[2，+∞），且a＞0，b＞0，故a+b＝2．
故1
a+1+
1
b+1
+
1
ab
=
1
4
(
1
a+1
+
1
b+1
)[(a+1)+(b+1)]+
1
ab
=
1
4
(2+
b+1
a+1
+
a+1 b+1)+
1
ab
≥
1
4
(2+2√b+1
a+1
⋅
a+1
b+1
)+(
2
a+b
)2=1+1=2
（当且仅当a＝b＝1时取等号）．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式证明不等式，属于中低档题．。