经济数学微积分课程期中模拟考试卷及答案

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《经济数学-微积分》课程期中模拟考试卷（A ）答案
202 ——202 学年第一学期
姓名
学号
班级
题号 一
二
三
四
五
六
总分
得分
一、 单选题(每小题2分，共计10分)
1.1=x 是函数x
x f -=11
arctan
)(的 （ C ） A .连续点. B .可去间断点. C .跳跃间断点. D .无穷间断点.
2.若1)0(='f ，则=--→h
h f f h 3)
()0(lim
0（ B ） A . 0. B . 31. C . 3. D . 3
1
-.
3.设⎪⎩
⎪⎨⎧=≠--=.
1,2;1,
1
|
1|)(2x x x x x f 则在1=x 处函数)(x f （ A ）
A . 不连续.
B . 连续，但不可导.
C . 可导，但导函数不连续.
D . 可导，且导函数连续.
4.设)(x f y =是由方程0ln =+y xy 确定的函数，则=dx
dy
（ C ） A . x
y ln -
. B . 2
y -. C . 12+-xy y . D . xy y 12+-.
5.设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，若0)(0='x f ，则)(0x f （ D ）
A . 是极大值.
B .是极小值.
C . 是拐点的纵坐标.
D .可能是极值也可能不是极值.
得分
二、 填空题(每小题2分，共计10分)
1. =+∞→)sin 1sin
(lim x
x x x x 1 .
2. 设x
x f 2)(=，则='-'→x f x f x )0()(lim
0 2ln 2 . 3. 设x
x f 211)(-=
，则=)1()
10(f !10210⋅- . 4. 设曲线2x y =的切线与曲线3x y =的切线相互垂直，则曲线2
x y =上的点的横坐标
=x 3
6
1
- . 5. 函数x y cos =在23,
2[
π
π上符合罗尔定理结论中的=ξ π .
三、计算题(每小题9分，共计54分)
1. ])12()12(1531311[
lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n .
解: )
12()12(1
531311[
lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n
2
11211[21lim ]1211215131311[21lim =+-⋅=+--++-+-⋅=∞→∞→n n n n n .
得分 得分
2. 已知21
3)
tan )
(1ln(lim
=-+
→x x x x f ，求20)(lim x x f x →.
解:由于
3ln )(lim 3ln )(lim 3ln tan )(lim 1
3)
tan )(1ln(lim
220000
x x f x x x f x x x f x x f x x x x x →→→→===-+
=,
所以3ln 2)
(lim
2
=→x x f x 。

3. 设⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=.0,0;0,)1ln()(2x x x
x x f 求)(x f '.
解:当0≠x 时，)
1()1ln()1(2)1ln(12)(2222222
2x x x x x x x x x x x f +++-=+-⋅+='； 且1)1ln(lim 0)0()(lim )0(2200=+=--='→→x x x f x f f x x 。

综上⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+++-='01,
0,)
1()
1ln()1(2)(22222x x x x x x x x f 。

4．已知6
51)(2
++=
x x x f ， 求)()
(x f n . 解: 31
21651)(2+-+=++=x x x x x f ，由于)1()()(!)1(1(
+-+-=+n n n n b ax n a b
ax ，
所以])3()2[(!!)1()()1()1()(+-+-+-+⋅-=n n n n x x n x f 。

5．设1)ln(=+xy xy ，求2
2dx
y
d . 解:方程两边同时求导得011='⋅++
'+y y x y x y ，则x
y dx dy -=。

2
22222x
y x y y x y x y dx y d =---=-'-=。

6. 求极限x
e
x x
x -+→10)1(lim
.
解: x
x x e x
e
e x
e
e
x
e x x x x
x x x
x x
x 1
)1ln(1
lim
1lim lim
)1(lim
01)1ln(1
)1ln(1
01
0-+⋅=-⋅
=-=-+→-+→+→→ .2
)1(21lim 21
11
lim )1ln(lim 0020e x e x x e x x x e x x x -=+-⋅=-+⋅=-+⋅=→→→
四、(本题9分)
在什么条件下，函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,
0;
0,1sin )(x x x
x x f a
在0=x 处 （1）连续；（2）可导；（3）导函数连续.
解:（1）⎩⎨⎧≤>==→→0
0,01sin lim )(lim 00a a x x x f a
x x 不存在，，则当0>a 时，函数在
0=x 处连续。

（2）⎩⎨
⎧≤>==--='-→→1
1,
01sin lim 0)0()(lim
)0(100
a a x x x f x f f a x x 不存在，，则当1>a 时，函数在0=x 处可导。

（3）当0≠x 时，x
x x ax x f a a 1cos 1sin )(2
1---='，因此
⎩⎨
⎧≤>=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-='--→→22,01cos 1sin lim )(lim 2100a a x x x ax x f a a x x 不存在，，则当2>a 时，函数在0=x 处导数连续。

五、(本题9分)
设⎪⎩
⎪⎨⎧=≠-=.0,;
0,cos )()(x a x x
x
x x f ϕ其中)(x ϕ具有二阶连续导数，且1)0(=ϕ.
得分
得分
（1）确定a 的值，使)(x f 在0=x 处连续；
（2）求)(x f '；
（3）讨论)(x f '在0=x 处的连续性. 解:（1）由于)(x f 在0=x 处连续， 则]cos 11)([
lim cos )(lim
)(lim 0
x
x
x
x x
x
x x f a x x x -+
-=-==→→→ϕϕ
)0(0
)
0()(lim
ϕϕϕ'=--=→x x x 。

（
2）当0≠x 时，2
)
cos )(()sin )(()(x x x x x x x f --+'=
'ϕϕ，
当0=x 时，
2000)0(cos )(lim )
0(cos )(lim 0)0()(lim )0(x x x x x x x
x x f x f f x x x ϕϕϕϕ'--='--=--='→→→2
1)0(212sin )0()(lim 0+''=+'-'=→ϕϕϕx x x x 。

（3）考虑x
x
x x x x x x x x x f x x x 2)cos )((lim )cos )(()sin )((lim )(lim 0200+''=--+'='→→→ϕϕϕ 2
1
)0(21+''=ϕ。

则)(x f '在0=x 处的连续。

六、(本题9分)
设函数)(x f 在]2,1[上有二阶导数，且0)2(=f ，又
)()1()(2x f x x F -=，证明：在)2,1(内至少存在一点ξ，使得0)(=ξ''F .
证:由题)(x F 在]2,1[上连续，在)2,1(内可导，且0)2()1(==F F ，由Rolle 定理
知，至少存在一点)2,1(∈η，使得0)()1()()1(2)(2='-+-='ηηηηηf f F ，又
因为)()1()()1(2)('2
x f x x f x x F -+-=在]2,1[上连续，在)2,1(内可导，
且0)()1(='='ηF F ，由Rolle 定理知，至少存在一点)2,1(),1(⊂∈ηξ，使得
得分
0)(=''ξF 。