2024科大创新班入围赛模拟试题6

f
x 的最大值和最小值分别为 M , m ，则 M
m
．
20．如果 X ,Y 是离散型随机变量，则 X 在Y y 事件下的期望满足
m
E X∣Y y x iP X x∣i Y y 其中x1, x2,, xm 是 X 所有可能取值的集合.已知某独 i 1
立重复试验的成功概率为 p ，进行 n 次试验，求第 n 次试验恰好是第二次成功的条件下，第
A．
10 2
,
2
B．
10 2
,
ln
2
2
C． ln 2 2,
10
2
D． 2,
10
2
11．已知平面向量
a,
b
满足
a
1,
b,
a
b
π
，则
a
b
的最大值为（
6
）
A．2
B． 2 1
C． 3 1
D．3
12．已知 A 是抛物线 E : y2 2 px( p 0) 上的动点，点 B 1, 4 ， C 4, 0 ， O 为坐标原点，
中男生甲与女生 A 不去同一处景点游玩，女生 B 与女生 C 去同一处景点游玩，则这 8 名同学
游玩行程的方法数为（ ）
A．564
B．484
C．386
D．640
14．数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线 C ： xn yn 1(n 0) ，当 n 2 时，是我们熟 知的圆；当 n 2 时，是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，则下列关于曲线 C 的结论正
次掷中的概率是
2 3
，且每次投掷之间相互独立，则小明在此次游戏中得
7
分的概率是（
）
A．
160 2187
B．
192 2187
C．
224 2187
D．
256 2187
17．某兴趣小组准备将一棱长为 a 的正方体木块打磨成圆锥，则圆锥的最大体积为
．
18．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1a
0,b 0 的右焦点为
1
B．
an2
为递增数列
C． 4an21 1 4an1an
D．
a2 2024
1013
9．已知
x
为正实数，y
为非负实数，且 x 2 y
2 ，则
x2 1 x
2 y2 的最小值为（ y 1
）
A． 3 4
B． 9 4
C． 3 2
9 D．
2
10．若对任意实数 x 0 ，恒有 2 ex 2mx 8 x2 4m2 成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
最大值为 1
2
16．某商场进行有奖促销活动，满 500 元可以参与一次掷飞镖游戏，有 7 只飞镖，采取积分
制，掷中靶盘，得 1 分，不中得 0 分，连续掷中 2 次额外加 1 分，连续掷中 3 次额外加 2
分，以此类推，连续掷中 7 次额外加 6 分.小明购物满 500 元，参加了一次游戏，假设他每
F
，左､右顶点分别为
A1 、A2 ，点 M
在
C
上运动（与
A1 、
A2
枃不重合），直线
MA2
交直线
x
5 4
a
于点
N
，若
FN
MA1
0
恒成立，
则 C 的离心率为
.
19．已知定义在 R 上的函数 f x 满足 x, y R, f x y f x f y 2024 ，若函数
gx
x 2024 x2 2024 x2
点 M 是棱 DD1 上的动点（包括点 D，D1 ），已知 MN 4 ，P 为 MN 中点，则下列结论正确的 是（ ）
A．无论 M，N 在何位置， AP,CC1 为异面直线 B．若 M 是棱 DD1 中点，则点 P 的轨迹长
度为 3 π 2
C．M，N 存在唯一的位置，使 A1P ∥平面 AB1C
D．AP 与平面 A1BCD1 所成角的正弦
2024 科大创新班入围赛模拟试题 6
1．已知
f
x
sin πx
e
x
,
x
,0 0
x
2 ，若存在实数
xi
i
1, 2,3, 4,5 ，当
xi
xi 1
i
1, 2,3, 4
时，
5
满足 f x1 f x2 f x3 f x4 f x5 ，则 xi f xi 的取值范围为（ ） i 1
3 确的是（ ）
A．对任意正实数 n ，曲线 C 恒过 2 个定点 B．存在无数个正实数 n ，曲线 C 至少有 4 条对称轴 C．星形线围成的封闭图形的面积大于 2 D．星形线与圆 x2 y2 1 有四个公共点
4
15．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为 4，点 N 是底面正方形 ABCD 内及边界上的动点，
一次成功的试验次数 X 的数学期望是
.
A．若 a 0 ，则 n 2
B．若
0
a
e
3 2
，且
b
a
2
ln
a
，则
n
2
C．若
n
3 ，则
a2
ln
a
b
3
2ae 2
1
e3
2
3
D．过 e 2 ,6 ，仅可作 y f (x) 的一条切线
6．已知 a 1,b 0 ，若 a log2a b log2b ，则（ ）
A． a 2b
B． a 2b
C． a b2
D． a b2
7．下列不等关系中错误的是（ ）
A．
ln 2 2
ln 3 3
B． bea aeb (a b 1) C． cos 1 31 4 32
D．
sin
7 2
7 2
π
8．已知数列an 满足 a1 1,an1
an
an2 1 ，则下列说法正确的是（ 2
）
A． a2024 a2023
x 1 的取值范围是（ ）
A． 0, 4
B． 0,3
C． 0, 2
D． 0,e
4．已知函数
f
x
sin x
0,
π 2
，若
f
x
f
π 6
，f
4π 3
x
f
x ，且
f
x
在
π 3
,
5π 12
上单调，则
的取值可以是（
）
A．3
B．5
C．7
D．9
5．若过点 (a, b) 可作曲线 f (x) x2 ln x的 n 条切线 (n N) ，则（ ）
A．
4,
1 e3
B．
4,
1 e5
C．
1 e3
,
4
D．
1 e5
,
4
2．已知凸四边形 ABCD 内接于圆 O ，ABD 2CBD ，AD 2 6 ，则 BD 的最大值为（ ）
CD 3
AC
A． 6 2Байду номын сангаас
B． 2 3 3
C． 4 2 5
D． 3 3 5
3．已知函数 f x x a ex 的定义域为 0, 4 ，若 f x 是单调函数，且 f x 有零点，则 a
点 A 到 E 的准线的距离最小值为 1，则（ ）
A． p 2
B． AB 的最小值为 5 2
C．
tanACB
的取值范围是
1 2
,
11 2
D． ACB ACO
13．某校高三年级有 8 名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知 8 名同
学中有 4 名男生，4 名女生.每个景点至少有 2 名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其