成都市五校高二下期中数学试题(文)有答案

成都市五校联考高2014级第四学期期中试题
数学（文科）
(全卷满分:150分 完成时间:120分钟)
命题人：胡泽余 审题人：陈晓刚、张尧、谢祥高
注意事项:
选择题答案用铅笔涂写在机读卡上,每小题选出答案后,用铅笔把对应题目的答案标号涂黑.其它题答在答题卷上.
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的．)
.1命题“1sin ,≤∈∀x R x ”的否定是 ( ▲ )
1sin ,.00≤∈∃x R x A 1sin ,.00>∈∃x R x B 1sin ,.>∈∀x R x C 1
sin ,.00≥∈∃x R x D
.2抛物线2
4x y =的准线方程是
1.=x A 1.-=x B .C 161=
y .D 16
1-=y .3在同一坐标系中，将曲线x y 2sin 3=变为曲线''sin x y =的伸缩变换是 ( ▲ )
⎪⎩⎪
⎨⎧==''
312,y
y x x A
⎪⎩
⎪
⎨⎧==y
y x
x B 312,'' ⎪⎩⎪⎨⎧=='
'32,y y x x C ⎪⎩⎪⎨⎧==y
y x
x D 32,''
.4 已知直线b a 、是平面α内的两条直线，l 是空间中一条直线. 则“b l a l ⊥⊥,”是
“α⊥l ”的 ( ▲ )
.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件
.5 在极坐标系中，点)4,
2(π到直线2
3
)3sin(-=-πθρ的距离是 ( ▲ ) 1.A 21.
B 31.
C 4
1.D .6 已知命题:p 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”的否命题是真命题；
命题:q ”“95<<k 是方程
15
92
2=-+-k y k x 表示椭圆的充要条件。

则下列命题为真命 题的是 ( ▲ )
q p A ∨⌝. q p B ⌝∧⌝. q p C ⌝∧. q p D ∧.
.7 已知21F F 、是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点，P 是椭圆上一点，且
6
F PF ,21212π
=∠⊥F F PF 。

则椭圆的离心率是 ( ▲ )
22.
A 33.
B 21.
C 5
5
.D
.8与⊙25)2(:221=++y x C 内切且与⊙1)2(:222=-+y x C 外切的动圆圆心M 的轨
迹方程是 ( ▲ )
)0(159.22≠=+y y x A )0159.2
2≠=+x x y B （ )3(159.22≠=+x y x C )3(159.2
2≠=+y x y D .9 设函数x a x x f ln )()(+=，已知曲线)(x f y =在点))1(1f ，（处的切线与直线
032=-+y x 平行，则a 的值为 ( ▲ )
3.A 3.-B 2.C 2.-D
.10已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合。

曲线C 的参
数方程为ϕϕϕ
(sin 2cos 3⎩
⎨
⎧==y x 为参数）
，直线l 的极坐标方程是 15)sin 2(cos =+θθρ。

若 点Q P 、分别是曲线C 和直线l 上的动点，则Q P 、两点之间距离的最小值是 ( ▲ ) 10.A 32.B .C 52 21.D
.11 已知函数
,
1
41)()21()(342t x x x g t x f x x ++++=-=++，若R x ∈∀1，
)1,(2--∞∈∃x ，使得)()(21x g x f ≤，则实数t 的取值范围是 ( ▲ ) ]0,(.-∞A ]2,0(.B ]2,(.--∞C ),3[.+∞D
.12 已知，焦点在x 轴上的椭圆的上下顶点分别为12B B 、，左焦点和右顶点分别为1A F 、. 经过点2
B 的直线l 与以椭圆的中心为顶点、2B 为焦点的抛物线交于B A 、两点，且点 2B 恰为线段AB 的三等分点，直线1l 过点1B 且垂直于
y 轴，
线段AB 的中点M 到直线1l 的距离为4
9
. 若212B A FB ∙321-=，则椭圆的标准方程是 ( ▲ )
14.2
2=+y x A 124.22=+y x B 146.22=+y x C 13
.22=+y x D 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共有4小题,每小题5分,共20分．把答案直接填在答题卷指定的横线上．)
.13 将曲线的参数方程t t y t x (23213⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=为参数）化为普通方程为 ▲ . .14 已知函数
x e x f x sin )(=，则=')2
(πf ▲ .
.15已知命题:p 函数
()
16
22
2
log
)(+-=ax x x f 存在最小值；命题:q 关于x 的方程
x a x )22(22
--73-+a 0=有实数根。

若命题q p ∧为真命题，则实数a 的取值
范围是 ▲ .
.16 已知直线l 交抛物线x y 32=于B A 、两点，且O OB OA （0=∙是坐标原点），设l
交x 轴于点F ，F F 、'分别是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右焦点。

若双曲
线的右支上存在一点P ，使得||2||F P ='，则a 的取值范围是 ▲ .
三、 解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．)
17.(本小题满分12分）已知命题1|2|:≥-m x x p 满足实数；命题02
31;>+-x x
x q 满足实数. （Ⅰ）若1=m 时，q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （Ⅱ） 若p ⌝是q 的的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。

18.（本小题满分12分） 已知命题p ：方程
18
4=-+-t x t y 表示焦点在y 轴上的双曲线；命题q ：实数t 使函数)322(log )(22++-=t tx x x f 的定义域是R ．
（Ⅰ）若2t =时，求命题p 中的双曲线的离心率及渐近线方程；
（Ⅱ）求命题p ⌝是命题q ⌝的什么条件(充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要中的一种)，
并说明理由．
19.（本小题满分12分） 已知函数)(53R x x x x f ∈-+=的图象为曲线C .
（Ⅰ）当[]1,2-∈x 时，求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求垂直于直线:l 为参数）t t y t x (1010311010321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=
并且与曲线C 相切的直线方程.
20.（本小题满分
12分）
已知动圆过定点)1,0(F ,且与定直线1-=y 相切。

（Ⅰ）求动圆圆心M 所在曲线C 的方程；
（Ⅱ）直线l 经过曲线C 上的点),(00y x P ，且与曲线C 在点P 的切线垂直，l 与曲线C 的另一个交点为
Q ，当20=x 时，求OPQ ∆的面积；
21，（本小题满分12分）
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）如果动直线n kx y l +=;与椭圆C 有且只有一个公共点，点21,F F 在直线l 上的正投影分别
是Q P ,,求四边形21PQF
F 面积S 的取值范围。

22.（本小题满分10分）
在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为04=+-y x 。

以原点o 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为064cos 242=+⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
-πθρρ。

(1)求直线l 的极坐标方程，曲线C 的直角坐标方程；
(2)若点P 曲线C 上任意一点，P 点的直角坐标为()y x ,，求y x 2+的最大值和最小值．
高二下期半期考试题数学（文）参考答案 一、选择题
DA CCDBC BDBBB
二、填空题
0333.13=--y x ； 2.14π
e ； ]3,4(.15-； )3,1[.16. 17.(本题满分12分）已知命题1|2|:≥-m x x p 满足实数；命题02
31;>+-x x
x q 满足实数. （Ⅰ）若1=m 时，q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （Ⅱ） 若p ⌝是q 的的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。

解
；
（Ⅰ）q p ∧ 为真，q p ,∴都为
真。

........................................................1分 又
1
=m ，
.10,112≥≤≥-∴x x x p 或即真；..........................................2分
,0)2)(31(,02
3-1>+-∴>+x x x x
q 真；即
3
1
2<<-x .....................................4分
由02-31210≤<⎪⎩
⎪
⎨⎧<<-≥≤x x x x 得或
](0,2-，的取值范围为实数x ∴。

.....................................................
..........6分
（Ⅱ） 1|2|:≥-m x x p 满足实数,12;<-⌝∴m x p ,即21
21+<<-m x m
令
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=21,21m m A ..................................................................7分
3
1
2;<
<-x q , 令
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=31,2B .....................................................8分
的充分非必要条件
是q P ⌝ ，
A
是
B
的真子
集。

....................................................9分
不能同时取等）(31
2
122
1
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥-∴m m ，得 313-≤≤-m ∴
实
数
m
的取值范围是
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--31,3。

.....................................................12分 18.（本小题满分12分）已知命题p ：方程
18
42
2=-+-t x t y 表示焦点在y 轴上的双曲线；命题q ：实数t 使函数)322(log )(22++-=t tx x x f 的定义域是R ．
（Ⅰ）若2t =时，求命题p 中的双曲线的离心率及渐近线方程；
（Ⅱ）求命题p ⌝是命题q ⌝的什么条件(充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要中的一种)，
并说明理由．
解； （Ⅰ）当2t =时，双曲线方程为16
22
2=-x y ，.................1分 得22=a ，62=b ，82
=c ，故2=
a ，22=c ，
2==
a
c
e ．..................................................4分 其渐近线方程为；x y 3
3
±
=....................................6分 （Ⅱ）命题p 成立条件为⎩⎨⎧<->-0
80
4t t 得4<t ，
4;≥⌝t p ，令[)+∞=,4A .............................8分
命题q 成立条件为恒成立。

对于R x t tx x ∈>++-03222
03202
<--<∆∴t t 即 31<<-∴t
由此可得q ⌝：31≥-≤t t 或，令]()[∞+⋃-∞-=,31,B ...。

....10分 A 是B 的真子集
∴命题p ⌝是命题q ⌝的充分不必要条件。

......................12分 19.（本小题满分12分）已知函数())(532
3
R x x x x f ∈-+=的图象为曲线C .
（Ⅰ）当[]1,2-∈x 时，求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求垂直于直线:l 为参数）t t y t x (1010311010
321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+
=
并且与曲线C 相切的直线方程。

（Ⅱ）求垂直于直线:l 为参数）t t y t x (1010311010
321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+
=
并且与曲线C 相切的直线方程。

解：
（Ⅰ） 1,63)('2-=+=x x x x f 对称轴 ........................2分
()分
时，4...................9,3)(]1,2[max ''=-=-∈x f x f x m ix
∴当[]1,2-∈x 时，过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围为[]9,3-。

........6分
（Ⅱ）分方程可化为：
直线8........,.........0162=+-y x l
,
63'),,(2x x y b a p +=设切点
分切线斜率10.....................3632-=+=a a k
)
3,1(,3,1---=-=∴p b a 即
分所求切线方程为：12..........................063=++∴y x
20.(本题满分12分）已知动圆过定点)1,0(F ,且与定直线1-=y 相切。

（Ⅰ）求动圆圆心M 所在曲线C 的方程；
（Ⅱ）直线l 经过曲线C 上的点),(00y x P ，且与曲线C 在点P 的切线垂直，l 与曲线C 的另一个交点为
Q ，当20=x 时，求OPQ ∆的面积；
解.（Ⅰ）由题知，点),(y x M 到定点)1,0(F 的距离等于它到定直线1-=y 的距离，所以点M 所在的曲线C 是以)1,0(F 为焦点，以1-=y 为准线的抛物线。

..............................2分
∴曲线
C
的方程是：
y x 42=。

.................................................................................
...........4分
（
Ⅱ）
由（1）有曲线
C
：
24
1x y =
，∴
x y 21'=
.............................................................5分
当
2
0=x 时，
)
2
12(，P ,曲线
C
在点P 的切线的斜率是
2
2
,...................................6分 所以直线l 的斜率2-=k 25
2-+=∴x y l 的方程为：直线 (7)
分 设
()
11,y x Q
联立
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+-=241252x y x y 得方程
010242=-+x x ............................................................8分
∴ 10,241010-=-=+x x x x
()6
6
43
10210=-+=x x x x PQ (1)
0分
又点O 到直线l 的距离6
3
5=d 从
而
可
得
2215
=
∆OPQ S .............................................................................
...12分
21，（本小题满分12分）
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）如果动直线n kx y l +=;与椭圆C 有且只有一个公共点，点21,F F 在直线l 上的正投影分别
是Q P ,,求四边形21PQF
F 面积S 的取值范围。

解；
（Ⅰ）
23211,212
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∴=a b e ......................................................
.1分
又
........2分
2
224
3721223a a a +=∴，2=a ，3=b
椭圆C 的方程为
13
42
2=+y x .........4分
（Ⅱ）⎪⎩⎪
⎨⎧=++=134
2
2y x n kx y C l 由有且只有一个公共点。

与椭圆直线
得01248)43(222=-+++n knx x k
由0=∆ 得03422=+-n k .............................6分
,,21L Q F l P F ⊥⊥
当0≠k 时，在直角梯形21PQF F 中其中位线长2
11k
n d +=
直线P F 1的方程为；01=++ky x 点()0,12F 直线P F 1的距离2
212k d +=，
222221)1(342
1221k k k n
d d S PQF F ++=+==∴...........................................................8分
令243k t +=，211
8128
2++=
++=t
t t t t S
11 又3>t ，由双勾函数知S 在3>t 上单调递减，320<<∴S ................10分 当0=k 时，则3±=n ，32=S 。

......................................................11分
分
22.（本小题满分10分） 在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为04=+-y x 。

以原点o 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为064cos 242=+⎪⎭⎫
⎝⎛--πθρρ。

（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程，曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P 曲线C 上任意一点，P 点的直角坐标为()y x ,，求y x 2+的最大值和最小值．
解：（Ⅰ）直线l 的方程；04=+-y x
θρθρsin ,cos ==y x
04sin cos =+-∴θρθρ的极坐标方程为；l .......................3分
又曲线C 的极坐标方程;064cos 242=+⎪⎭⎫
⎝⎛--πθρρ
06sin 4cos 42=+--∴θρθρρ
,sin ,cos ,222θρθρρ==+=y x y x
曲线C 的直角坐标方程:()()22222=-+-y x .........................6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C 参数方程为()为参数θθ
θ
⎪⎩⎪⎨⎧+=+=sin 22cos 22y x ........7分
∴ y x 2+＝(2＋2cos θ)+2(2＋2sin θ)
＝6＋2(cos θ＋2sin θ)
()ϕθ++=sin 106...........................................8分
当1)sin(-=+ϕθ时，y x 2+有最小值为106-....................9分
当()1sin =+ϕθ时，y x 2+有最大值为106+......................10分。