2021届北师大版高考理科数一轮复习课件：第四章 第7讲 解三角形的综合应用

(2)因为 AH∥BC，所以△BCF∽△HAF， 所以HBFF＝ABHC. 因为 AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以HDGG＝ADHE. 又 BC＝DE，所以HBFF＝HDGG， 即1231＋23HB＝127＋1102070＋HB，所以 HB＝30 750 步， 又HBFF＝ABHC，所以 AH＝5×(30 172530＋123)＝1 255(步)． 【答案】 (1)80 5 (2)1 255
解析：由题图可得∠PAQ＝α＝30°，
∠BAQ＝β＝15°，△PAB 中，∠PAB＝α－β＝15°，
又∠PBC＝γ＝60°，
所以∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，
所以sin 3a0°＝sinP1B5°，所以 PB＝
6－ 2
2a，
所以 PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β
求距离、角度问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求 解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可以用，就选择更便于计算的定理．
1.如图，为了测量两座山峰上 P，Q 两点之间的距离，选择山坡上 一段长度为 300 3 m 且和 P，Q 两点在同一平面内的路段 AB 的 两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝ ∠PBQ＝60°，则 P，Q 两点间的距离为________m.
4．坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角 θ 为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比．
常用结论
求 AB
求竖直 高度
底部可达 底部不可达
测量中的几种常见问题图形需要测量的元素解法
∠ACB＝α BC＝a
解直角三角形 AB＝ atan α
得 BC＝CDsinsi∠n∠CBBDDC＝80×si1n 15°＝160sin 15°＝40( 6－ 2)． 2
在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝1 600×(8＋4 3)＋1 600×(8－4 3)＋2×1 600×( 6
＋ 2)×( 6－ 2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000， 解得 AB＝80 5. 故图中海洋蓝洞的口径为 80 5.
【解析】 (1)由已知得，在△ACD 中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝
15°，
由正弦定理得 AC＝80ssiinn1155°0°＝
40 6－
2＝40(
6＋
2)．
4
在△BCD 中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理sin∠CDCBD＝sin∠BCBDC，
(2)(2020·吉林长春质量监测(四))《海岛算经》是中国学者刘徽 编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望 海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相 直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末 参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？ 其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆 BC 和 DE，两标杆之间的距离 BD＝1 000 步，两标杆的底端与海岛的底端 H 在同一直线上，从前面的标杆 B 处后退 123 步，人 眼贴地面，从地上 F 处仰望岛峰，A，C，F 三点共线，从后面的标杆 D 处后退 127 步， 人眼贴地面，从地上 G 处仰望岛峰，A，E，G 三点也共线，则海岛的高为______步．(注： 1 步＝6 尺，1 里＝180 丈＝1 800 尺＝300 步)
第四章 三角函数、解三角形
第7讲 解三角形的综合应用
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
一、知识梳理 1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 (如图①)．
2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图②)． 3．方向角 相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向(如图③)． (2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似．
＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以 BC2＝49，所以 BC＝0.5x＝7，解得 x＝14.
又由正弦定理得
sin∠ABC＝AC·siBn∠C BAC＝5×7
3 2 ＝5143，所以∠ABC＝38°，又∠BAD
＝38°，所以 BC∥AD，
测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标 出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际 问题的解． [提醒] 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点 的方向角．
已知在岛 A 南偏西 38°方向，距岛 A 3 海里的 B 处有一艘缉私艇．岛 A
求 AB
求水平 距离
河对岸
图形
需要测量的元素
解法
在△ADC 中，
∠ADC＝α ∠BDC＝β ∠BCD＝δ ∠ACD＝γ
CD＝a
AC＝sians(iαn＋αγ) 在△BDC 中， BC＝sinas(βin＋βδ) 在△ABC 中，应用余
弦定理求 AB
二、教材衍化 1．如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C， 测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则可以计算出 A，B 两点 的距离为________m.
【解】 如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的 小艇，则 AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°. 根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°， 解得 x＝2.故 AC＝28，BC＝20. 根据正弦定理得sBinCα＝sin A12C0°， 解得 sin α＝20sin21820°＝5143. 所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 α 的正弦值为5143.
解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°. 又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以 AB＝BQ. 又 PB 为公共边，所以△PAB≌△PQB，所以 PQ＝PA. 在 Rt△PAB 中，AP＝AB·tan 60°＝900，故 PQ＝900， 所以 P，Q 两点间的距离为 900 m. 答案：900
∠ACB＝α ∠ADB＝β
CD＝a
解两个直角三角形 AB＝
atan αtan β tan β－tan α
求 AB
求水平 距离
山两侧 河两岸
图形
需要测量的元素 ∠ACB＝α AC＝b BC＝a ∠ACB＝α ∠ABC＝β CB＝a
解法
用余弦定理 AB＝ a2＋b2－2abcos α
用正弦定理 AB＝sinas(αin＋αβ)
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.
(× )
(4)方位角与方向角其实质是一样的 ，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．
(√ )
(5)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，π2)．
(√ )
二、易错纠偏 常见误区 (1)方向角与方位角概念不清； (2)仰角、俯角概念不清； (3)不能将空间问题转化为解三角形问题．
【解】 (1)因为△ABD 的面积 S＝12AD×ABsin∠DAB＝12×2×3sin∠DAB＝323，
处的一艘走私船正以 10 海里/小时的速度向岛北偏西 22°方向行驶，问缉私艇朝何方向
以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？
参考数据：sin
38°≈5143，sin
22°≈3143
解：如图，设缉私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点，
缉私艇的速度为每小时 x 海里，则 BC＝0.5x，AC＝5，依题意，∠BAC
2．为了测量某新建的信号发射塔 AB 的高度，先取与发射塔底部 B 的同一水平面内的 两个观测点 C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40 m，并在点 C 的正上方 E 处观测发射塔顶部 A 的仰角为 30°，且 CE＝1 m，则发射塔高 AB＝________m.
解析：如图，过点 E 作 EF⊥AB，垂足为 F，则 EF＝BC，BF＝CE＝1，∠ AEF＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理得， BC＝CDsi·ns∠in∠CBBDDC＝40s·insin456°0°＝20 6.
故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶，恰好用 0.5 小时截住该走私船．
求解几何计算问题(师生共研)
(2020·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形 ABCD 中，0<∠DAB<π2，AD＝2， AB＝3，△ABD 的面积为323，AB⊥BC.
(1)求 sin∠ABD 的值； (2)若∠BCD＝23π，求 BC 的长．
解析：由正弦定理得sin∠ABACB＝siAnCB，又因为∠B＝30°，
所以
AB＝AC·ssiinn∠BACB＝50×1
2 2 ＝50
2(m)．
2
答案：50 2
2．如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30°，沿倾斜角为 15°的斜坡向上走 a 米到 B， 在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60°，则山高 h＝________米．
解析：由题意画示意图，如图， OM＝AOtan 45°＝30(m)， ON＝AOtan 30°＝ 33×30＝10 3(m)， 在△MON 中，由余弦定理得， MN＝ 900＋300－2×30×10 3× 23＝ 300＝10 3(m)． 答案：10 3
求距离、高度问题(师生共研) (1)(2020·福建宁德 5 月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然 地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”， 我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海 洋蓝洞的口径(即 A，B 两点间的距离)，现取两点 C，D，测得 CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞 的口径为________．
1.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等
于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°的方向上，灯塔 B 在
观察站 C 的南偏东 40°的方向上，则灯塔 A 相对于灯塔 B 的方
向为
()
A．北偏西 5°
B．北偏西 10°
C．北偏西 15°
D．北偏西 20°
解析：选 B.易知∠B＝∠A＝30°，C 在 B 的北偏西 40°的方向上，又 40°－30°＝10°， 故灯塔 A 相对于灯塔 B 的方向为北偏西 10°.
2．在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60°，C 点的俯角为 70°， 则∠BAC＝________
答案：130°
3．江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，在炮台顶 部测得两条船的俯角分别为 45°和 60°，而且两条船与炮台底部所连的线成 30°角， 则两条船相距________m.
＝
6－ 2
2a×sin 60°＋asin 15°＝ 22a.
答案：
2 2a
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)东北方向就是北偏东 45°的方向．
(√ )
(2)从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α，β 的关系为 α＋β＝180°.
(× )
所以 EF＝20 6，在 Rt△AFE 中，AF＝EF·tan∠AEF＝20 6× 33＝20 2， 所以 AB＝AF＋BF＝20 2＋1(m)． 答案：20 2＋1
测量角度问题(师生共研)
在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏 东 45°方向，相距 12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每 小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75°方向前进，若红方侦察艇以 每小时 14 n mile 的速度，沿北偏东 45°＋α 方向拦截蓝方的 小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值．