12高数A期末一真题与答案

淮 海 工 学 院
11 - 12 学年 第 2 学期 高等数学
A(2)试卷(A 闭卷)
答案及评分标准
一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）
1．设向量(1,0,2)a =，(0,1,2)b =，则a b ⨯= --------------------------------------（C ）
（A ）2
3
（B ）2 （C ）3 （D ）4
2．2(,)()y
f x y x x y =+，则(,0)xx f x
=----------------------------------------------------（B ）
（A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x
2
3. sin cos u y x z =+-在点(0,0,1)-处沿下列哪个方向的方向导数最大
-------（A ） （A ）(0,1,1)-
（B ）(1,0,1)- （C ）(1,0,1)-
（D ）)1,0,1( 4．二次积分x d y x f dy e
e y
⎰⎰
10),(的另一种积分次序为-----------------------（C ）
（A ）1ln 0
(,)x dx f x y dy ⎰⎰ （B ）1
0(,)x e dx f x y dy ⎰⎰
（C ）⎰
⎰
e x
dy y x f dx 1ln 0
),( （D ）1
(,)x
e e dx
f x y dy ⎰⎰
5．
225
2
(51)(1)x y x y ds +=++=⎰
-----------------------------------------------------------------（D ）
（A ）0 （B ） π （C ）2π （D ）
6．设n u =
，则级数-------------------------------------------------------------------（C ）
（A ）1
1n
n n u ∞
∞==∑与
（B ）
∑∞
=1n n
u
与
1
n ∞
=都发散
（C ）
∑∞
=1
n n
u
收敛，而
1
n ∞
= （D ）∑∞
=1
n n u 发散，而1
n ∞
=
7．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为
2,0
(),0x x f x x x πππ
⎧--<≤=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，
则(7)
S π=------（B ） （A ）2π- （B ）22
π- （C ）22π （D ）2
π
8．微分方程28x
y y y e -'''++=的一个特解可设为--------------------------------------（D ） （A ）x
ae
- （B ）x axe - （C ）()x ax b e -+ （D ）2x
ax e -
二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）
1． 设(,)z f xy x y =+，其中(,)f u v 可微，且0,u f ≠求1
()x y u
z z f -. 解：x u v z yf f =+------------------------------------------------------------------------------------2
y u v z xf f =+-----------------------------------------------------------------------------------2
则
1
()x y u
z z y x f -=-.---------------------------------------------------------------------3 2．设D 由,y x y =
=x 轴所围成，求2231(1)D
dxdy x y ++⎰⎰. 解: :01,06
D r π
θ≤≤≤≤
----------------------------------------------2
则原式1
2360
(1)d r rdr π
θ-=
+⎰
⎰-----------------------------------------2
1
2320
(1)(1)12r d r π
-=
++⎰32
π
=
.---------------------------------3
3．设空间闭区域Ω{}
22(,,)1,12x y z x y z =+≤-≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的内侧，用高斯公式计算2()2()(1)x y dydz y z x dzdx z z dxdy ∑
++-+-⎰⎰． 解: 2
,
2(),(1)P x y Q y z x R z z =+=-=+------------------------------------------1
Ω是半径为1、高为3的圆柱体 ------------------------------------------------1
原式=(
)P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y z ∑Ω
∂∂∂++=-++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰--------------2 dv Ω
=-⎰⎰⎰3π=-．
--------------------------------------------------------------------3 4．求411
x y y e x x '+
=的通解. 解： 1141[]'dx dx x x x
ye e e x ⎰⎰=-----------------------------------------------------------------------2
则4[]'x
xy e =-----------------------------------------------------------------------------------2
有414x
xy e C =+，---------------------------------------------------------------------------2
故41()x
y e C x
=+.--------------------------------------------------------------------------1
三、计算题（8分）和建制造，乐在共享。

求曲面222
3414
x y z ++=上点()2,1,2P --处的切平面I 的方程，并判断直线1:352
x y L z -==+与切平面I 的位置关系.
解：记()222
,,3414x y z F x y z =++-，则 ()2,,x z y x F x ='，()y z y x F y 2,,='，(),,2
z z
F x y z '=-------------------------------2
于是曲面在点P 处的法线向量为()()()(,,)(1,2,1)x y z n F P F P F P '''==-----------1 则切平面方程为()()()22120x y z --+-+=，即2
60x y z ---=，--------------2
直线L 的方向向量为(5,2,1)s =，由0n s ∙=，知n s ⊥，--------------------------------2 又直线L 上的点(1,0,3)-∉I ，则L I .-------------------------------------------------------1
四、计算题（８分）
求级数21
14n n
n x n -∞
=∑的收敛半径和收敛域． 解: =+∞→|)()(|lim 1x u x u n n n 2
4
x -----------------------------------------------------------------2
当142
<x 时，即2||<x 时，该级数绝对收敛-------------------------------------------1 当2
14
x >时，即||2x >时，该级数发散------------------------------------------------1 则收敛半径2=R ---------------------------------------------------------------------------1
2±=x 时，相应级数为1
1
2n n ∞
=±∑都发散--------------------------------------------------2
∴收敛域为(2,2)-． ------------------------------------------------------------------------1
五、证明计算题（本题8分）
求证：2(1)(2)xy xy
xy e dx x e y dy +++为某二元函数(,)u x y 的全微分， 并求(,)u x y ．
证明：2(1),2xy xy
P xy e Q x e y =+=+---------------------------------------------------------1
(2)xy P Q x xy e y x
∂∂=+=∂∂-------------------------------------------------------------------2 故原积分与路径无关. -----------------------------------------------------------------------1
(,)u x y =(,)
(0,0)x y Pdx Qdy C ++⎰
-----------------------------------------------------------1
20
(2)x
y xy dx x e y dy C =+++⎰⎰------------------------------------------------2
2xy xe y C =++．---------------------------------------------------------------------1
六、计算题（本题6分）
设)(t h 为定义在),0[+∞上的正值可微函数，且3
2
)0(=h ，现有一个随t 变化的立体区域)(t Ω⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+-
≤≤=)()(4)(0),,(2
2t h y x t h z z y x ，若其立体体积)(t V 满足
⎰=t
dt t h t t V 0
2)()(π，试求)(t h ．
解: )(t Ω在xoy 面的投影区域为
}4
)(),{(22
2
t h y x y x D ≤+=}2)
(0,20),{(t h ≤≤≤≤=ρπθθρ
则⎰
⎰⎰-
=
)(4)(0
2
)(t h t h D
dz d d t V ρθρρ ----------------------------------------------------------------1
)(4
))(4)((320
2)
(0
2t h d t h t h d t h π
ρρρθπ=-=⎰
⎰
-------------------------------------1
亦有)(')(4
3)('2
t h t h t V π=-----------------------------------------------------------------------1 由 ⎰
=t dt t h t t V 0
2)()(π知)()('2t h t t V π=--------------------------------------------------1
于是
)(')(432t h t h π)()('2t h t t V π==，
即dt t t dh t h 2
3
8)()(2=--------------------------1
其通解为()h t =故由32)0(=h ，得123
2
)(3+=t t h ．
------------------1
七、应用题（本题10分）
一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有
254cm 的面积，问应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长最短，
这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．
解：设外接圆的直径为D ，则2
2
2D x
y =+---------------------------------------------1
由条件知，2
2xy x -=----------------------------------------------------------------2
本题即求2
D 在上述条件下的最小值问题，
构造拉格朗日函数222
(2L x y xy x λ=++----------------------------------1
由22()0,220x y L x y x L y x λλ=+-==+=---------------------------------------2 得2
()10,y y
x
x
-
-=--------------------------------------------------------------------------1 因
0y
x
>，
得y x =
将其代入2
2xy x -=
解得唯一稳定点2,1x y ==+，------------------------------------------------------1 由其实际意义知，十字型宽取2,cm
长取(1cm 为最优设计．-----------------1。